内切球与外接球习题讲义教师版(同名4193)

1、内切球与外接球习题讲义教师 版（同名4193）立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究1球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合, 以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然 后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1 球与正方体如图1所示，正方体WB8-月产心口，设正方体的棱长为%E.F,H,G为 棱的中点，。为球的球心常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形 和其内切圆，则侬=r = T ;二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形跖日G和其外接圆，则 亚0G = /? = a ;2三是球为正方体的外接球，截面图为长方形

2、和其外接圆，则A.O =R =巫.12通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截 面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位 置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平 面问题.图I例1棱长为1的正方体力BUD-4说GR的8个顶点都在球。的表面上,E, F分别是棱乂4，。口的中点，则直线EF被球。截得的线段长为（A. B* 1 C. 1 + D. 4122翼:由题意可知，球为正方体的外援球.平面期截面所得图面的半径7欧c鲍。&：爵辞财嚣得的嬲糖的胸鼬直径2及二板L2球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一

3、定存在 内切球.设长方体的棱长为口hC,其体对角线为f,当球为长方体的外接球 时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一 样的，故球的半径氏=一叵正运.22例2在长、宽、高分别为2, 2. 4的长方体内有一个半径为1的球，任意 摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为（）7支B.4itDt 3集:利用运动的皿点、分折在小球移动的过程中.进逼部分的几何体.因半径为1的小球恰好为校长为2的正方体的内切球，故小球经过空间由上往下看为t半个小球、高为2的圆柱和半个小球，三部分的年积为-xl3 x-x2+jtx I3 x2=323L3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形

4、态居多。下面以正三棱柱为例， 介绍本类题目的解法一一构造直角三角形法。设正三棱柱58c-40G的高 为心底面边长为口，如图2所示，。和R分别为上下底面的中心。根据几 何体的特点，球心必落在高。的中点O, OD = -tAO = R,AD=-a9借助直 23角三角形月0D的勾股定理，可求/?=已+立：。（3 J例3正四棱柱的各顶点都在半径为A的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为.解如图3，就面图为长方形上必5和其外接圆.球心为w用的中点则K = QA设正四棱柱的倒棱长为3,底面边长为口，则AC = 42a .AE = &QE = k = (- a)3 + (-)s,4箝=2/十，则正四楼柱的

5、恻面积:2222S = Aub= 2a -y/2b M+2自=A/2r故恻面积有裹大值，为46&L 当且仅当占二/占时等导成立.2球与锥体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充 分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和 高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2. 1球与正四面体 正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且 两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。如图4,设正四面体S-的棱长为。，内切球半径为广，外接球的半径为 我,取相的中点为2, E为5在底面的射影，连接CRSRSE为正四面

6、体的 高。在截面三角形立七，作一个与边Q和。相切，圆心在高SE上的圆，即 为内切球的截面。因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O。止匕时,CO =OS=R,OE =r,SE = J2a,CE =a,贝 U 有 R + r=J2a, R2 -r2= CE2=，解 33V33得：R=2/6a,r =a.这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个 412球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便 .图4例4将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A. B

7、. 2+ 述C. 4+ 送 D. 43333密器四面体产中的这四个小球,以四个1当为球心为顶点构戌了 一个梭长为2的.球心正四面弹， 这个四面体的高是“单像正四面体”高工雪）的金佰即为考5.“球心正四面体总的is面到.容等正四 面体”的地面为小球半径1-而“琢心工四面体用 顶总至11 容器正四面体”的顶点的距离为3 L卜球半径的 3 于是心容需正四面体”的总为当5+3 + 1,速挥 d 这个 疗小减半径的3倍融是这样想的帔一个小球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱

8、锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥 的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方 体。常见两种形式：一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正方体，它 的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。如图5,三棱锥A-AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD - A1B1cl D1的外接球的球心重合，设AA1 = a ,则3 cR a o2二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长2,22.2方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，R2J - +c J44（l为长方体的体对角线长）。例5 在正三棱锥 S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，

9、且AM _LMN ,若侧棱SA = 2庭,则正三棱锥S - ABC外接球的表面积例6在三棱锥P-ABC中，PA= PB=PC=3,侧棱PA与底面AB所成的二梗链W-内石U外接球的表面积是解; 如图日.止三修范对噢相幺垂亘，即且（7_|_四.乂ssll MW工工C.又_L AM. 牧7, 平面乩4C于是够_L平面区4c */_1_应4.8_LU 从而屈4_Lg.IT时iF三悟进 牙-川FC1的三条侧特与相垂直并口 相等，故将正三植糖补形为正方体球的半径A . n B. 1 C. 4 nD解：如图7所示，过户点作底面的垂线，垂足为。，设H为外接球的球心，连接为凡丛5因=百,故 A0 = ,产。=又

10、 AHO 为直角三角形.22图72.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截 面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四 个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R.这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱 锥的体积和为正三棱锥的体积.加=耽=尸AH2 = AO1OH1t2.4 球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用 截面法、补形法、等进行求解。例如，四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直

11、角三角形斜边中点几何 特征，巧定球心位置。角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为（）如图8,三棱锥S-ABC,满足$人_1面ABC)AB_LBC)取SC的 中点为O,由直角三角形的性质可得：OA = OS = OB = OC ,所以。点为三棱锥S -ABC的夕卜接球的球心，则R = SC .2B图S3球与球对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的 空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小 球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题 求解.例8在半径为的球内放入大小相等的 4个小球，则小球的半径的最大值为例7矩形ABCD中，AB =

12、4,BC =3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC -D ,则四面体ABCD的外接球的体积是()A.受二B. 望二C. 宜二 D. 四二12963解：由题意分析可知，四面体面的外接球的球心落在的中点，此时满足8 = 0。二。3 = 0二.n_4 负252 236C.-j-J?D.解要使得小球的半径震大.需使得4个小球的球心为一个正四面体的 四个顶点.如图9所示，此时正四面体H-的外接球的球心为O, 即为半径为艮的球的球心，则不。=衣-尸.又因O为4。1的四分点.敌4AOl=(R-r), 在 RtLABO 中 ,= 2*骰=|凤便=寸=(力一(|后广r = (/6-2)R图9例r在半径

13、为K的球内放入大d号目等的4个小球，则小球半径-的最大值为()11解：如图11所示，由题意琢心在纪上.球心为5 过。作的垂续QN垂足为N, 0*R,因为各个犊耨为2。，所以ep=20,bm=iot 诙设/总办=a.在在必LFM 中，BF3 wm4fN十尸Af 所&.在用 PAH 中,产豳产=加1户+且尸，所以FR= 10&.在戌必ABP中.m丝=12匹=返，在正必ONP中，史*=丝=,所以 BP 202OF 0F,所以OF = 0我.在衣必。AM中，温?口,十达山产，所以，R2 = （10J2 -+W0 ,OP 2解得，贞=10或30 （舍），所以，尺=l0t掰，故选E.4球与几何体的各条棱相

14、切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.2r 二a如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：4 .例8把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A. 10 .3cm B. 10cm C. 10 .2cm D. 30cm综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转 体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则 作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点 放

15、在球面上即为球的内接问题.解决这类问题的关键是抓住内接的特点， 即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力，借助于 数形结合进行转化，问题即可得解. 如果是一些特殊的几何体，如正方体、 正四面体等可以借助结论直接求解，此时结论的记忆必须准确.外接球内切球问题1.（陕西理）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）答案 B3122. 直二棱柱ABC -AB1cl的各顶点都在同一*球面上，若AB =AC =AA =2 , ZBAC =120%贝U止匕球的表面积等于 【解析】此正八面体是每个面的边长均为 a的正三角形，所以

16、由 8M叵_ = 2知 a = 1,则此球的直径为 山，故选A。45 .已知正方体外接球的体积是当冗，那么正方体的棱长等于（3A.2 . 2 B. 号 C. T D.4. 3答案D6 .（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A. 1 ： 73B. 1： 3 C. 1： 3/3D. 1： 9解：在AABC中AB = AC=2, /BAC =120。，可得BC =2/，由正弦定理，可得答案 CABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为0球心为O,在RTAOBO,中， 易得球半径R=遥，故此球的表面积为4nR2=20L3 .正三棱柱ABC - ABC内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为

17、n , 则正三棱柱的体积为.答案84 .表面积为2石的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积 为A.区 B / C . 2n D .也3333答案A7 .（海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形， 其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9,底面周长8为3,则这个球的体积为答案-38 .（天津理）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的 三条棱的长分别为1, 2, 3,则此球的表面积为 答案 14九9 .（全国II理）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm,那么该棱柱的表面积为cm 2.答案 2 4.210 .（辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥 P-ABCDEF,则此正六棱锥的侧面积是 .答案 6.712.（枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示， 则该几何体外接球的表面积为（）A. 3B. 2 二C.D