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文档简介

1、第十讲 多项式的零点一、多项式的零点和性质1、多项式函数定义：设则，即对每个，由对应了一个属于D的值，称为D上的多项式函数。2、多项式的零点定义：如果D中的数使=0，则称是的零点，或的根。3、性质：1）（因式定理）设，则是的零点的充分必要条件是被整除。即：|2）推论设，是的不同的零点，则被整除。即：|例4 给定2n个互不相同的复数，将它们按下列规则填入n×n方格表中：第i行和第j列相交处的方格内填(i,j=1,n).证明：若各列数的乘积相等，则各行数的乘积也相等.分析：由题意规则得以下n×n方格表令g(x)=()()()当,i=1,n 是的根，也是的根因此设令： ()()(

2、)=()()()=()()()=C 证明：设各列数的乘积等于C，考虑多项式 由已知条件得 (i=1,n) 是的零点 因为是互不相等的， n次多项式有n个不同的根由性质推论可得：被整除 即：|又因为的首项系数为1所以 = 令 (i=1,n) 所以 因此各行数的乘积也相等二、模为素数的同余方程1、同余方程定义： 设是一个整系数多项式，p为一个素数，称 为同余方程，如果整数满足，则是模p的一个零点或是同余方程的一个解。2、拉格朗日定理： 设是整系数多项式，模p的次数为n,则同余方程至多有n个互不相同的解。3、推论： 设是整系数多项式，p是素数，且n<p,如果同余方程至少有n+1个互不相同的解，则模p恒为零，即所有系数 (i=1,n)均被p整除4、费马小定理： 当p为素数时，对任意的，有 或 5、威尔逊定理： 若p为素数，则 例5 用推论及费马小定理证明威尔逊定理 证明：设p是素数，要证 当p=2时， 显然成立 当p3时，考虑p-2次多项式 只需证明同余方程有n-1个不同的根，就能运用推论证得结论。 1是同余方程的一个根 由费马小定理得 2是同余方程的一个跟 同理可得 与P互素的模p值都是同余方程的根 因此，同余方程的根为 共p-1个根 那么由推论得的系数都被p整除，特别地，常数项也被p整除

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