向量及其线性运算

1、数量关系数量关系 第八章第八章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法坐标坐标, , 方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第八八章 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：

2、向量表示：以以1M为起点，为起点，2M为终点的有向线段为终点的有向线段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：一、向量的概念一、向量的概念或或或或或或自由向量：自由向量： 不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量： 大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量： 大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向径：向径： aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系

3、中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . OMM规定: 零向量与任何向量平行 ;平行向量：平行向量： 若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反,a 与与 b 平行, ab ;记作则称 向量共线：向量共线： 当两个平行向量的起点放在同一 点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上 .因此，两向量平行又称两向量共线.时，如果 个终点和公共起点在一个平面上 . 就称这 个向量共面.向量共面：向量共面：当把 个向量的起点放在同一 点(3)k k kkk二、向量的线性运算1. 1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量

4、相加 .abbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba bbs3a4a5a2a1a54321aaaaas2. 2. 向量的减法向量的减法ABAOOBOBOA 三角不等式ab)( abaa )( aababaabababa0baba有时特别当,ab AB一般地，一般地，任给向量任给向量 及点及点O设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为, 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，|aa aa2a21 3 3、向量与数的乘法、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：

5、数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(例例1. 设 M 为MBACD解解:ABCD 对角线的交点,ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD.,MDMCMBMAba表示与试用同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量

6、同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.0.，ababa 定定理理设设向向量量那那么么向向量量平平行行于于的的充充分分必必要要条条件件是是：存存在在唯唯一一的的实实数数使使两个向量的平行关系两个向量的平行关系证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性ab设设,ab 取取取取正正值值，同同向向时时与与当当 ab取取负负值值，反反向向时时与与当当 ab.ab 即即有有.同同向向与与此此时时ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，设设ab ，又又设设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即xyz三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规

7、则由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系. . 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x x轴轴( (横轴横轴) )y y轴轴( (纵轴纵轴) )z z 轴轴( (竖轴竖轴) )过空间一定点过空间一定点 o o ,o 坐标面 卦限卦限( (八个八个) )面xoy面yozzox面1. 1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念 2. 2. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,沿三个坐标轴方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyx此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,xiy j zkr称称为为向向量量任意向量 r 可用向径 OM 表示.

8、OCOBOA, ixOA, jyOBkzOCxyzoABCNQRrMONMONOMxyzo向径在直角坐标系下在直角坐标系下 11坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标 :有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;rrM坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设),(zyxaaaa

9、, ),(zyxbbbb 则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab0,a 当当时时abxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例: 为，实实数数例2.已知两点在AB直线上求一点 M , 使解解: 设 M 的坐标为, ),(zyx如图所示ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及实数, 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOB OMOBOA(说明: 由得定比分点公式: :,121xx,121yy121zz,1时当点 M 为 AB 的中点 ,于是得x

10、,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式:五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与, ),(222zyxBOMr OROQOPBABAOAOBBA, rOM作例3.在 z 轴上求与两点)7, 1 ,4(A等距解解: : 设该点为

11、, ),0,0(zM,MAMB 因因为为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(B. ),0,0(914M思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 提示:(1) 设动点为, )0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2) 设动点为, ),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例4. 已知两点)5,0,4(A和, )3, 1 ,7(B解解: :求141)2,1,3(142,141,143.BABABABA解解所求向量有两个，一

12、个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji oyzx2. 2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 ,ba任取空间一点 O ,aOA作,bOBOAB称 =AOB (0 ) 为向量 ba,的夹角. ),(ab或类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . ,0),(zyxr给定与三坐标轴rr称方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作),(ba特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任

13、意取值之间任意取值. 的夹角 , , 为其方向角方向角.oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质方向余弦的性质: :r向向量量的的单单位位向向量量rrr (cos,cos,cos ) ( , , )rx y z 例6. 已知两点已知两点)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解: :,21,23)20计算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM例7. . 设点 A 位于第一卦限, ,解解: 已知角依

14、次为,43求点 A 的坐标 . ,43则222coscos1cos41因点 A 在第一卦限 , 故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点 A 的坐标为 . )3,23,3(向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 ,6AO且OAOAAO解解设向量设向量21PP的方向角为的方向角为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos .32,3 设设2P的坐标为的坐标为),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的坐标为的坐标为

15、).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 MP3. 3. 向量在轴上的投影向量在轴上的投影空间一点在空间一点在 轴上的投影轴上的投影xoyzxrOPxi cosxr uOMM 空间向量在空间向量在 轴上的投影轴上的投影urOM 称为向量在 轴u上的分向量分向量.e,OMe 设 数 称为向量在 轴上的投影，记作u或Pruj r( )urPr,xxaj a Pr,zzaj a Pr,yyaj a kajaiaazyx 设则或记作( ) ,( ) ,( )xxyyzzaaaaaa向量投影的性质向量投影的性质性质性质1 1( )cosuaa 其中 为向量 与 轴的夹角 au性质性质2 2()(

16、 )( )uuuabab性质性质3 3()( )uuaa 例8 一向量的终点在点 ，它在 轴、 )7,1,2( Bxy轴、 轴上的投影依次为 .求这向量的z4,4, 7 起点 的坐标.A解 设 的坐标为, ),(zyxA(2,1, 7)ABxyz 由已知可得24,14, 77xyz 所以2,3,0.xyz ( 2, 3, 0)A 即解2Prcos( , )32bj aab a例例9 9 已知已知 ，它与，它与 的夹角为的夹角为 ，求，求 . .(2,1, 2)a b4 Prbj a解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投

17、投影影为为13 xa,在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7.向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向）四、小结四、小结向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.（注意分向量与向量的坐标的（注意分向量与向量的坐标的区别区别）向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.思考题思考题 1已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线AC,a

18、BDb 试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.ba,解答解答BCAD AM MD).(21ba DC AB AM MB).(21ba ABCDMab思考题思考题 2 设设jim ，kjn 2，求以向量，求以向量nm,为边的平行四边形的对角线的长度为边的平行四边形的对角线的长度.解答解答对角线的长为对角线的长为|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm平平行行四四边边形形的的对对角角线线的的长长度度各各为为11, 3.mn一、一、 填空：填空：1 1、 向量是向量是_的量；的量；2 2、 向量的向量的_叫做向量

19、的模；叫做向量的模；3 3、 _的向量叫做单位向量；的向量叫做单位向量；4 4、 _的向量叫做零向量；的向量叫做零向量；5 5、 与与_无关的向量称为自由向量；无关的向量称为自由向量；6 6、 平行于同一直线的一组向量叫做平行于同一直线的一组向量叫做_，三，三个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做_ _ _；7 7、两两向向量量_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，我我们们称称这这两两个个向向量量相相等等；8 8、两两个个模模相相等等、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的向向量量互互为为逆逆向向量量；9 9、把把空空间间中中

20、一一切切单单位位向向量量归归结结到到共共同同的的始始点点，则则终终点点 构构成成_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；练练 习习 题题 11010、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的 始点，则终点构成始点，则终点构成_；1111、要使、要使baba 成立，向量成立，向量ba,应满足应满足_ _ _；1212、要使、要使baba 成立，向量成立，向量ba,应满足应满足_ _ _ _ . .二、二、 用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形行四边形 .三 、 把三 、 把ABC的的

21、BC边 五 等 分 ， 设 分 点 依 次 为边 五 等 分 ， 设 分 点 依 次 为4321,DDDD， 再 把 各 分 点 与 点， 再 把 各 分 点 与 点A连 接 ， 试 以连 接 ， 试 以aBCcAB ,表示向量表示向量ADADADAD4321,和和 . .练习题练习题1答案答案一、一、1 1、既有大小、既有大小, ,又有方向；又有方向； 2 2、大小；、大小； 3 3、模等于、模等于 1 1； 4 4、模等于零；、模等于零； 5 5、起点；、起点； 6 6、共线向量、共线向量, ,共面向量；共面向量； 7 7、模相等且方向相同；、模相等且方向相同； 8 8、方向相反；、方向相反； 9 9、半径为、半径为 1 1 的球面；的球面； 1010、距离等