13第十三讲对数函数(教师版)

1、“王者之路”系列 2020年升高一衔接学案用爱做有温度的养成教育第一课时：对数函数L新课导学J知识点一对数函数的概念思考 已知函数y=2x,那么反过来，x是否为关于y的函数？答案 由于y=2x是单调函数，所以对于任意 yC(0, +8)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的 函数，其函数关系式是 x=log2y,此处yC (0, +°o).梳理 一般地，我们把函数 y=logax(a>0,且awl)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是 (0,十 00).知识点二对数函数的图象与性质思考 y= logax化为指数式是x= ay.你能用指数函数单调性推导出对数函数单调

2、性吗？答案 当a> 1时，若0vxix2,则ay1 ay2,解指数不等式，得 yivy2从而y= logax在(0,)上为增函数.当0v av 1时，同理可得y = logax在(0, + 00 )上为减函数.梳理类似地，我们可以借助指数函数图象和性质得到对数函数图象和性质：单调性在(0, + 8)上是增函数在(0, + 8)上是减函数共点性图象过点(1,0),即1oga1 = 0函数值特点xC(0,1)时，y(-oo, 0);xC 1 , + 8)时，yC 0 , + 8 )xC (0,1)时，yC (0, + 8)；x 1 , + 8)时，yC ( , 0对称性函数y= 1ogax与

3、y= 1og1 x的图象关于x轴对称 aL题型探究 类型一对数函数的概念i 例1已知对数函数y= f(x)过点(4,2),求f 2及f(21g2).11解 设 y=1ogax(a>0,且 awl),则 2=1oga4,故 a= 2,即 y= 1og2x,因此 f 2 =1og22= 1, f(21g )= log221g 2=1g 2.反思与感悟判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如y=1ogax(a>0,且aw 1)的形式，即必须满足以下条件：系数为1.底数为大于0且不等于1的常数.对数的真数仅有自变量x.跟踪训练1判断下列函数是不是对数函数？并说明理由

4、 (1)y= 1ogax2(a>0,且 aw1);(2)y= 10g2x1;(3)y= 1ogxa(x>0,且 xw1);(4)y= 1og5x.解:。)中真数不是自变量x,.不是对数函数；,(2)中对数式后减1,不是对数函数；.(3)中底数是自变量x,而非常数a,次徽育7邈空,i .口叫“王者之路”系列2020年升高一衔接学案，不是对数函数.(4)为对数函数.类型二对数函数的定义域的应用例2求下列函数的定义域：(1)y = log a(3 x) + log a(3 + x);(2)y= 10g2(16 4x).3-x>0,解 由得3<x<3,3+x>0,，

5、函数的定义域是x|3<x<3.(2)由 16-4x>0,得 4x<16 = 42,由指数函数的单调性得x<2,函数 y=1og2(164x)的定义域为x|x<2.引申探究1.把例2(1)中的函数改为 y= 10ga(x- 3)+ 10ga(x+3),求定义域.x-3>0,解由得x>3.x+3>0,函数 y=1oga(x- 3)+1oga(x+ 3)的定义域为x|x>3.2.求函数y=1oga(x+3)(x3)的定义域，相比引申探究 1,定义域有何变化？x+ 3>0,x+3<0,解(x+3)(x-3)>0,即或x- 3

6、>0x-3<0,解得x< 3或x>3.函数 y=1oga(x+ 3)(x 3)的定义域为x|x< - 3或 x>3.相比引申探究1,函数y=1oga(x+ 3)(x- 3)的定义域多了(8,3)这个区间，原因是对于y=1oga(x+ 3) (x 3),要使对数有意义，只需(x+3)与(x- 3)同号，而对于y=1oga(x 3)+1oga(x+ 3),要使对数有意义，必须(x 3)与(x+3)同时大于0.反思与感悟求含对数式的函数定义域关键是真数大于0,底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意3真数底数的取值范围是否改变.跟踪训练2求下列函数的定义域由2

7、 4(1)y=ig3 ；(2)y= log (x+1)(16 - 4x);(3)y= log(3x i)(2x+ 3).x2 4 A 0,解(1)要使函数有意义，需 x+3>0,x+3wl,x< 2或 x>2,即 x>3,即3< x<2或x > 2,xw -2,故所求函数的定义域为(3, - 2) U 2 , +8).16-4x>0,x<2,(2)要使函数有意义，需 x+1>0, 即x> -1,x+ 1 w 1,xw0,所以1<x<2,且 xw0,故所求函数的定义域为x|1<x<2,且xw0.2x+3&g

8、t;0,要使函数有意义，需3x- 1>0,3x- 1 w 1 ,3x> 一 2)111 一 2即 x>1, 所以x>3且xw 32xW故所求函数的定义域为1, £ U 2, + 8 .3 334用爱做有温度的养成教育“王者之路”系列 2020年升高一衔接学案类型三对数函数单调性的应用命题角度1比较同底对数值的大小例3比较下列各组数中两个值的大小:(1)log23.4, log28.5；(2)log 0.3I.8, logo.32.7;(3)loga5.1, loga5.9(a>0,且 awl).解(1)考察对数函数y=log2x,因为它的底数2>1

9、 ,所以它在(0, +8)上是增函数， 又 3.4V8.5,于是 log23.4<log28.5.(2)考察对数函数y= logo.3x,因为它的底数 0<0.3<1 ,所以它在(0, +8)上是减函数， 又 1.8V2.7,于是 log0.3l.8>log 0.32.7.当a>1时，y= logax在(0, + 8)上是增函数，又 5.K5.9,于是 loga5.1<loga5.9；当0<a<1时，y= logax在(0, + 8)上是减函数，又 5.K5.9,于是 loga5.1>loga5.9.综上，当 a>1 时，loga5.

10、1v loga5.9,当 0vav1 时，loga5.1 >loga5.9.反思与感悟比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论.对于不同底的对数，可以估算范围，如log22<log23<log24,即1<log23<2,从而借助中间值比较大小.5跟踪训练3设a=log3Tt, b= log2j3, c= log 3*2 ,贝 ()A.a> b>cB.a>c> bC.b>a>cD.b> c&g

11、t; a答案 A解析a= log37t> 11b = 2log 23,则2V b< 1,c= 2log32<2,. .a>b>c.命题角度2 求y = logaf x型的函数值域函数f(x)= log2(3x+ 1)的值域为答案(0, +8)解析f(x)的定义域为R.,3x>0, /.3x+1>1.-y=iog2x在(0, 十 )上单调递增,log2(3x+1)>log 21 = 0.即f(x)的值域为(0, + 8).反思与感悟 在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系.故求y= logaf(x)型函数的值域必先求定义域,进而确定f(x)的范

12、围，再利用对数函数y= log ax的单调性求出lOgaf(x)的取值范围.跟踪训练3x, xC 8 函数y=lOg2xxC11 ,的值域为(+ OOA.(0,3)B.0,3答案解析x>13D.0, + 8)x< 1 时，0<3x<3 1时，lOg2x> l0g21 = 0.13.，函数的值域为0, 1 U0, +8) = 0, +8).3类型四对数函数的图象 命题角度1画与对数函数有关的函数图象 例5 画出函数y=lg|x1的图象.6用爱做有温度的养成教育解 先画出函数y=lgx的图象(如图).(2)再画出函数y= lg|x|的图象(如图).(3)最后画出函数y

13、= lg|x 1的图象(如图).反思与感悟现在画图象很少单纯描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点 跟踪训练5画出函数y=|lg(x 1)|的图象.解 先画出函数y=lgx的图象(如图).(2)再画出函数 y=lg(x- 1)的图象(如图).(3)再画出函数y=|lg(x 1)|的图象(如图).7用爱做有温度的养成教育“王者之路”系列 2020年升高一衔接学案当5教音Rlh« ft aU£.!iiTIDN命题角度2与对数函数有关的图象变换函数f(x) = 4+loga(x 1)(a&g

14、t;0, aw 1)的图象过一个定点，则这个定点的坐标是答案解析(2,4) 因为函数y=loga(x 1)的图象过定点(2,0), 所以函数f(x) = 4+loga(x 1)的图象过定点(2,4).L向左平移向上平移反思与感悟y=f(x)afg y=f(x+a), y= f(x)b个单.y=f(x)+b.对具体函数(如对数函数)仍然适用.其中a>0, aw 1)的图象如图，则下列结论成立的是()跟踪训练6已知函数y=loga(x+ c)(a, c为常数,A.a>1, c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1, c>1D.0<a&l

15、t;1,0<c<1答案 D解析由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<a<1,0< c<1.第二课时：对数函数应用 L新课导学J 知识点一 y= logaf(x)型函数的单调区间思考 我们知道y= 2f的单调性与y= f(x)的单调性相同，那么 y= log2f(x)的单调区间与 y=f(x)的单调区间 相同吗？答案 y= log2f(x)与y = f(x)的单调区间不一定相同，因为y= log2f(x)的定义域与y= f(x)定义域不一定相同.梳理 一般地，形如函数 f(x)=logag(x)的单调区间的求法：先求g(x)>0的解集(也就是函

16、数的定义域)；当底数a大于1时，g(x)>0限制之下g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间，g(x)>0限制之下g(x)的单 调减区间是f(x)的单调减区间；当底数a大于0且小于1时，g(x)>0限制之下g(x)的单调区间与f(x)的单 调区间正好相反.8用爱做有温度的养成教育知识点二对数不等式的解法思考 10g2xv log23等价于xv 3吗？答案 不等价.10g2XV 1og23成立的前提是10g2X有意义，即x> 0, log 2x< 1og23? 0< xv 3.梳理一般地，对数不等式的常见类型: 当a>1时，f x > 0可省略，

17、10gaf(x) >10gag(x)? g x >0,fx >g x ；当0v av 1时，f x > 0,10gaf(x) > 10gag(x)? g x >0 可省略，f x < g x .知识点三不同底的对数函数图象的相对位置思考 y= 10g2x与y= 10g3x同为(0, +°°)上的增函数，都过点(1,0),怎样区分它们在同一坐标系内的相对位 置？答案 可以通过描点定位，也可令y=1,对应x值即底数.梳理 一般地，对于底数 a>1的对数函数，在(1, + 8)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<

18、1的对数函数,在(1, 十国)区间内，底数越小越靠近x轴.知识点四反函数的概念思考 如果把y=2x视为A=R-B=(0, +8)的一个映射，那么y=10g2x是从哪个集合到哪个集合的映射？答案 如图，y=10g2x是从B=(0, +8)到a=r的一个映射，相当于 A中元素通过f： x2x对应B中的元 素2x, y=10g2x的作用是B中元素2x原路返回对应 A中元素x.梳理 一般地，像y=ax与y=i0gax(a>0,且aw 1)这样的两个函数互为反函数9“王者之路”系列 2020年升高一衔接学案(1)y=ax的定义域R,就是y=logax的值域，而y=ax的值域(0, + m)就是y=

19、 logax的定义域.(2)互为反函数的两个函数 y=ax(a>0,且aw 1)与y= logax(a>0,且awl)的图象关于直线 y=x对称.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.但单调区间不一定相同.题型探究类型一对数型复合函数的单调性命题角度1求单调区间例1 求函数y= 10gl (-x2 + 2x+ 1)的值域和单调区间. 2解 设 t= - x2+ 2x+ 1 ,则 t=- (x- 1)2+ 2.,y= log 1 t 为减函数，且 0<tW2, 2- y= log 1 2= - 1,即函数的值域为 1, + 8). 2再由函数10g 1 (x2+2x+1)的定

20、义域为一x2+2x+ 1>0,由二次函数的图象知1y2vx<1+J2.2 .t = -x2+2x+ 1在(1-2, 1)上递增，而在(1,1+也)上递减，而y=1ogt为减函数. 2，函数 y= 1og1(一x2+2x+1)的增区间为(1,1 +V2), 2减区间为(1 42, 1).反思与感悟求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域；(2)f(x), g(x)单调性相同，则f(g(x)为增函数；f(x), g(x)单调性相异，则f(g(x)为减函数，简称“同增异减”.跟踪训练1已知函数f(x)= log 1 ( -x2 +

21、2x). 2(1)求函数f(x)的值域；(2)求f(x)的单调性.解(1)由题意得一x2+2x>0, .x2-2x<0,由二次函数的图象知，0<x<2.10当 0<x<2 时，y=x2+2x= (x2 2x)C (0,1,log 1 (-x2+2x)> log 1 1 = 0.22，函数 y= log 1( x2+2x)的值域为0, +8). 2(2)设 u = x2+2x(0<x<2), v= log 1 u,2函数u = -x2+2x在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数，v= log1 u是减函数，2，由复合函数的单调性得到函

22、数f(x)= log1 ( x2+2x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数.2命题角度2已知复合函数单调性求参数范围例2已知函数y= log 1 (x2 ax+a)在区间(一巴 山)上是增函数，求实数 a的取值范围.2a1斛 令g(x) = x2- ax+ a, g(x)在 -°°, 2上是减函数，< 0<2<1 ,，y= log 1 g(x)是减函数，而已知复合函 2数y= 10gl (x2- ax+a)在区间(一00,42)上是增函数， 2只要g(x)在(8, J2)上单调递减，且 g(x)>0在xC (8,寸2)上恒成立，我W2,即

23、 2g 亚=/ 2-V2a+ a> 0,2也 aW2(® 1),故所求a的取值范围是272, 2(72+1).反思与感悟若2>1,则丫= logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同，若0<a<1 ,则y= logaf(x)的单调性与y= f(x)的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域跟踪训练2若函数f(x)= loga(6 ax)在0,2上为减函数，则 a的取值范围是()A.(0,1)B.(1,3)C.(1,3D.3, +8)答案 B解析 函数由y= logau, u= 6 ax复合而成，因为 a>0 ,所以u=6ax是减函数，

24、那么函数y= logau就是11用爱做有温度的养成教育“王者之路”系列 2020年升高一衔接学案增函数，所以a>1,因为0,2为定义域的子集，所以当x= 2时，u=6ax取得最小值，所以 6 2a>0,解 得a<3,所以1<a<3.故选B.类型二对数型复合函数的奇偶性 例3判断函数f(x)=ln左三的奇偶性.2+x2 x解 由>0可得2Vx<2,2+ x所以函数的定义域为(一2,2),关于原点对称方法一 f(-x)=ln2-x =ln(2x) 1 = - In2x 2-x 2+x2+x= -f(x), 即 f(-x) = -f(x), 所以函数f(x)

25、=ln2x是奇函数.2+ x方法二 f(x) +f(x)= In+ ln2+x 2-x2-x 2 + x=ln( :) = In1 = 0, 即 f(-x) = -f(x),所以函数f(x)=ln2是奇函数. 2+ x引申探究a x若已知f(x) = In为奇函数，则正数 a, b应满足什么条件?a x解 由 >0得一b<x<a. b+ xf(x)为奇函数,.(b) = a,即 a = b.12用爱做有温度的养成教育外些人H教育a x当 a=b 时，f(x)=lna + xf( x) + f(x) = Ina-x + lnax a x a + x.有 f(-x) = -f(x

26、),，此时f(x)为奇函数.故f(x)为奇函数时，a = b.反思与感悟(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数).(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)夫一x) = 0来判断，运算相对简单.跟踪训练3判断函数f(x)=lg(Nl + x2 x)的奇偶性.解 方法一由<17x2 x>0可得xCR,所以函数的定义域为 R且关于原点对称,又 f(-x)=lgojl+x2 + x)V1 + x2+x A/1 +x2-x=lgC-x1=lg - 1 + x2x =-Igojl + x2 - x) = - f(x), 即 f(-x) = -

27、f(x).所以函数f(x)= 1g(、/1+ x2x)是奇函数.方法二 由41+x2x>0可彳导xC R,13m吨教育i ,w=“王者之路”系列2020年升高一衔接学案f(x) +f( x)= lg(y/l + x2x) + lg(41 + x2 + x)=lg( l+x2-x)(1 + x2 + x)= lg(1 + x2-x2) = 0.所以 f(-x) = -f(x),所以函数f(x)= lg(M + x2 x)是奇函数.类型三对数不等式例 4 已知函数 f(x)=loga(i aj(a>0,且 a1).解关于 x 的不等式：loga(1 ax) >f(1).解f(x)

28、= loga(1 ax) ,f(1) = loga(1 a). 1 a>0. . 0V av 1.不等式可化为 loga(1 ax)>loga(1 a).1 -ax>0,ax<1,即0<x< 1.2 -ax< 1 - a, ax>a,，不等式的解集为(0,1).反思与感悟对数不等式解法要点 化为同底 lOgaf(x)>lOgag(x)；(2)根据a>1或0vav1去掉对数符号，注意不等号方向；(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)>0且g(x)>0.1跟踪训练 4 已知 A=x|log2x<2 , B = xt&

29、lt;3x<V3,则 ACB 等于()3A. 0, 2B.(0,柩C. T，1D.( 1,亚)答案 Ax>0,解析 10g 2x<2,即 log 2x<log 24,等价于x<4,A=(0,4).14用爱做有温度的养成教育“王者之路”系列 2020年升高一衔接学案1<3x</3,即 3 1<3x< 32 , 3,J c,111 一1<x<2，B=-1,2./.AnB= 0,2. 课后检测 .对数函数1 .给出下列函数：2丫二 log2 x ; y= log3（x1）; y= log（x+1）x;y=logx3其中是对数函数的有（

30、）A.1个B.2个C.3个D.4个答案 A解析 不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x;不是对数函数，因为对数的底数不是常 数；是对数函数2 .下列不等号连接错误的一组是（）A.log 0.52.2>log 0.52.3B.log 34>log 65C.log34>log 56D.log 启>logeTt答案 D解析 对A,根据y=log0.5x为单调减函数易知正确 对 B,由 10g34>log 33= 1 = log55>log 65 可知正确.对C,log 34= 1 + 10g 3§>1 + 10g 33>1 + 10g

31、 53=10g 56 可知正确 355对D ,由兀>e>僧,loge % >1>1oge可知错误.3 .若函数f（x）=1oga（x+ b）的图象如图所示：其中 a, b为常数，则函数 g（x）= ax+b的图象大致是（）15用爱做有温度的养成教育答案 D解析 由f(x)图象可知0<a<1,0<b<1, ，g(x)的图象应为D.4 .已知函数f(x)的图象如图所示，则函数 g x log 2 f x的定义域是答案x|2<xw 8解析由题意知，f(x)>0,由所给图象可知f(x)>0的解集为x2<xw 8.5 .已知函数f(

32、x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+ 4b的取值范围是 .答案 (5, +8)解析 因为 f(a)= f(b),且 0<a<b,所以 0<a<1<b,且一lga= lgb,即 b=-,所以 a + 4b= a+'令 g(a)= a+4, aaa4易知g(a)在(0,1)上为减函数，所以 g(a)>g(1) = 1+- = 5,即a+4b的取值范围是(5, + oo).6 .根据函数f(x)=log2x的图象和性质解决以下问题:若f(a)>f(2),求a的取值范围;(2)求 y=log2(2x 1)在2,14上的最值.解函数f(x)=log2x的图象如图. f(x)=log2x 为增函数，又 f(a)>f(2)16 log 2a>log 22.，a>2.即a的取值范围是（2, + 8）.（2） . 2< xW 14, 3W 2x K 27.log 23< 10g