2018高考一轮复习立体几何空间向量

1、2017高考一轮复习空间向量一.解答题(共12小题)1. (2016?浙江)如图，在三棱台 ABC-DEF中，已知平面 BCFE，平面 ABC, / ACB=90 °, BE=EF=FC=1 , BC=2 , AC=3 ,(I )求证：BF,平面ACFD ;(II)求二面角 B - AD - F的余弦值.2. (2016以津)如图，正方形 ABCD的中心为 O,四边形OBEF为矩形，平面 OBEF，平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2 .(1)求证：EG/平面ADF ;(2)求二面角 O - EF - C的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且 AH=2hF,求直线BH和平

2、面CEF所成角的正弦值.CD3. (2016?沈阳校级模拟)如图，已知矩形 ABCD所在平面垂直于直角梯形 ABPE所在平面 于直线 AB ,且 AB=BP=2 , AD=AE=1 , AE ±AB ,且 AE / BP.(I )设点 M为棱PD中点，求证：EM /平面ABCD ;(n)线段PD上是否存在一点 N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于 2?若存5在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由.4. (2016?天津一模)如图，在四锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，/ BCD=135 °, 侧面 PAB，底面 ABCD , /BAP=90°

3、;, AB=AC=PA=2 , E, F 分别为 BC, AD 的中点，点 M 在线段PD上.(I )求证：EFL平面PAC;(n)若M为PD的中点，求证：ME/平面PAB;(m)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线 ME与平面ABCD所成的角相等，求里的值.B E C5. (2016阳阳一模)如图，在三棱锥P-ABC 中，/ PAB= Z PAC= Z ACB=90 °.(1)求证：平面 PBC,平面 PAC;(2)若PA=1, AB=2 , BC=V2,在直线 AC上是否存在一点 D,使得直线 BD与平面PBC 所成角为30 ?若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由.C6.

4、(2015硼江)如图，在三棱柱 ABCAlBlCl 中，/ BAC=90 °, AB=AC=2 , AiA=4 , Ai 在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点.(I )证明：A1DL平面 A1BC ;(II)求直线 AB和平面BB1C1C所成的角的正弦值.C17. (2015?1苏)如图，在四棱锥 P - ABCD中，已知PAL平面ABCD ,且四边形 ABCDn _为直角梯形，/ ABC=/BAD=,PA=AD=2 , AB=BC=1 .j(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线 CQ与DP所成的角最小时，求线段 BQ的长

5、.8. (2014以津)如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA，底面 ABCD , AD ±AB , AB / DC , AD=DC=AP=2 , AB=1 ,点 E 为棱 PC 的中点.(I )证明：BE ± DC ;(II)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(出)若F为棱PC上一点，满足 BFXAC ,求二面角F-AB-P的余弦值.9. (2014刎课标I)如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面BBlClC为菱形，AB XB1C. (I )证明：AC=AB 1;(n)若 AC ±AB 1, /CBB1=60°, AB=BC ,求二面角 A -

6、 A1B1 - C1 的余弦值.BEl10. (2014?新课标II)如图，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PAL平面ABCD , E为PD的中点.(I )证明：PB /平面AEC ;(n)设AP=1 , AD= VS,三棱锥P- ABD的体积V=立，求A到平面PBC的距离.4P11. (2013?北京)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，AAlClC是边长为4的正方形.平面ABC，平面 AA iClC, AB=3 , BC=5 .(I )求证： AA 1,平面 ABC ;(II)求证二面角 A1- BC1-B1的余弦值；(出)证明：在线段 BC1上存在点D,使得ADXA1B,

7、并求J2L的值.12. (2013?新课标n)如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D, E分别是AB , BB1的中点,AA 1=AC=CB= Uab .(I )证明：BC1 /平面 A1CD(n )求二面角 D- A1C - E的正弦值.2017高考一轮复习空间向最参考答案与试题解析一.解答题（共1. （2016?浙江） BE=EF=FC=1 ,12小题)如图，在三棱台 ABC-DEF中，已知平面 BCFEL平面 ABC, / ACB=90 °,BC=2 , AC=3 ,(I )求证：BFL平面ACFD ;(II)求二面角 B - AD - F的余弦值.【分析】(I)先证明BFXA

8、C ,再证明BFXCK,进而得到 BFL平面ACFD .(II )方法一：先找二面角 B - AD - F的平面角，再在 RtABQF中计算，即可得出;方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK与平面ABK的法向量，进而可得二面角B - AD - F的平面角的余弦值.ZACB=90 °, .AC，平面 又 EF / BC, CK, BF，平面【解答】证明：延长 AD, BE, CF相交于点K,如图所示，二平面 BCFEL平面ABC,BCK , BFXAC .ACFD .BE=EF=FC=1 , BC=2,. BCK为等边三角形，且 F为CK的中点，贝U BF ±（I

9、I）方法一：过点 F 作 FQLAK,连接 BQ, BFL平面 ACFD .，BF，AK,贝U AK，平 面 BQF,.BQAK .BQF 是二面角 B - AD - F 的平面角.在 RtAACK 中，AC=3 , CK=2 ,可得 FQ= .13在 RHBQF 中，BF=V5, FQ= .可得:cos/ BQF=.134二面角B - AD - F的平面角的余弦值为 M3.4取BC的中点，则KO ± BC , 以点O为原点，分别以OB,方法二：如图，延长 AD, BE, CF相交于点K,则 BCK为等边三角形,又平面 BCFE，平面 ABC，.二KO，平面BAC ,OK的方向为x,

10、 z的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz.可得：B （1, 0, 0）, C （- 1,0, 0）, K （0, 0,夷），A （- 1, -3, 0）, E0,咚）.AC=（0, 3, 0）, AK=（L 3, /j）,皿 3, 0）.面角B - AD - F的余弦值为近.4【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题.2. (2016以津)如图，正方形 ABCD的中心为 O,四边形OBEF为矩形，平面 OBEF，平 面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2 .(1)求证：EG/平面ADF ;(2)求二面角 O - EF -

11、 C的正弦值；设平面ACK的法向量为 r(xi,yi,4),平面ABK的法向量为n =(X2, 丫2/2),由, ?L AKpid=O可得,f ft a-,AB f=0曰由，一一,可得，,AK ,n=0：.TTl i- ：-(3)设H为线段AF上的点，且 AH=£hF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.0D【分析】(1)取AD的中点I,连接FI,证明四边形 EFIG是平行四边形，可得 EG/ FI,利用线面平行的判定定理证明：(2)建立如图所示的坐标系 向量的夹角公式，即可求二面角EG / 平面 ADF ;O-xyz,求出平面 OEF的法向量，平面 OEF的法向量，利用O-EF-

12、C的正弦值；(3)求出 丽=(-金返，血,且)，利用向量的夹角公式求出直线55BH和平面CEF所成角的正弦值.【解答】(1)证明：取AD的中点I,连接FI,.矩形 OBEF, ，EF/OB, EF=OB ,. G, I是中点，.GI / BD, GI=Xbd .2。是正方形ABCD的中心，.-.OB=J_BD.2.EF / GI , EF=GI ,四边形EFIG是平行四边形，.EG / FI,. EG?平面 ADF , FI?平面 ADF , EG / 平面 ADF ;(2)解：建立如图所示的坐标系-五，2),F (0, 0, 2),O-xyz,贝U B (0, - V2, 0), C (&a

13、mp;, 0, 0), E (0,设平面CEF的法向量为ir= (x,y, z),则线工。，取小心0'1).OC，平面 OEF,平面OEF的法向量为口= (1,0, 0),T J E,| cos< ir, n> | =-二面角O - EF - C的正弦值为1 -(3)解：AH=2hf,AH=AF=( 2衣:0，3555设 H (a, b, c),则 Q= (a+&，b, c) = ( 士近,5a= -b=o, c=JL,55BH=(-迪，近且)，55直线BH和平面CEF所成角的正弦值二|cosv丽,0,x【点评】本题考查证明线面平行的判定定理，考查二面角O-EF-C

14、的正弦值，直线BH和平面CEF所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.3. (2016?沈阳校级模拟)如图，已知矩形 ABCD所在平面垂直于直角梯形 ABPE所在平面 于直线 AB ,且 AB=BP=2 , AD=AE=1 , AE ±AB ,且 AE / BP.(I )设点 M为棱PD中点，求证：EM /平面ABCD ;一9(n)线段PD上是否存在一点 N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于 ?若存5在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由.【分析】(I)证明BPL平面ABCD ,以B为原点建立坐标系，则 BP为平面ABCD的法向 量，求出BP,标的坐标，

15、通过计算 而而=0得出而1而，从而有EM /平面ABCD ;(II )假设存在点N符合条件，设由二儿FS,求出而和平面PCD的法向量1的坐标，令| cos而，三|=2解出N根据入的值得出结论.，5平面 ABCD n平面 ABEP=AB , BPXAB ,【解答】 证明：(I)二.平面 ABCD，平面ABEP, BP，平面 ABCD ,又 AB，BC ,，直线BA , 以B为原点, 则 P (0, 2,BP, BC两两垂直，分别以 BA, BP, BC为x轴，y轴, 0) , B (0, 0, 0), D (2, 0, 1), Ez轴建立如图所示的空间直角坐标系.(2, 1, 0), C (0,

16、 0, 1),M (1, 1,EM= (T, 0, 土)，BP= (0, 2, 0).2,BP，平面ABCD ,.而为平面ABCD的一个法向量,而而=-1 X0+0X 2+X 乂 0=0, 2EMXBP.又 EM?平面 ABCD ,EM / 平面 ABCD .(n )解：当点 N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为 25理由如下:n*CD=0LnpPD=0 PD= (2,2, 1), CD= (2, 0, 0),设平面PCD的法向量为n= (x, y, z),则.二0A/口 T ,、212升"0令尸'倚"(0'1'2).假设线段PD上存

17、在一点N ,使得直线BN与平面PCD所成角e的正弦值等于设有=遍=(2入2入，入)(0W 入w 1), .-.BH = BP + PN= (2 % 2 2入，X).iBNllnl VsV9X 2-8X + 4 5.9?2-8X- 1=0,解得 F1或入二一工(舍去).9,., 一“ _7，当N点与D点重合时，直线 BN与平面PCD所成角的正弦值等于 -5【点评】本题考查了线面平行的判断，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题.4. （2016?天津一模）如图，在四锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，/ BCD=135 °, 侧面 PAB，底面 ABCD , /BAP=90&

18、#176;, AB=AC=PA=2 , E, F 分别为 BC, AD 的中点，点 M 在线段PD上.（I ）求证：EFL平面PAC;（n）若M为PD的中点，求证：ME/平面PAB;（m）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线 ME与平面ABCD所成的角相等，求里的值.B E C【分析】（I）证明 AB ±AC . EFXAC .推出PAL底面ABCD ,即可说明PAXEF,然后 证明EFL平面PAC.（II）证明 MF / PA,然后证明 MF/平面PAB, EF/平面PAB ,即可阿门平面 MEF /平 面PAB,从而证明 ME /平面PAB.（出）以AB, AC, AP分别为x

19、轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关 点的坐标，平面 ABCD的法向量，平面 PBC的法向量，利用直线 ME与平面PBC所成的 角和此直线与平面 ABCD所成的角相等，列出方程求解即可【解答】（本小题满分14分）（I）证明：在平行四边形ABCD 中，因为 AB=AC , Z BCD=135 °, / ABC=45 °.所以AB ± AC .由E, F分别为BC, AD的中点，得EF/AB,所以 EFXAC . （1 分）因为侧面 PABL底面 ABCD ,且/ BAP=90 °,所以PAL底面ABCD .（2分）又因为EF?底面ABCD ,

20、所以 PAXEF. （3 分）又因为 PAAAC=A , PA?平面 PAC, AC?平面 PAC,所以EFL平面PAC. y分）（n）证明：因为 M为PD的中点，F分别为AD的中点，所以 MF / PA,又因为 MF?平面PAB, PA?平面PAB,所以MF /平面PAB.（5分）同理，得EF /平面PAB.又因为 MFAEF=F, MF?平面 MEF , EF?平面 MEF ,所以平面 MEF/平面PAB.（7分）又因为ME?平面MEF ,所以ME /平面PAB.（9分）（出）解：因为 PA，底面ABCD , AB XAC ,所以AP, AB , AC两两垂直，故以 AB , AC,AP分

21、别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，贝U A （0, 0, 0）, B （2, 0, 0）, C （0, 2, 0）, P （0, 0, 2）, D （ - 2, 2, 0）, E （1, 1,0）,所以说二（2, 0, 2），而二（一2, 2, 2），BC-C - 2, 2, 0），（1。分）设胃二次 （入1），则前（-2% 2人，-2人），所以 M （2% 2 入，2-2X）,而二（1+2 入，1- 2X, 212；，易得平面 ABCD的法向量ir= （0, 0, 1）.（11分）设平面PBC的法向量为n= （x, v, z）,由 nBC=0, npPB=0,得-2x+2y=O

22、2K - 2z=0令 x=1 ,得口= (1, 1 , 1).(12 分)因为直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面 ABCD所成的角相等,所以| cosC ME， m|二|cide<ME, n> I，即|ME I HI m |- | HE. | -1 n | ?（13分）所以解得*4*卜入苧，或入挈"（14分）y【点评】本题考查直线与平面所成角的求法， 直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应 用，平面与平面平行的判定定理的应用， 考查转化思想以及空间想象能力逻辑推理能力的应 用.5. （2016金阳一模）如图，在三棱锥P ABC 中，/ PAB= / PAC= /

23、 ACB=90 °.（1）求证：平面 PBC，平面 PAC;（2）若PA=1, AB=2 , BC=2,在直线 AC上是否存在一点 D,使得直线 BD与平面PBC 所成角为30 ?若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由.C【分析】（1）推导出 PA，平面 ABC ,从而BCXPA,又BCXCA ,从而BC，平面PAC, 由此能证明平面 PBCL平面PAC.（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于平面 ABC的直线为z轴，建立空 间直角坐标系C-xyz,利用向量法能求出在直线 AC上存在点CD二捉，使得直线BD与平 面PBC所成角为30°.【解答】 证明：（1）

24、/ PAB=Z PAC=90 °, PAXAB , PAX AC . AB AAC=A ,PAL平面 ABC .（1 分） .BC?平面 ABC,BCXPA,（3 分） /ACB=90 °,BCXCA . / PAACA=A , . BC,平面 PAC.（5 分） . BC?平面PBC,平面 PBC，平面 PAC. -6分解：（2）由已知及（1）所证可知，PAL平面ABC , BCXCA, PA=1 , AB=2 , BC=&.，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图 的空间直角坐标系 C - xyz,则 C （0, 0, 0

25、）, B （0,6，0） , P （恒 0，1 ）,近二 9,近,0）, CP=（V2，0, 1）,设口= （x, v, z）是平面 PBC的法向量,n*CB=V2y=0-j则"r 一,则取 x=1 ,得 口= (1, 0, -42),0分)设直线AC上的点D满足而二£也，则无二（伤人，0, 0）,BD;BC+CD=（Q, " V2。）+ （的入，0, 0）二（祀3 一加，0），直线BD与平面PBC所成角为30°, sin300 ="的,埠2d一工|n|- |BD| I炳电入之+2 2解得人二士炎,（11分）在直线AC上存在点CDRE，使得直线

26、BD与平面PBC所成角为30°.（12分）C【点评】 本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题, 解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.6. （2015硼江）如图，在三棱柱 ABCAlBlCl 中，/ BAC=90 °, AB=AC=2 , AiA=4 , Al在底面ABC的射影为BC的中点，D是BiCi的中点.（I ）证明：AiDL平面 AiBC ;（n）求直线 AiB和平面BBiCiC所成的角的正弦值.C1J)止Ng【分析】（I）连接AO, AiD,根据几何体的性质得出 AiOXAiD, AiDXBC,利用直线平 面的垂直定理判断.（II

27、）利用空间向量的垂直得出平面BBiCiC的法向量=（行，0, i）, |根据与跖数量积求解余弦值，即可得出直线 AiB和平面BBiCiC所成的角的正弦值.【解答】 证明：（I） AB=AC=2 , D是BiCi的中点. AiDlBiCi, . BC / BiCi, AiDXBC, AiO上面 ABC , AiD / AO ,AiOXAO, AiOXBC BC AAO=O , AiOXAiD, AiDXBCAid，平面 AiBC3l3解：(II)建立坐标系如图Cl在三棱柱 ABC A1B1C1 中，/ BAC=90 °, AB=AC=2 , A 1A=4O （0, 0, 0）, B （

28、0,血，0）, Bi 近 血,旧），Ai （0, 0V1rH）即 加 萨（°，V2,V14）, 0B= （0, V2, 0）, bb；=（ 加，°，V14）,设平面BBiCiC的法向量为n= (x, y, z),尸0- V2X+V14n0B=0ir即得出1二0得出 l二（篇,0, 1）, | BA；I =4，13=2加皿:TV > -一木cos< n, BL > =，DA1 4X272 8可得出直线 AiB和平面BBiCiC所成的角的正弦值为【点评】本题考查了空间几何体的性质，直线平面的垂直问题，空间向量的运用，空间想象能力，计算能力，属于中档题.7. (

29、2015研苏)如图，在四棱锥 P - ABCD中，已知PAL平面ABCD ,且四边形 ABCD为直角梯形，/ ABC= Z BAD= , PA=AD=2 , AB=BC=1 .2(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线 CQ与DP所成的角最小时，求线段 BQ的长.【分析】 以A为坐标原点，以 AB、AD、AP所在直线分别为x、v、z轴建系A - xyz .(1)所求值即为平面 PAB的一个法向量与平面 PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值， 计算即可；(2)利用换元法可得 cos2<5，而结合函数y=cosx在(0, 2L)上的单调性,102

30、计算即得结论.【解答】解：以A为坐标原点，以 AB、如图，由题可知 B (1, 0, 0), C (1, 1, 0),AD、AP所在直线分别为 x、v、z轴建系A - xyzD (0, 2, 0) , P (0, 0, 2).(1) AD，平面 PAB,AD= (0, 2,0),是平面PAB的一个法向量,PC= (1,1, 2), PD= (0, 2, - 2),设平面PCD的法向量为ir= (x, v, z),ni-PC-0 /日，得，tm*PD-0x+y- 2z=02y _ 2z=0取 y=l ,得 ir= (1, 1, 1), .cosv AD, ir> =AD-m V3I AD

31、| Im |平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为 近;3(2) BP= (1, 0, 2),设的=族=(N 0, 2a (0W 底 1),又 CB= (0, - 1, 0),贝U CQ=CB+BQ= ( - 1, 2 X),又 DF= (0, - 2, 2),从而 cosv CQ, DP> =CQ*DP1+2 XICQ I I DP I 72+10 2设 1+2狂t, te 1, 3, r 2贝 U cos < CQ, DP>= =一5tz- 10t+99(7当且仅当t=2,即 斤2时，|cosv无，而|的最大值为可辽，5510因为y=cosx在（0,工）上是减函数，此

32、时直线 CQ与DP所成角取得最小值. 2展后，BQ= 2 bp= 2不55又 Bp=【点评】本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.8. （2014以津）如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA，底面 ABCD , AD ±AB , AB / DC ,AD=DC=AP=2 , AB=1 ,点 E 为棱 PC 的中点.（I ）证明：BE ± DC ;（II）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（出）若F为棱PC上一点，满足 BFXAC ,求二面角F-AB-P的余弦值.BE, DC的方向向【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图

33、所示的空间直角坐标系，求出 量，根据BE?DC=0,可得BE± DC;（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（出）根据BFXAC,求出向量而的坐标，进而求出平面 FAB和平面ABP的法向量，代入 向量夹角公式，可得二面角F - AB - P的余弦值.【解答】 证明：（I）PAL底面ABCD , AD LAB,以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，. AD=DC=AP=2 , AB=1，点 E 为棱 PC 的中点.B (1, 0, 0), C (2, 2, 0), D (0, 2, 0), P (0, 0, 2), E (

34、1, 1, 1)BE= (0, 1, 1),前=(2, 0, 0) BE?DC=0, .BE SC;(n) 丽=(T, 2, 0),荏=(1, 0, - 2),设平面PBD的法向量7= (x, y, z),由二0得什2尸0mPB=O b_2z=0令 y=1 ,则 ir= (2, 1,1),则直线BE与平面PBD所成角。满足：. m - BE 2 Vssin 9=-=- -= ,I m I * I BE I V6 XV2 3故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为昱.3(出)BC= (1, 2, 0) , CP= ( - 2, - 2, 2),正=(2, 2, 0),由 F 点在棱 PC 上，设

35、CF=入CP= (-2% - 2 Z, 2X) (0WK 1),故 BF=BC+CF= (1-2 入，2 - 2X, 2X) (0WK 1),由 BFXAC ,得 BF?AC=2 (1 2入)+2 (2-2X) =0 ,设平面FBA的法向量为 门=(a, b, c),n AB=OLn*BF=O令 c=1,则门=(0, - 3, 1),取平面ABP的法向量T= (0, 1, 0),则二面角F-AB-P的平面角a满足:cos a=故二面角F - AB - P的余弦值为： 之叵10【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键.9. (20

36、147W课标I)如图，三棱柱 ABC-AlBlCl中，侧面BBlClC为菱形，AB ±BlC,(I )证明：AC=AB 1；面角A - A1B1 - Ci的余弦值.【分析】(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,可证B1CL平面ABO ,可得B1CXAO ,B10=CO,进而可得 AC=AB 1；(2)以O为坐标原点， 加的方向为x轴的正方向，|币5|为单位长度， 西的方向为y轴 的正方向，0A的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值.【解答】解：(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,侧面BB1C1C为菱形,.BC1± B1C

37、,且。为 BC1 和 B1C 的中点，又ABLB1C,B1C,平面 ABO,. AO?平面 ABO , B1CXAO,又 B10=CO, AC=AB 1,(2) ACXAB1,且。为 B1C 的中点，AO=CO ,X / AB=BC ,BOAA BOC ,OA ± OB ,.OA, OB, OB1 两两垂直，以O为坐标原点，0B的方向为x轴的正方向，| 0B|为单位长度，的方向为y轴的正方向,币的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,一/ CBBi=60°,， CBB1 为正三角形，又 AB=BC ,.A （0, 0,区）, 3B （1, 0, 0,）, Bi （0,叵,0

38、）, C （0,-虫，0）33一季 0),区），T7b7=ab=（1,0,一丑），b-c!7=bc=（ i,3* 1 口 131、1设向量口= (x, y, z)是平面 AA iBi的法向量，7记广学有0一则 厂，可取门二(1，加，Wi),n A B 二K-z-0LJ同理可得平面 AiBiCi的一个法向量rr= (1, - Vs,我)，cosv IT, 口= F? =LI m | | n | 7，二面角A - AiBi - Ci的余弦值为7【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题.10. (2014?新课标II)如图，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD

39、为矩形，PAL平面ABCD , E为PD的中点.(I )证明：PB /平面AEC ;(n)设AP=1 , AD= V5,三棱锥P- ABD的体积V=Y3,求A到平面PBC的距离.4【分析】(I)设BD与AC的交点为O,连结EO,通过直线与平面平行的判定定理证明PB / 平面 AEC ;(n)通过 AP=1 , AD= Vs,三棱锥 P- ABD的体积 V=近，求出AB ,作AH，PB角PB4于H ,说明AH就是A到平面PBC的距离.通过解三角形求解即可.【解答】 解：(I)证明：设 BD与AC的交点为O,连结EO,. ABCD是矩形， .O为BD的中点E为PD的中点, .EO / PB.EO?

40、平面 AEC, PB?平面 AEC PB / 平面 AEC ;(n) AP=1 , AD= Vs，三棱锥 P- ABD 的体积 Y=dJi,4V=yPA,AB,AD=-AB=-，.AB= -1, 2PB=' .= 1作AH，PB交PB于H ,由题意可知BC,平面PAB,BCXAH ,故AH，平面PBC.又在三角形PAB中，由射影定理可得：蝴型型12叵但 PB 13A到平面PBC的距离 &乐.13P口c【点评】本题考查直线与平面垂直， 点到平面的距离的求法， 考查空间想象能力以及计算能 力.11. (2013?北京)如图，在三棱柱 ABC-AiBiCi中，AAiCiC是边长为4的

41、正方形.平面ABC，平面 AA iCiC, AB=3 , BC=5 .(I )求证： AA i,平面 ABC ;(n )求证二面角 Ai- BCi-Bi的余弦值；(出)证明：在线段 BCi上存在点D,使得ADXAiB,并求例一的值.【分析】(I)利用AA1C1C是正方形，可得 AA 1±AC ,再利用面面垂直的性质即可证明；(II)利用勾股定理的逆定理可得AB XAC.通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；(III )设点D的竖坐标为t, (0vt<4),在平面BCCiBi中作DEBC于 巳可得D(t,刍(4- t), t),利用向量垂直于数量积得关系即可得出.4【解答】(I)证明：: AAiCiC是正方形，AA 1 1 AC .又平面 ABC，平面 AA1C1C,平面 ABC n平面 AA1C1C=AC , AA 1，平面 ABC .(II )解：由 AC=4