对弧长微分教学的探讨

1、对弧长微分教学的探讨摘要: 基于工科数学教学的要求,提出了弧长微分教学的两种讲授方式, 对改进工科高等数学的教学是有益的尝试。关键词： “以直代曲”， 弧长，弧长微分，切线，光滑曲线1“以直代曲” 许多高等数学教材是通过所谓“以直代曲”的思想来表达弧长微分公式的，即用切线近似代替曲线得到如下弧长微分公式 （1）这个公式可用图1来说明：若是光滑曲线, 则当足够小时，曲线弧的长度可用切线的长度近似代替，即它们的差是的高阶无穷小。 同济大学高等数学（第六版）通过假设： （2）导出公式（1），本质上仍然是“以直代曲”的翻版，因为 （3）是显而易见的。虽然“以直代曲”是微积分的基本思想，但在使用这一方法

2、处理问题时有必要考察其合理性，即在什么条件下才可以用“以直代曲” 处理相应的问题。就笔者所见, 工科高等数学教材都没有证明应用“以直代曲”计算曲线的弧长微分的合理性, 一些数学分析教材对光滑曲线给出的证明又不适合工科数学教学的要求. 本文分别对二阶可导曲线和光滑曲线给出了适合工科数学教学要求的证明.在证明之前, 我们先给出弧长和光滑曲线的定义.定义1 设是平面上曲线, 起点在A,终点在B. 从A到B取个分点: (4)依次地把曲线分成段(见图2), 然后将相邻两点用直线段联结起来,得到弦, 这就是一条折线.若当分点无限增加,且每一条弦的长度都趋向于零时, 折线长度趋向于某个确定的数,则我们说曲线

3、可求长,其长度就是这个确定的数, 称为曲线的弧长.定义2. 设曲线有参数方程 (5)且时得到点A, 时得到点B, 又设函数与在区间上是连续的, 且及不能同时为零. 我们称这种曲线为光滑曲线. 由定义1可知, 曲线弧的长度可由折线逼近. 由定义2可知, 光滑曲线就是在曲线上每一点有切线, 并且切线的长度和方向沿曲线连续的变化.2. 对应用“以直代曲”计算二阶可导曲线的弧长微分的考察二阶可导曲线是比光滑曲线光滑程度更高的曲线, 考察它的“以直代曲” 计算弧长微分的合理性更简单, 却同样能达到工科数学教学的目的.命题1 设曲线 二阶可导,且, 则此曲线的弧长微分可由公式(1)确定.证明: 只需证明“

4、以直代曲”公式(2)成立. 如图3, M为, N为,ML为在M点的切线, NL为在N点的切线. 因为, 所以曲线弧位于之内.首先我们证明不等式: (6)事实上, 在上任取一点A, 在A点作的切线交LM于B, 交LN于C, 则 同理, 在上任取个分点, , 则 (7)令 则 的极限存在且与分点的取法无关, 即可求长且公式(6)成立.其次, 我们证明: (8)设 , , 则 这里, , 所以 即得公式(8), 从而由公式(6)和(8)可得公式(2). 证毕.命题1虽然通过“以直代曲”公式(2)可获证, 但光滑曲线要比命题1中的曲线复杂得多, 比如如下曲线: (9)为光滑曲线, 但在处的切线在切点附

5、近与曲线有无穷个交点, 而不是如图3那样位于曲线的一侧. 因此, 这里有必要进一步考察一般光滑曲线, 其“以直代曲”公式(2) 是否仍然成立?3. 对应用“以直代曲”计算光滑曲线的弧长微分的考察对于一般光滑曲线, 弧长微分公式的推导比较困难, 比如北京大学数学分析是先导出弧长积分公式后，再导出弧长微分公式的. 这里我们将直接证明“以直代曲”公式(2), 这个证明仅仅应用了微分中值定理而不涉及积分理论.命题2. 设曲线 为光滑曲线, 则此曲线的弧长微分可由公式(1)确定.证明: 只需证明“以直代曲”公式(2)成立. 首先我们给出光滑曲线切线的一个性质.对于光滑曲线, 它的切线的方向沿曲线连续的变化, 即在上连续, 从而在上一致连续, 因此, 只要足够小, 则对任意也足够小, 即曲线在任意两点和处切线的夹角(取锐角) 足够小.如图4, M为, N为,在上任取个分点, , 其中, 对应的坐标为, 则. 根据微分中值定理, 弦的斜率可表示为, 弦的斜率可表示为: . 因此, 若设为与的夹角(取锐角), 则当足够小时, 也都足够小, 并且 (10) (11)不妨设 , 则 (12)令 则 的极限存在且与分点的取法无关, 即可求长. 所以, 由(11)式可得: (13)