人教版八年级上册 12.3 角平分线的性质和判定 讲义（无答案）

1、角平分线内容及典型例题一. 复习内容：1. 角平分线的作法2. 角平分线的性质及判定3. 角平分线的性质及判定的应用二. 知识要点：1. 角平分线的作法尺规作图以点O为圆心 ,任意长为半径画弧 ,交OA、OB于C、D两点；分别以C、D为圆心 ,大于CD长为半径画弧 ,两弧交于点P；过点P作射线OP ,射线OP即为所求2. 角平分线的性质及判定1角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等推导：OC平分MON ,P是OC上任意一点 ,PAOM ,PBON ,垂足分别为点A、点B求证：PAPB证明：PAOM ,PBONPAOPBO90OC平分MON12在PAO和PBO中 ,PAOPBOPA

2、PB几何表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等如下图 ,OP平分MON12 ,PAOM ,PBON ,PAPB2角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上推导：点P是MON内一点 ,PAOM于A ,PBON于B ,且PAPB求证：点P在MON的平分线上证明：连结OP在RtPAO和RtPBO中 ,RtPAORtPBOHL12OP平分MON即点P在MON的平分线上几何表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上如下图 ,PAOM ,PBON ,PAPB12OP平分MON3. 角平分线性质及判定的应用为推导线段相等、角相等提供依据和思路；实际生活中的应用例：一个工厂 ,在公路西侧 ,

3、到公路的距离与到河岸的距离相等 ,并且到河上公路桥头的距离为300米在以下图中标出工厂的位置 ,并说明理由4. 画一个任意三角形并作出两个角内角、外角的平分线 ,观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系三. 重点难点：1. 重点：角平分线的性质及判定2. 难点：角平分线的性质及判定的应用【考点分析】本讲内容作为根底内容来讲 ,它在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现 ,但角平分线的性质及判定有时出现在综合题题目当中 ,因此还是比拟重要的 【典型例题】例1. ：如下图 ,CC90 ,ACAC求证：1ABCABC；2BCBC要求：不用三角形全等判定 分析：由条件CC90 ,ACAC ,可以

4、把点A看作是CBC平分线上的点 ,由此可翻开思路 证明：1CC90 ,ACBC ,ACBC垂直的定义又ACAC ,点A在CBC的角平分线上到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上ABCABC2CC ,ABCABC ,180CABC180CABC三角形内角和定理即BACBAC ,ACBC ,ACBC ,BCBC角平分线上的点到这个角两边的距离相等 评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用 ,但也会产生消极作用 ,在解题时 ,要能打破思维定势 ,寻求解题方法的多样性例2. 如下图 ,ABC中 ,PEAB交BC于E ,PFAC交BC于F ,P是AD上一点 ,且D点到PE的距离

5、与到PF的距离相等 ,判断AD是否平分BAC ,并说明理由分析：判定一条射线是不是一个角的平分线 ,可用角平分线的定义和角平分线的判定定理根据题意 ,首先由角平分线的判定定理推导出12 ,再利用平行线推得34 ,最后用角平分线的定义得证 解：AD平分BACD到PE的距离与到PF的距离相等 ,点D在EPF的平分线上12又PEAB ,13同理 ,2434 ,AD平分BAC 评析：由角平分线的判定判断出PD平分EPF是解决本例的关键“同理是当推理过程相同 ,只是字母不同时为书写简便可以使用“同理例3. 如下图 ,ABC的角平分线BM ,CN相交于点P ,那么AP能否平分BAC？请说明理由由此题你能得

6、到一个什么结论？ 分析：由题中条件可知 ,此题可以采用角的平分线的性质及判定来解答 ,因此要作出点P到三边的垂线段 解：AP平分BAC结论：三角形的三条角平分线相交于一点 ,并且这一点到三边的距离相等理由：过点P分别作BC ,AC ,AB的垂线 ,垂足分别是E、F、DBM是ABC的角平分线且点P在BM上 ,PDPE角平分线上的点到角的两边的距离相等同理PFPE ,PDPFAP平分BAC到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上例4. 如下图的是互相垂直的一条公路与铁路 ,学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处 ,距公路400m ,现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系1学

7、校距铁路的距离是多少？2请写出学校所在位置的坐标分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等 ,所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等 ,也是400m；点P在第四象限 ,求点P的坐标时要注意符号 解：1点P在公路与铁路所夹角的平分线上 ,点P到公路的距离与它到铁路的距离相等 ,又点P到公路的距离是400m ,点P学校到铁路的距离是400m2学校所在位置的坐标是400 ,400评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等例5. 如下图 ,在ABC中 ,C90 ,ACBC ,DA平分CAB交BC于D ,问能否在AB上确定一点E ,使BDE的周长等于AB的长？假设能 ,请作出点E ,并

8、给出证明；假设不能 ,请说明理由分析：由于点D在CAB的平分线上 ,假设过点D作DEAB于E ,那么DEDC于是有BDDEBDDCBCAC ,只要知道AC与AE的关系即可得出结论解：能过点D作DEAB于E ,那么BDE的周长等于AB的长理由如下：AD平分CAB ,DCAC ,DEAB ,DCDE在RtACD和RtAED中 , ,RtACDRtAEDHLACAE又ACBC ,AEBCBDE的周长BDDEBEBDDCBEBCBEAEBEAB 评析：此题是一道探索题 ,要善于利用条件获得新结论 ,寻找与要解决的问题之间的联系此题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化这是初中几何中常用的一种数学思想

9、【方法总结】学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上这两个结论后 ,许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便 ,需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了 ,所以证题时 ,不习惯直接应用这两个结论 ,仍然去找全等三角形 ,结果相当于重新证明了一次这两个结论所以特别提醒大家 ,能用简单方法的 ,就不要绕远路练习题一. 选择题1. 如下图 ,OP平分AOB ,PCOA于C ,PDOB于D ,那么PC与PD的大小关系是 A. PCPD B. PCPD C. PCPD D. 不能确定2. 在RtABC中 ,C90 ,AD是角平分线 ,

10、假设BC10 ,BDCD32 ,那么点D到AB的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 103. 在ABC中 ,C90 ,E是AB边的中点 ,BD是角平分线 ,且DEAB ,那么 A. BCAE B. BCAE C. BCAE D. 以上都有可能4. 2019年浙江义乌如下图 ,点P是BAC的平分线AD上一点 ,PEAC于点E ,PE3 ,那么点P到AB的距离是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 65. 如下图 ,在ABC中 ,C90 ,AD平分BAC ,AEAC ,以下结论中错误的选项是 A. DCDE B. AED90 C. ADEADC D. DBDC6. 到三角形三边距离相等的点

11、是 A. 三条高的交点 B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点 D. 不能确定7. 如下图 ,ABC中 ,C90 ,ACBC ,AD平分CAB交BC于D ,DEAB于E ,且AB6cm ,那么DEB的周长为 A. 4cm B. 6cm C. 10cm D. 以上都不对8. 如下图 ,三条公路两两相交 ,交点分别为A、B、C ,现方案修一个油库 ,要求到三条公路的距离相等 ,可供选择的地址有 A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处二. 填空题9. 如下图 ,点P是CAB的平分线上一点 ,PFAB于点F ,PEAC于点E ,如果PF3cm ,那么PE_10. 如下图 ,DBAB ,D

12、CAC ,BDDC ,BAC80 ,那么BAD_ ,CDA_11. 如下图 ,P在AOB的平分线上 ,在利用角平分线性质推证PDPE时 ,必须满足的条件是_12. 如下图 ,BC ,ABAC ,BDDC ,那么要证明AD是BAC的_线需要通过_来证明如果在条件中增加B与C互补后 ,就可以通过_来证明因为此时BD与DC已经分别是_的距离13. 如下图 ,C为DAB内一点 ,CDAD于D ,CBAB于B ,且CDCB ,那么点C在_14. 如下图 ,在RtACB中 ,C90 ,AD平分BAC交BC于点D1假设BC8 ,BD5 ,那么点D到AB的距离是_2假设BDDC32 ,点D到AB的距离为6 ,

13、那么BC的长为_15. 1OP平分AOB ,点P在射线OC上 ,PDOA于D ,PEOB于E ,_依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等2PDOA ,PEOB ,PDPE ,OP平分AOB依据：_三. 解答题16. ：如图 ,在RtABC中 ,C90 ,D是AC上一点 ,DEAB于E ,且DEDC1求证：BD平分ABC；2假设A36 ,求DBC的度数17. 如图：ABC中 ,AD是BAC的平分线 ,E、F分别为AB、AC上的点 ,且EDFBAF1801求证：DEDF；2假设把最后一个条件改为：AEAF ,且AEDAFD180 ,那么结论还成立吗？18. 如图 ,12 ,AEOB于E ,BDOA于D ,AE与BD相交于点C求证：ACBC19. 如下图 ,某铁路MN与公路PQ相交于点O ,且夹角为90 ,其仓库G在A区 ,到公路和铁路距离相等 ,且到铁路图