函数及其表示板块二的表示法学生版

1、Go the distance板块二.函数的表示法典例分析题型一 求函数值【例1】若函数 f (x) 满足 f (2x -1) = x + 1 ，则 f (1) =【例2】（2006 年高考）1函数 f (x) 对于任意实数 x 满足条件 f (x + 2 )=f (1) = -5 ，则 ， 若f (x)f ( f ( 5 )=)【例3】若函数 f (2，则 f (3) =x2【例4】已知函数 f (x) =, x Î R .1 + x2（1）求 f (x) +f ( )1x111的值；（2）计算：f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f ( ) + f (

2、 ) + f ( ) .234【例5】已知a,b 为2+ 3, f (ax + b) = x2 + 10x + 24, 求5a - b 的值，若 f (【例6】若函数 f (x) = x2 ，则对任意实数 x , x ，下列不等式总成立的是（）1 2A f ( x1 + x2 ) £f (x1) + f (x2 )B f ( x1 + x2 ) <f (x1) + f (x2 )2222Go the distanceC f ( x1 + x2 ) ³f (x1) + f (x2 )D f ( x1 + x2 ) >f (x1) + f (x2 )2222【例7】

3、（2006）将正整数18 分解成两个正整数的乘积有： 1´18 ， 2 ´ 9 ， 3´ 6 三种，又3´ 6 是这三种分解中两数的差最小的，我们称3´ 6 为18 的最佳分解当 p ´ q ( p q)是正整数 n 的最佳分解时，我们规定函数 F (n) = p ，例如 F(18) = 3 = 1 ，下列q有关函数 F (n) 的叙述，正确的序号为（ F (4) = 1 ； F(24) = 3 ； F(27) = 1 ；62认为正确的序号都写上）83若n 是一个质数，则 F (n) = 1 ；若n 是一个完全平方数，则 F (n)

4、= 1n【例8】设函数 f (x) = ìx - 3(x ³ 100)í f f (x + 5)(x < 100), 求f (89).îìï2-x , x Î(-¥,11【例9】（2001，1）设函数 f（x） ílog , x Î(1, +¥) ，则满足 f（x）= 4 的 x 值ïî81为。ìï2ex-1, x2，【例10】（2006 山东 文 2）设 f (x) = í则f ( f (2)的值为（ log (x2 -1)，x

5、 ³ 2.）ïî3A0B1C2D3题型二 求函数一、定义法：式+ 2 ，求 f (x) .【例11】设 f (Go the distance【例12】设函数 f (x) = 2x + 3, g(x + 2) = f (x) ，则 g (x) 的表是（）A 2x + 1B 2x - 1C 2x - 3D 2x + 7【例13】设 f f (x) = x + 1 ，求 f (x) .x + 213【例14】设 f (x +, g(x +，求 f g(x).2【例15】设 f (cos x) = cos17 x, 求f (sin x) .二、待定系数法：【例16】如果反

6、比例函数的图象经过点(1, - 2) ，那么这个反比例函数的式为 【例17】在反比例函数 y = k 的图象上有一点 P ，它的横坐标 m 与纵坐标 n 是方程xt2 - 4t - 2 = 0的两个根，则k = + 13 ，求 f (x) .【例18】已知 f (三、换元（或代换）法：Go the distance1- x【例19】已知函数 f () = x . 求：（1） f (2) 的值； （2） f (x) 的表1+ x【例20】（1）已知 f (1) = x + 2 x ，求 f (x) 及 f (x2 ) ；（2）已知 f (x) + 3 f (-x) = 2x + 1，求 f (x

7、) .1 + xx2 + 11【例21】已知 f () =+, 求 f (x) xx2【例22】设 f (cos x -1) = cos2 x ，求 f (x) .1【例23】设 f (x) 满足af (x) + bf ( ) = cx （其中a ,xc 均不为0 ，且a ¹ ±b ），b ,求 f (x) 四、反解函数法：【例24】已知 f (ax-1 ) = x2 + 2 ，求f (x) .五、特殊值法：【例25】设 f (x) 是定义在 N 上的函数，满足 f (1) = 1 ，对于任意正整数 x, y ，均有Go the distancef (x) + f ( y)

8、 = f (x + y) - xy ，求 f (x) .六、累差法：【例26】若 f (1) = lg 1 ，且当 x ³ 2 时, 满足 f (x -1) = f (x) - lg ax-1, (a f 0, x Î N*) ，a求 f (x) .七、归纳法：【例27】已知 f (x + 1) = 2 + 1 f (x),(x Î N*) 且 f (1) = a ，求2f (x) .八、微法：【例28】设 f ¢(sin 2 x) = cos2 x,f (1) = 2，求 f (x) .九、其他综合11x3【例29】（1）已知 f3 +，求 f (x)

9、 ；（2）已知 f ( 2 +1) = lg x ，求 f (x) ；x（3）已知 f (x) 是一次函数，且满足3 f (x + 1) - 2 f (x -1) = 2x + 17 ，求 f (x) ；1（4）已知 f (x) 满足2 f (x) + f ( ) = 3x ，求 f (x) 。xGo the distance【例30】（2006 重庆理 21）已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)x2+x)=f(x)x2+x。（）若 f(2)=3,求 f(1)；又若 f(0)=a,求 f(a)；（）设有且仅有一个实数 x0，使得 f(x0)= x0。求函数 f(x)的表。【例3

10、1】已知函数 y = f (x) 的图象关于直线 x = -1 对称，且当 x Î(0, +¥) 时，有 f (x) = 1 ,x则当 x Î (-¥, -2) 时， f (x) 的式为（）A - 1x111B -D -Cx - 2x + 2x + 2卷 I）已知二次函数 f (x) 的二次项系数为 a，且不等式 f (x) > -2x 的【例32】（05为(1, 3) 方程 f (x) + 6a = 0 有两个相等的根，求 f (x) 的若 f (x) 的最大值为正数，求a 的取值范围式；题型三 分段函数【例33】画出下列函数的图象：（1） y

11、=| x - 2 | ；（2） y =| x -1| + | 2x + 4 | .【例34】函数 f (x) = x 的函数值表示不超过 x 的最大整数，例如-3.5 = -4 ，2.1 = 2 ，当x Î(-25,3时，写出 f (x) 的式，并作出函数的图象.Go the distance【例35】画出下列函数的图象（1）yx 2 2，xZ 且 x £ 2 ；（2）y2 x2 3 x ， x （0，2；ì3x2，2 £ x2 x ³ 2（4） yï3xí（3）yx2x；ï3îìx + 2(x

12、 - 1 )(- 1 <x < 2， (x 2 )ï【例36】已知函数 f (x) = x2íï2xî 求 f (p ) ； （2）若 f (a) = 3 ，求a ； 作出此函数的图象+ 1| 的图象【例37】作出函数 f (Go the distance【例38】已知 f (x) = ì1, x ³ 0 ，则不等式 x + (x + 2) × f (x + 2) £ 5 的是í-1, x < 0î【例39】函数 y =+ x 的图象是（x）【例40】设 f (x) = 

13、36;x - 2,(x ³ 10)，则 f (5) 的值为（）í f f (x + 6),(x < 10)îB11C12A10D13ì1 x - 1 x( ³0【例41】设函数 f (x) = ï 2，若 f (a) > a ，则实数 a的取值 范围 í 1ïïî x是(x < 0).ì3x2 - 4(x > 0)【例42】若函数 f (x) = ïp (x = 0)，则 f ( f (0) =íï0(x < 0)î

14、2x £ 0) ，若 f (x) = 10 ，则 x =【例43】已知函数 fx > 0)【例44】由函数的式，求函数值+ 2 ，求 f (1) ， f æ 1 ö ， f (x + 1) ；已知函数 f (ç a ÷è øìx + 1(x > 0)(x = 0) ，求 f f f (-1) ；(x < 0)已知 f (x) = ïíï0îxGo the distance已知 f (x) 的定义域为x x > 0 ，且 f (xy ) =f (x )

15、+f (y ) ，若 f (9) =8 ，求 f (3) ìï 3 x3 + 2x + 2x Î( - ¥, 1【例45】已知 f(x)= í，求 ff(0)的值.x Î( 1 ,+ ¥ïîx3 + x-3题型三 实际应用【例46】经市场，某商品在近 100 天内，其销售量和价格均是时间 t 的函数，且销1109售量近似地满足（t）3 t （tN*，0t100)，在前 40 天3内价格为 f（t）1 t22（tN*，0t40），在后 60 天内价格为 f（t）412t52（tN*，40t100)，求这种商

16、品的日销售额的最大值(近似到 1 元).【例47】某中学高一年级学生，对某蔬菜基地的作了，该蔬菜基地种植西市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场售价与上红柿，由市时间的用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的用图二的抛物线段表示，试解答下列.(1)写出图一表示的市场售价间接函数Pf（t）.写出图二表示的种植成本与时间的函数式 Qg（t）；(2)认定市场售价减去种植成本为纯，问何时上市的西红柿纯最大?Go the distance(注：市场售价和种植成本的：元102kg，时间：天)【例48】季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为 10元，并且每

17、周(7 天)涨价 2 元，5开始保持 20 元的价格平稳销售；10当季节即将过去时，平均每周削价 2 元，直到 16 周末，该服装已不再销售.(1)试建立价格 P 与t 之间的函数式.t 之间的为 Q0.125（t8）212，t0，(2)若此服装每件进价 Q 与16，tN*试问该服装第几周每件销售利润 L 最大?【例49】如图，有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为 x 的方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积 V 以 x 为自变量的函数式是，Go the distance这个函数的定义域为【例50】某商场做活动，某款玩具小熊的单价是5 元，买 x （ x Î 1

18、, 2 , 3, 4 , 5 ）个玩具小熊需要 y 元试用函数的三种表示法表示函数 y = f (x) 【例51】如图，在边长为4 的正方形 ABCD 的边上有一动点 P ，从点 B 开始，沿折线 BCD向点 A 运动设点 P 移动的距离为 x ，DABP 的面积为 y ，求函数 y = f (x) 及其定义域，并根据所求函数画出函数图象DCPxAB【例52】如右图所示，在平行四边形 ABCD 中，ÐDAB = 60° ， AB = 5 ， BC = 3 ，点 P 从起点 D 出发，沿 DC ，CB 向终点 B 匀速运动，设点 P 所走过的路程为 x ，点 P所经过的线段与线段 AD 、 AP 所围成的图形的面积为 y ， y 随 x 变化而变化，在下列图象中，能正确反映 y 与 x 的函数的是（）yGo the distanceyyyyPDCABOxO8xOx8O8x8ABCD【例53】如图，铁路线上 AB 长100 千米，工厂C 到铁路的距离CA从 AB 上某一点 D 处向C 修一条公路，已知铁路每吨每千米的运费与公路每吨每千米的运为20 千米现打算费之比为3 : 5 为了使原料从供应站 B 到工厂C 的运费最少， D 点处？在何CDAB【例54】如图，动点 P 从正方形 ABCD 顶点 A 开始，顺次经 C、D 绕边