2020-2021全国中考数学圆的综合的综合中考模拟和真题汇总附答案解析

1、2020-2021全国中考数学圆的综合的综合中考模拟和真题汇总附答案解析一、圆的综合1 .如图，点P在。的直径AB的延长线上，PC为。的切线，点C为切点，连接 AC, 过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交。于点E.(1)如图 1 ,求证：/ DAC=Z PAQ(2)如图2,点F (与点C位于直径AB两侧)在。O上，gF ?A，连接EF,过点F作AD 的平行线交 PC于点G,求证：FG=DE+DG在(2)的条件下，如图 3,若AE=- DG, PO=5,求EF的长.3【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) EF=3j2.【解析】【分析】(1)连接OC,求出OC/ AD,求出OC,

2、PC,根据切线的判定推出即可；(2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形 HGDE是矩形，求出 DE=HG FH=EH即 可得出答案；(3)设OC交HE于M ,连接OE、OF,求出/ FHO=/ EHO=45 ,根据矩形的性质得出EH/ DG,求出 OM=1AE,设 OM=a,则 HM=a, AE=2a AE=- DG, DG=3a, 23MO1CO 1求出 ME=CD=2a, BM=2a,解直角二角形得出 tan/MBO=tanP= 设BM 2PO 2OC=k,则PC=2k,根据OP=J5 k=5求出k=J5,根据勾股定理求出 a,即可求出答案.【详解】(1)证明：连接OC,D图1.PC

3、为。的切线, OCX PC, .ADXPC, .OC/ AD,Z OCA=Z DAC, .OC=OA,Z PAC4 OCA,Z DAC=Z PAQ(2)证明：连接 BE交GF于H,连接OH,的1. FG/ AD, / FGD+/D=180 ；d D D=90 ；/ FGD=90 ；.AB为。的直径，/ BEA=90 ,°/ BED=90 ,°/ D=/HGD=/BED=90 ,°四边形HGDE是矩形，DE=GH, DG=HE, Z GHE=90 ,°Bf Af ,/ HEF=Z FEA=1 / BEA=- 90° =45 °, 22/

4、 HFE=90 - / HEF=45 , °/ HEF=Z HFE, .FH=EH,.FG=FH+GH=DE+DG(3)解：设OC交HE于M,连接OE、OF1 . EH=HF, OE=OF HO=HO,2 .FHOAEHO,/ FHO=Z EHO=45 ；四边形GHED是矩形，.EH/ DG,/ OMH=/OCP=90 ；/ HOM=90 - / OHM=90 - 45 =45 ；/ HOM=/OHM,.HM=MO , .OMXBE,.BM=ME,.OM= 1 AE,2设 OM=a,则 HM=a, AE=2a, AE=2DG DG=3a 3'' / HGC=Z GCM

5、=Z GHE=90 ；四边形GHMC是矩形，GC=HM=a, DC=DG- GC=2a, DG=HE, GC=HM,ME=CD=2a, BM=2a,在 RtBOM 中，tanZ MBO=M0- - 1BM 2a 2' EH/ DP,/ P=/ MBO,CO 1tanP=-,PO 2设 OC=k,则 PC=2k,在 RtPOC 中，OP=*k=5,解得：k=5 , OE=OC= 5 ,在 RtOME 中，OM2+ME2=OE2, 5a2=5, a=1HE=3a=3,在 RtHFE 中，/HEF=45, 1-EF=72 HE=372 -【点睛】考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角

6、形，勾股定理等知识点，能综合运用 性质进行推理是解此题的关键.2.如图，OM交x轴于B、C两点，交y轴于A,点M的纵坐标为2. B （- 3石，O）, c（73, o）.（1）求。M的半径；(2)若CH AB于H,交y轴于F,求证：EH=FH.(3)在(2)的条件下求AF的长.【答案】(1)4; (2)见解析；(3) 4.【解析】【分析】(1)过M作MTLBC于T连BM,由垂径定理可求出 BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；(2)连接AE,由圆周角定理可得出 /AEC4 ABC,再由AAS定理得出AEHAFH,进 而可得出结论；(3)先由(1)中ABMT的边长确定出/BMT的度数，再由直角

7、三角形的性质可求出CG的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案.【详解】(1)如图(一)，过 M作MTLBC于T连BM,.BC是。的一条弦，MT是垂直于BC的直径，BT=TC=1 BC=273 ,.BM=*2 4=4；(2)如图(二)，连接 AE,则/AEC=/ ABC, .CE± AB, / HBC+-Z BCH=90 °在COF中， / OFC-+Z OCF=90,°/ HBC=Z OFC=Z AFH,在 AEH和AFH中，AFH AEHAHF AHE ,AH AH .AEHAAFHI (AAS), .EH=FH；(3)由(

8、1)易知，ZBMT=ZBAC=60,作直径 BG,连 CG,则 / BGC=Z BAC=60 , 。0的半径为4,，CG=4,连AG,/ BCG=90 ；.-.CG±x 轴， .CG/ AF, / BAG=90 ,° AGXAB,.CEL AB, .AG/ CE,四边形AFCG为平行四边形, .AF=CG=4.【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根 据题意作出辅助线是解答此题的关键.3.图1和图2,半圆O的直径AB=2,点P (不与点A, B重合)为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点 A,。的对称点A； O',设

9、/ABP=a.图1圉2(1)当a =15时，过点A作A' 0/AB,如图1,判断Ag半圆O的位置关系，并说明理由.(2)如图2,当a =时；BA'与半圆O相切.当a三_时，。点O'落在PF'上.(3)当线段BO与半圆。只有一个公共点 B时，求a的取值范围.【答案】(1) Ag半圆O相切；理由见解析；(2) 45; 30; (3) 0°< a< 30°或45° W”<90°.【解析】试题分析：（1）过O作OD,A什点D,交A行点E,利用含30°角的直角三角形的性11 II西半圆相切;质可求得 DE

10、+OE= A' B=AB=OA,可判定 A(2)当BA'与半圆相切时，可知 OB，A' H则可知a =45；当O'在用上时，连接AO,则可知(3)1BO =AB,利用(2)可求得/ O' BA=60可求得a =30；得出满足条件的可知当a =30时，线段O' B与圆交于O',当a =45时交于点B,结合题意可 a的范围.试题解析：（1）相切，理由如下：ADP如图1,过。作OD过。作ODLA'什点D,交A 行点E,*G a =15 / ABA1A / AB, 0 CA' B=3 0II.DE= 'A，上 OE=BE,

11、 1DO=DE+OE= (A' E+BE='AB=OA, A'与半圆O相切；（2）当BA'与半圆O相切时，则 OB, BA', ./OBA' =2 a =90当O'在历上时，如图2,1连接AO ,则可知BO ?AB,/ O' AB=30 ° ./ABO' =60 °=3 0（3）二.点 P, A 不重合，a>0,由（2）可知当a增大到30°时，点O'在半圆上， 当0。< av 30时点O'在半圆内，线段 BO与半圆只有一个公共点 B;当a增大到45。时BA'

12、与半圆相切，即线段 BO与半圆只有一个公共点 B. 当a继续增大时，点 P逐渐靠近点B,但是点P, B不重合， a< 90 °,当45 ° WB0线段BO与半圆只有一个公共点 B.综上所述 0°< a<30°或 45° Wq90°.考点：圆的综合题.B的切线AE与CD的延长4.如图，CD为。O的直径，点B在。O上，连接BC BD,过点 线交于点A, ZAEO /C, OE交BC于点F.（1）求证：OE/ BD； 2（2）当。的半径为5, sin DBA 时，求EF的长.5【答案】（1）证明见解析；（2） EF的长为

13、2【解析】试题分析：（1）连接OB,利用已知条件和切线的性质证明； （2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.CBO OBD 90ABD CBO.ABD.试题解析：（1）连接OB,.CD为。O的直径， CBDAE是。的切线，ABO ABD OBD 90 . OB、OC是。的半径，OB=OC C CBO. . . CE C , E ABD.OE/ BD. 2.BD 2(2)由(1)可得 sinZC= /DBA=,在 RtOBE 中，sin/C= ,OC=5,5CD 5BD 4 CBD EBO 90C ,ACBDAEBO.BD CDBOEOEO25.OE/BD, CO=OD,.CF=

14、FB.-1. OF - BD 2.221 EF OE OF 一 25.如图，AB是。的直径，PA是。O的切线，点 C在。O上，CB/ PO.（1）判断PC与。O的位置关系，并说明理由；若AB=6, CB=4,求PC的长.3 - 【答案】（1） PC是。的切线，理由见解析；（2） -J52【解析】试题分析：（1）要证PC是。的切线，只要连接 OC,再证Z PCO=90即可.（2）可以连接AC,根据已知先证明 ACPPCQ再根据勾股定理和相似三角形的性质 求出PC的长.试题解析：（1）结论：PC是。的切线. 证明：连接OC . CB/ PO，/POA=/ B, /POC=/ OCB .OC=OB/

15、 OCB=Z BZ POA=Z POCX / OA=OC, OP=OP .,.APOACPO/ OAP=Z OCP . PA是。O的切线/ OAP=90 ° / OCP=90 ° .PC是。的切线.(2)连接AC.AB是。的直径ACB=90 （6 分）由（1）知/ PCO=90 , / B=Z OCB=Z POC / ACB=Z PCO.ACBAPCO,BC AC. B OC-AC sVaB2-BC2 3#彳w5PC 二一一二二二.BC 442点睛：本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与 这点（即为半径），再证垂直即可.同时考查了勾股定理和

16、相似三角形的性质.6.已知：如图，在矩形 ABCD中，点O在对角线 BD上，以OD的长为半径的。与AD, BD分别交于点 E、点F,且/ABE=/ DBC.（1）判断直线BE与。的位置关系，并证明你的结论；（2）若 sinZ ABE=, CD=2,求。的半径.【答案】（1）直线BE与。相切，证明见解析；（2）。的半径为 上【解析】分析：（1）连接OE,根据矩形的性质，可证 /BEO=90。，即可得出直线 BE与OO相切；（2）连接EF,先根据已知条件得出 BD的值，再在BEO中，利用勾股定理推知 BE的 长，设出。的半径为r,利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.详解：（1）直

17、线BE与。相切.理由如下：连接 OE,在矢巨形 ABCD 中，AD/BC, . . / ADB=/DBC. OD=OE,Z OED=Z ODE.又. / ABE=/DBC,Z ABE=Z OED, 矩形 ABDC, / A=90 °,Z ABE+ / AEB=90 °,直线BE与OO相切; Z OEEH-Z AEB=90 , Z BEO=90DCtan Z CBD=tan Z ABE, BCAEABAE2AE(2)连接EF,方法1: 四边形 ABCD是矩形，CD=2, ZA=ZC=90 , AB=CD=2. ZABE=ZDBC, /.sinZ CBD=sin ABEBD2收

18、2V2在 RtAEB 中， CD=2, . BC由勾股定理求得be n.在 RSBEO中,Z BEO=90 , EC+E旨=ObF.设OO的半径为r,则产（厨 （2石、2 . 73），r-万方法 2: DF是。O 的直径，Z DEF=90 .四边形 ABCD是矩形，Z A=Z C=90 , ZABE=ZDBC, .".sinZ CBD=sin ABEAB=CD=2.叵3 .设 DC x,CD=2, .BD 邪x,则BC 2y2BCV2xtanZ CBD=tan Z ABE, .1DCBCAEAB222AE2AEE为AD中点. DF 为直径，/FEA90 ,EF/ AB, DF-BD

19、2 OO的半径为2点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的 综合性，有一定的难度.7.如图，已知 AB是。O的直径，点 C为圆上一点，点 D在OC的延长线上，连接 DA, 交BC的延长线于点 E,使得/ DAC=Z B.(1)求证：DA是。O切线；(2)求证：ACEDAACD;(3)若 OA=1, sinD=l ,求 AE的长.3D【答案】(1)证明见解析；(2) J2【解析】分析：(1)由圆周角定理和已知条件求出AD± AB即可证明DA是。O切线;(2)由/DAG/DCE / D=/D 可知DECDCA;(3)由题意可知 AO=1, OD=3,

20、 DC=2,由勾股定理可知 AD=2,故此可得到DC2=DE?AD,故此可求得 DE的长，于是可求得 AE的长.详解：(1) .AB 为。的直径，/ACB=90°,ZCABZ B=90°.又. CEDAACD, CD DEAE=AD - DE=2 亚-拒=72 .点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得 DESDCA是解题的关键. ZDAC=ZB,Z CABZ DAC=90 °, . OA是。O半径，DA为。的切线;(2) OB=OC,，/OCB=/B. ./DCE=/OCR ，/DCE=/B. ZDAC=ZB,

21、. . / DAC=/DCE ./D=/D,ACEDIA ACD;/、4一八1(3)在 RtAOD 中，OA=1, sinD=一,3AD= Tod2_OA2' =2 V2 -AD CDADXAB. OD=-OA-=3, /.CD=OD- OC=2. sinDCD2.DE=- =<2， .如图，在 ABC中，BAC 90 , AB AC 石，AD BC ,垂足为 D ,过 A,D 的。O分别与AB, AC交于点E,F ,连接EF, DE, DF .(1)求证：ADE 且 CDF;(2)当BC与。相切时，求。的面积.【答案】(1)见解析；(2) 一.4【解析】分析：(1)由等腰直角三

22、角形的性质知AD=CD Z1 = Z C=45°,由/ EAF=90。知EF是O O的直径，据此知 / 2+/4=/3+/4=90。，得/ 2=/3,利用“ASAE明即可得；(2)当BC与。相切时，AD是直径，根据/C=45°、AC= J2可得AD=1 ,利用圆的面积 公式可得答案.详解：(1)如图，AB=AC, /BAC=90°,，/C=45°.1 ,又AD，BC, AB=AC, z. Z1=-ZBAG=45 ； BD=CD, / ADC=90 ：又 / BAC=90 °, BD=CD,. AD=CD.又/EAF=90 ：EF是。的直径，./

23、EDF=90 ： . . / 2+/4=90又 /3+/4=90 °, ，/2=/3.在 ADE和 CDF中.1 CAD CD ,AADEACDF (ASA).2 3(2)当 BC 与。相切时，AD 是直径.在 RtADC 中，Z C=45 °, AC= J2 ,sin/仁烈，AD=ACsinZ C=1,. OO的半径为工，.。的面积为 .AC24点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等 三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点.9.在平面直角坐标系 xOy中，点M的坐标为(x1, y1),点N的坐标为(x2, y2),且 xiw

24、z, yW2,以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的坐标菱形(1)已知点A (2, 0) , B (0, 2於)，则以AB为边的坐标菱形”的最小内角(2)若点C (1, 2),点D在直线y=5上，以CD为边的 坐标菱形”为正方形，求直线 CD 表达式；(3)。的半径为J2,点P的坐标为(3, m).若在。上存在一点Q,使得以QP为 边的 坐标菱形”为正方形，求 m的取值范围.12 3*5 -4 -3 2【答案】(1) 60°； (2) y=x+1 或 y=-x+3； (3) 1Wm<域-5<1【解析】分析：(1)根据定义建立以 AB

25、为边的坐标菱形”，由勾股定理求边长 AB=4,可得30度 角，从而得最小内角为 60°(2)先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°,得D (4, 5)或(-2, 5),易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=-x+3；(3)分两种情况：先作直线y=x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=x,如图3,根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1, PB=5,写出对应P的坐标； 先作直线y=-x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=-x,如图4,同理可得结论.详解：(1) .点 A (2, 0) , B (0, 2 百)，.-.OA=2, OB=2j3 .在 RtAOB

26、 中，由勾 股定理得：AB二万(2石)2 =4,ABO=30 °.四边形 ABCD是菱形，Z ABC=2Z ABO=60 °.- AB/ CD,Z DCB=180 - 60。=120 °, 以AB为边的 坐标菱形”的最小内角为60 °.故答案为：60°(2)如图2.以CD为边的坐标菱形”为正方形，直线CD与直线y=5的夹角是45 °.过点C作CH DE于E, .D (4, 5)或(-2, 5) , 直线CD的表达式为：y=x+1或y= -x+3 "(3)分两种情况：先作直线y=x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=x,如图3

27、.。0 的半径为 J2 ,且 OQ。是等腰直角三角形，.OD=72 OQ'=2,P'D=3-2=1 .aDDB是等腰直角三角形，PB=BD=1P' (0, 1),同理可得：OA=2，AB=3+2=5.ABP是等腰直角三角形，PB=5,，P (0, 5) , 当1前W5时，以QP为边的 坐标菱形”为正方形； 先作直线y=-x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=-x,如图4.。0的半径为，2,且OQU是等腰直角三角形，-OD=72OQ'=2, -BD=3-2=1. 4口口3是等腰直角三角形，.PB=BD=1, P' (0, -1),同理可得： OA=2, .

28、AB=3+2=5.ABP是等腰直角三角形，PB=5, P (0, - 5) , 当-5前W- 1时，以QP为边的坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1前w 5或-5前w- 1.点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P, Q的坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论 的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目.10.如图，在 RtAAB, ZABC=90°, AB=CB,以AB为直径的。交AC于点D,点E是AB边上一点(点 E不与点A、B重合)，DE的延长线交。于点G, DF, DG,且交BC于 点F.

29、(1)求证：AE=BF;(2)连接 EF,求证：/FEB=Z GDA;(3)连接GF若AE=2, EB=4,求 A GF而面积.分析：(1)连接BD,由三角形ABC为等腰直角三角形，求出 / A与/C的度数，根据 AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到/ADB为直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=2AC,进而确定出/A=/FBD,再利用同角的2余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；(2)连接EF, BG,由三角形 AED与三角形BFD全等，得到ED=FD,进而得到三角形 DEF为

30、等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利 用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结 论；(3)由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1,在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出 GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据 三角形的面积公式计算即可.详解：(1)连接 BD,在 RtABC 中，ZABC=90°, AB=BC, . . / A=/C=45°.，一-，r1. AB为圆 O 的直

31、径，/ADB=90 ,即 BDXAC, . AD=DC=BD=AC, Z CBD=Z C=45 ,2/ A=/ FBD.DF± DG,Z FDG=90 °,ZFDB+Z BDG=90 °.A FBD ZEDA+Z BDG=90 °, . . / EDA=/FDB.在 AED和 4BFD 中，AD BD ,EDA FDB2 .AEDABFD (ASA) , . AE=BF;(2)连接 EF, BG.3 AAEDABFD, . DE=DF.4 ZEDF=90°,AEDF 是等腰直角三角形，/DEF=45°.5 ZG=Z A=45 

32、6;,ZG=Z DEF, ，GB/ EF, . . / FEB=/GBA. /GBA=/GDA,ZFEB=ZGDA;(3) . AEmBF, AE=2, .BF=2 .在 RR EBF 中，Z EBF=90 °,根据勾股定理得:EF2=EB2+BF2.- EB=4, BF=2, .EF=J42 22 =2遥. Adef为等腰直角三角形,de/EDF=90 ,cosZ DEF=EF- EF=2V5, -DE=2V5 X2 = V10 .ge eb/G=/A, /geb=/aed, .-.AGEBAAED), .=，即 ge?ed=ae?eb,ae ed 加？ge=8,即 ge=40 ,

33、则 gd=ge+ed=9/10 .55c八1_19、101 SGDDF-GDDEV10-9 .2252点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定 与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答 本题的关键.11.如图，DABCD勺边AD是4ABC外接圆。的切线，切点为 A,连接AO并延长交BC 于点E,交OO于点F,过点C作直线CP交AO的延长线于点P,且/BCP=/ACD.（1）求证：PC是。的切线；（2）若/B= 67.5 °, BC= 2,求线段PC, PF与弧CF所围成的阴影部分的面积 S.【答案】（1）见解

34、析；（2） 1 4【解析】【分析】（1）过C点作直径CM,连接MB,根据CM为直径，可得ZM+ZBCM=90°,再根据 AB/ DC可得/ ACD= / BAC,由圆周角定理可得 / BAC= / M , / BCP= / ACD,从而可推导得出/ PCM=90°,根据切线的判定即可得；(2)连接OB,由AD是。的切线，可得Z PAD= 90°,再由BC/ AD,可得API BC,从而得BE= CE= 1BC= 1 ,继而可得到 /ABC=/ACB= 67.5 ；从而得到Z BAC= 45 °,由圆周 2角定理可得Z BOC=90,从而可得Z BOE=

35、Z COE= Z OCE= 45 °,根据已知条件可推导得出OE= CE= 1, PC= OC= JOE2 CE2 衣，根据三角形面积以及扇形面积即可求得阴影部分的面积.【详解】(1)过C点作直径CM,连接MB,.CM为直径，/ MBC= 90 ;即 / M+ / BCM= 90 °, 四边形ABCD是平行四边形， .AB/DC, AD/ BC,/ ACD= / BAC, / BAC= ZM, / BCP= / ACD,. . / M = / BCP, / BCP+Z BCM= 90 ；即/ PCM= 90 °, CMXPC, .PC与。O相切；(2)连接OB,.

36、AD是。的切线，切点为 A, OAXAD,即 / PAD= 90 :，11.BC/ AD, /AEB=/PAD= 90 , /.API BC. . BE= CE= - BC= 1,2AB= AC,/ ABC= / ACB= 67.5 ,°/ BAC= 180 ABC- / ACB= 45 °,/ BOC= 2/ BAC= 90 °, . OB=OC, APXBC,Z BOE= Z COE= Z OCE= 45 ,° / PCM= 90 ；/ CPO= / COE= / OCE= 45 ,45冗衣360 OE=CE= 1, PC= OC= JOE2 CE2

37、 S= Sa poc- S 扇形 ofc= 12【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键12.如图，AB为。的直径，DA、DC分别切。O于点A, C,且AB=AD.(1)求 tan/AOD 的值.(2) AC, OD交于点E,连结BE.求/ AEB的度数；连结BD交。O于点H,若BC=1,求CH的长.【答案】(1) 2; (2) /AEB= 135° CH 2【解析】【分析】(1)根据切线的性质可得 /BAD=90,由题意可得 AD=2A0,即可求tan/AOD的值；(2) 根据切线长定理可得 AD=CD, OD平分

38、/ADC,根据等腰三角形的性质可得DOXAC, AE=CE根据圆周角定理可求 /ACB=90°,即可证/ ABC=/ CAD,根据"AAST证 AB8 4DAE,可得 AE=BC=EC可求/ BEC=45；即可求 /AEB的度数；由BC=1,可求AE=EC=1 BE 近,根据等腰直角三角形的性质可求/ ABE=/ HBC,可证AB&4HBC,可求CH的长.【详解】(1) . DA 是。O 切线， ./BAD=90.1 . AB=AD, AB=2AO, . . AD=2AO, ，tan/AOD 竺 2;AO(2)DA、DC 分别切。O 于点 A, C, AD=CD,

39、OD 平分 / ADC, . DO, AC,AE=CE2 AB 是直径，/ ACB=90 ,°/ BAC+/ ABC=90，且/ BAC+/ CAD=90 ；，/ABC=/ CAD,且 AB=AD, / ACB=/ AED=90 AB8 DAE (AAS) , . CB=AE3 . CE=CB 且 / ACB=90 ,° / BEC=45=°Z EBC,/ AEB=135 ,° 如图， BC=1,且 BC=AE=CE . - AE=EC=BC=1 . . BE 72 AD=AB, / BAD=90 / ABD=45，且/ EBC=45,/ ABE=Z H

40、BC,且 / BAC=Z CHB,.ABEAHBC, . BC CH , gp j= "CH, -CH EB AE . 212【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三 角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识 是解题的关键.13.如图，过。外一点P作。的切线PA切。于点A,连接PO并延长，与。交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接 AM交CD于点N,连接AC、CM.(1)求证：CM2=MN.MA；(2)若 / P=30°, PC=2,求 CM 的长.【答案】(1)见解析；(2) CM=2

41、72 .【解析】【分析】(1)由CM DM 知 CAM DCM，根 /CMA=/NMC 据证 AAM6ACMN即可11(2)连接OA、DM,由直角二角形 PAO中/P=30知OA PO PC CO ,据此 22求得OA=OC=2再证三角形CMD是等腰直角三角形得 CM的长.【详解】(1) QeO中，M点是半圆CD的中点，C M D M，CAM DCM , 又Q CMA NMC ,AMCs CMN,CMMNAM = h2,即 CM 2 MN MA ;CM(2)连接 OA、DM ,Q PA是e O的切线,PAO 90 ,又 Q P 30 , 11OA -PO PC CO , 22设e O的半径为r

42、,122解得：r 2,又Q CD是直径,CMD 90 ,QCM DM ,CMD是等腰直角三角形，2在 Rt CMD 中，由勾股te理得 CM 2 DM 2 CD2,即 2CM 2r 16 ,则 CM 2 8,CM 272【点睛】本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角 形的判定和性质等知识点14.如图，点 A, B, C, D, E在。上，AB± CB于点 B, tanD=3, BC=2, H 为 CE延长线上一点，且 AH= 布 ,CH 572 .H(1)求证：AH是。的切线;(2)若点D是弧CE的中点，且 AD交CE于点F,求证：HF=HA；

43、 (3)在(2)的条件下，求EF的长.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3） Ji0 J2【解析】【分析】（1）连接AC,由AB± CB可知AC是。的直径，由圆周角定理可得 Z C=Z D, 于是得到tanC=3,故此可知 AB=6,在RtABC中，由勾股定理得： AC2= 40,从而可得 AC2+AH2=CH2,根据勾股定理的逆定理可得AC± AH,问题得证；（2）连接DE、BE,由弦切角定理可知 ZABD=Z HAD,由D是CE的中点，可得/CED=/ EBD,再由圆周角定理可得 /ABE=/ ADE,结合三角形的外角即可证明/HAF=/ AFH,从而可证得 A

44、H=HF;（3）由切割线定理可得EH=J2，由（2）可知AF=FH=J10,从而可得EF=FH-EH=J10-【详解】（1）如图1所示：连接AC. .ABXCB, .AC是。O的直径，/ C=/ D,tanC=3, .AB=3BC=3 X 2=6在RtABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40, 又.=10, CH2=50, .ac2+ah2=ch2, .ACH为直角三角形， ACXAH, .AH是圆。的切线；(2)如图2所示：连接DE、BE,AH是圆。的切线, / ABD=Z HAD. D是CE的中点，Cd ?d , / CED土 EBD,又 Z ABE=Z ADE, / ABE+/ EB