2020年天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)高三上学期期末考试数学(理)试卷Word版含解析

1、高三数学(理科)第一学期期末七校联考一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的)1 .已知集合|A-刈NT T, B la工3,则()A. im B.C/l.3|D.卜：.鼻.二4【答案】B【解析】【分析】求解集合A,然后根据补集的运算求解 CcA,再根据集合的交集的运算，即可求解 .【详解】由题意A 凶恨-1|，1) 以k-0或所以匚八一川。三乂二，所以|(“1)013-10.小 故选 B.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及集合的混合运算问题，其中解答总正确求解集合A,准确利用集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与计

2、算能力，属于基础题.2 .设aE r|,直线J：除工产6 0,直线卜：x + (a-l + (a-l)-0,贝U”是FJIlJ'的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线平行的等价条件求出得取值范围，结合充分条件和必要条件的定义，进行判定，即可得到答案.【详解】由题意，当a 0时，两直线2x 6 0.x.y . I = 0 ,此时两直线不平行，当2羊1时，若1/.%,则满足1=上1# 2二L a 26由二二得J-由二 0,解得a -或广二，|a 2J -1-1 0当3 =】时， -/ 一成立，-20当a二时，1

3、二成立，即a 两直线是重合的（舍去），故.1 2 6所以b"是k 二的充要条件，故选 c.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及两直线位置关系的应用，其中解答中根据直线平行的等价条件求出得值是解答的本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.x>03.设变量件满足约束条件2C 3y ,则目标函数比六”的最小值是（）x + y-1 > 0A. -5 B. 1 C. 2 D. 7【答案】B【解析】【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合图象确定目标函数的最优解, 代入目标函数，即可求解.< x> 0【详解】由题意，画出

4、约束条件 2x所表示的平面区域，如图所示，j x 2y-I士0x 1 y I > 0由目标函数苫二工1丫，可得卜餐-Zx + z,由图象可知，当直线y-2x 4/过点时，直线在y轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，最小值为- u + 1 - I,故选B.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函 数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题.4 .执行如图所示的程序框图，输出S的值为（工S - 0 J T-l'A. 7 B. 14 C. 30 D. 41【

5、答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知，该程序的功能是利用循环Z构计算并输出变量S的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，即可求解【详解】由题意，模拟程序的运行，可得 S-o,i ,不满足条件i执行循环体，|-2,满足条件能被：整除，5。44-3；不满足条件i执行循环体，|-3,满足条件能被：整除，斗之”;不满足条件i *4,执行循环体，|,4|,满足条件能被：整除，374,4叫|；不满足条件i 4,执行循环体，1,5,满足条件能被：整除，3-14 +，罩.；此时，满足i推出循环，输出 S的值为30,故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利

6、用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构； 当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题5 .已知13 r 卢，l（m且，b - KO 4叫，l。"为，则工屋的大小关系为（）a.ba，" c.d.1【答案】D【解析】【分析】 现判断函数f（#是奇函数，同时又是增函数，结合指数哥和对数的性质判断，三个变量的大小，结合单调性进行判定，即可得到答案【详解】函数FM是奇函数，当 M0时，（刈=«¥为增函数，

7、又由 I < 2.5- 0 4°5 < |Jcg.5 ,Ing# 2, 则0-一 04°'1叫，kg3，所以卜<曰,故选D.【点睛】本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数 的单调性，合理得到比b.c的取值范围是解答的关键， 着重考查了分析问题和解答问题的能力, 属于基础题.6 .己知函数Rx）0加0）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2,将闾的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列是函数感0的单调递增区间的为 （）S 224 I 71 13A.亍 JB. -y- C.D. 【答案】B【解析】【分析】Jr火

8、由函数心0图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2,求得阳-、，所以（x）-AMn-x ,将函数八一n*的图象向右平移个单位长度，得到函数以幻-a置mJ-耳，利用三角函数的性质，即可求 32 o |解.2,【详解】函数 Z - A与加风A，口的0）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为所以函数的最小正周期为4,则空4,解得网W,所以心0-Amu7,2 4一 + 2k < x < - + 2kk E Z3 32 4T故选B.将函数（X）的图象向右平移/个单位长度，得到函数g（x）=盒卯叱x , 32 6It这 3t 3t令一 1 2k肛 < 一X一三 一 4 2kKk E L,解得22

9、 6 2当k Y时，函数的单调单调递增区间为【点睛】本题主要考查了函数的图象变换的应用，以及正弦型函数的图象与性质的应用,中解答中根据三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题j 27 .已知双曲线 J的左、右焦点分别为 固，4，过I）作圆工。/ = J的切线,交双曲线右支于点若2汕11 45,则双曲线的离心率为（A. . B. 2 C. . D.，.目【答案】A【解析】【分析】 设切点为N,连接ON,作通作FNIMK 垂足为A,由ON| 二 H，得到匕川二站在直角三角形AMF2A中，可得二人,得到%叫| =加I 2a,

10、再由双曲线的定义，解得b瓜 利用双曲线的离心率的定义，即可求解【详解】设切点为 N ,连接ON ,作叫作艮N 1 VN ,垂足为A ,由ON|- H,且OR为，耳七金的中位线，可得忖2Al组,乂|总工 b,即有 FjAl-Zb,在直角三角形AMF5中,可得卜正卜 隼,即有MF1 2b I X,由双曲线的定义可得=2b ,卜M 涵 =2a|,可得5 -近M,所以c +/同，所以L £ Va，故选A.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质一一离心率的求解，其中求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：求出hf，代入公式金：； 只需要根据一个条件得到关于 人卜仁的齐次式，转化为工

11、。的齐次式，然后转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式），即可得（的取值范围）.（X5 -x.x e（oj）8 .定义域为R的函数满足I工）加（甲-I,当kEQZ时，3=£.恭E傥4|J ,K. II XT 7t时，T-三恒成立，则实数的取值范围是（）A. 口 / B.（点 C.百，刁 D.）【答案】C【解析】【分析】a根据函数的性质Rky）皿0.和函数的解析式，求得K2向.渣黑福-1则若工后（04'时，J-2 £ 13三& - L恒成立转化为二且1任3”，即可求解222【详解】当近（工3）时,x-2E（0j）,贝 UfWlg 2 卜 1 -w- 1 -

12、 2-12 II，2当卜©,4】时,卜富«1二），则f32f（x-2）l-1X- 2则当工 W （& I）时，l（x） " x- - x - -,0）,a1所以卜庭8用时,f（x）e-）U-1, 2A3所以K2ndJ -渣毡由一 1，,7t“若k6（0“时，d - -3f（x）三4 - L恒成立”等价于解得-二IW2,故选C.£»【点睛】本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中根据题意根据函数的性质和函数的解析式，求得函数的最值，再把恒成立问题转化为不等式组求解是解答的关键，着重考查了转化思想， 以及分析问

13、题和解答问题的能力，属于中档试题二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）2+同9.已知复数z-（是虚数单位），则复数的虚部为 .3 【答案】2【解析】【分析】根据复数的代数形式的四则运算，化简复数，即可得到答案【详解】由题意，复数£土§ 空些坦-吧-L，所以复数的虚部为2.3-i(3-iX3+ i> 10【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题10.若二项式4§齿的展开式中的常数项为 W，则!3dx =.【答案】124【解析】【分析】根据题意，

14、利用二项式求得 m的值，再求出被积分函数的原函数，即可求解i-r-【详解】由题意，二项展开式的通项为一叱片C由12Tr-(，得Ld,所以产或Y,io5则 = J3x'dx = x，l： = f T，= Hi1【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及定积分的计算问题，其中解答中根据二项展开式的通项，求得m的值，再根据定积分的计算求解是解答的关键，着重考查了推理与运 算能力.11.已知正方体ABCD .%1“二口中，四面体同ACDj的表面积为如叮，则该正方体的体积是【答案】8【解析】【分析】由已知画出图形，设正方体的棱长为，由四面体BACD的表面积为瓦内求的的值，则正方体 的体积，即可

15、求解.【详解】如图所示，设正方体的棱长为，则四面体八D的棱长为 品,其表面积 S，= 4 乂1艮 5ax£ =得a 才22所以正方体的体积是L.【点睛】本题主要考查了多面体的体积的计算问题，其中解答中熟记正四面体的表面积的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题 .12.已知抛物线C的参数方程为 比（为参数，b0），其焦点为根，顶点为。，准线为，过点,斜率为用的直线与抛物线C交于点A（A在x轴的上方），过色作B 11于点B ,若ABOF的 面积为,则p -.【答案】【解析】【分析】把抛物线C的参数方程化为普通方程，写出过交点F的斜率为跑的

16、直线方程，与抛物线方即可求出P的值.【详解】抛物线C的参数方程为二加广（为参数,p ,消去参数，化为,准线方程为x其焦点坐标为过焦点F且斜率为弋耳的直线方程为U招程联立，求出点A的坐标，写出点B的坐标，利用AR0F的面积列出方程,由"”以？，整理得12KL2即审-0,I y2- 2px解得x - m或所以当x-；p11 P 厂、Q r <5所以 bBO】'的面积为 5ABOF 三-|OF| yB = -= p-=-,22 2 I 2解得 .【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用,同时考查了三角形的面积的计算问题，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立

17、，求解交点的坐标，再利用三角形的面积公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.2 1|13 .设心I, b 0,若则:t的最小值为.a-l【解析】由已知可得+ b ,从而有 + - - (+-)楠-+1>),展开后利用基本不等式，即可求【详解】由题意，因为aLb满足由4b- 2所以卜 14b - 1,且h 1 / O.b ' o,a-i b a-l2b ;当且仅当a-l b且H + b二，即衽1时取得最小值37内【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，

18、着重考查了分析问题和解 答问题的能力，属于中档试题 .14 .在梯形 ABCD中，RBIICD,2, CD 1,空6=120” , P, d分别为线段 BC|和CD上的动点，且|bp=bc., DQ tDC,则0bQ的最大值为 .【解析】【分析】 根据平面向量的线性运算与数量积的运算，求得 用,，的解析式，进而求得实数的取值范围，在利用函数的单调性，求得最值，即可得到答案【详解】由题意，梯形 ABCD中，AB忙D.ABBC -2,CD = 1,ZBCD 120因为加一限，I- -DC6k-1 46X1 -所以当AI时15 .在&ABC中，内角AJK,所对的边分别为 次".co

19、虱五-因AB - CD + ZBtT + CB - CD0,n 6XI工 J -6a2x 2C0S12OUX 2 x 1 + ZX2-+ >2 x，则k内在j上单调递增,ro【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及平面向量的数量积的运算问题，同时也考查了函数的最值问题， 其中解答中根据向量的线性运算和数量积的运 算，求得at的解析式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中 档试题.三、解答题：(本大题共6小题，共80分)(I )求边的值;(n)求co膜B +负，的值.54dl5T【答案】(I) F (n)318【解析】【分析】(I)由已知利用诱导公式，可求 8JsB得

20、值，利用正弦定理化简已知等式可求得b的值，再根据余弦定理可解得的值;(n)利用同角三角函数的基本关系式可求得目成，的值，根据二倍角公式可求得 ME以g纪B的值，进而根据两角和的余弦函数公式，即可求解【详解】(I )由 ：网苒-B) - 3,得coyB -晨因为lI,由心mB t&ainA，得ab 、后即 卜-、，由余弦定理/- J + J .%ccosB，得加=4a.15 - U，解得a或(舍)1【点睛】本题主要考查了诱导公式、正弦定理、余弦定理，以及三角恒等变换公式的综合应用，其中解答中合理应用正弦定理和余弦定理，以及熟记三角恒等变换的公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算

21、能力，属于基础题16 .某高中志愿者部有男志愿者 6人，女志愿者4人，这些人要参加元旦联欢会的服务工作从这些人中随机抽取 4人负责舞台服务工作，另外6人负责会场服务工作.(I)设X：为事件：“负责会场服务工作的志愿者中包含女志愿者但不包含男志愿者b”，求事件m发生的概率.(II)设X表示参加舞台服务工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列与数学期望【答案】(I) (n)详见解析【解析】【分析】(I)由题意，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解IXMJ的值；(n)由题意得出随机变量 X的取自，计算对应的概率值，写出 X的分布列，求出数学期望【详解】(I)事件为辰的基本事件的总数为|c3事件卜

22、包含基本事件的个数为IC8 561则 P(M)=6 2)0 15Ho15808(n)由题意知X可取的值为：0, 1, 2, 3, 4 .则只 X =0) = - = = - PX = I) = 1 = r210】4，4?】0 215。因此工的分布列为koi234FT2137-435FT120x的数学期望是XE(X) - 0 > P(X - 0) + 1 x P(X-l) + 2>P(X-2) +3xP(X-3)4xP(X-4)-【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式，以及随机变量的分布列与数学期望问题，其中解答中认真审题， 合理准确求解随机变量取每个值对应的概率，利用公式

23、求解数学期望是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题 17 .如图，已知梯形 ABCD 中，IaDUBCI, ZDAB = 90", AB BC - 2 Al) 2,四边形 |EDCF 为 矩形，Be 3 平面EDCF 1平面XHCD.求线段lAP的长.【答案】(I )详见解析(n )(I)求证：DF II平面ABE;(n)求平面ABE与平面BIT所成二面角的正弦值;(出)若点F在线段M上，且直线|AP与平面BEF所成角的正弦值为【解析】【分析】(I)以心为原点，dr所在直线为，轴，Du所在直线为轴建立空间直角坐标系，求得平面|ABE的法向量3,利用向量的数量积，

24、求得即可得到|dF II平面ABE .（n）由（I）求得平面 BEF的一个法向量R-QJ2），利用向量的夹角公式，即可求解平面ABL与平面BEF所成二面角的正弦值. 1II（出）设由=让涓，XE 0,1,得汴=疝4通 = （-I-入认2）,利用向量的夹角公式，列出方程，求得"得到向量 余的坐标，进而求解 AP的长.【详解】（I）证明：四边形EDCF为矩形，DECD,又平面EDCF 1平面ABCD,平面EDCF C平面.XBCD - CD|,归D工平面ABCD取口为原点，口八所在直线为工轴，DE所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图,则A（LQ0, B0.10 ,E9JX2，网一二2）,

25、设平面|ABE的法向量A.血口L2Z,疝一023,由闿吸卜尸案尸，不妨设又:W = （-I22）DF'-ni = - 2+0 + 2-（,，加，m,又|DF9平面ABE |DF II平面.XBE .（n ）设平面BEF的法向量n = （xy.z）|BE-(- L-22；,即20)|伴叶。徨尸f。J _x + 2y = 0tEF*nO . cos(m.n)|m n 3志平面ABE与平面BEF所成二面角的正弦值为（山）二.点F在线段M上，设工£。10 一正 + 位；=（- 1,0,2）4认-I 2,0） = （- I - <242J,又平面的法向量h = QJ2）,设直线A

26、P与平面B旧所成角为75产+曲-11=。|(3=X15X+11)。，1. A-q, 4 2- 匚 丁 一 人1i“.2JU赤(.罚孙 * =卜+(?'4_ : , ,AP的长为苧.【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，其中解答中熟记空间向量在线面位置关系中的应用，以及熟记空间向量的夹角公式在空间角求解中的应用是解答的关键，同时建立适当的空间直角坐标系，正确求解平面法向量是解答的基础，着重考查了推理与论证能 力，属于基础题.18 .设%；是等差数列，是等比数列，公比大于 0.已知4一】，(I)(n)=Cj 1立, cy+bcu(n EN ).设 T，(i)(ii)证明=JnE

27、N ) 烙k(n+l)-20+1",(n) ( i)席竺曰；(ii)详见解析.n 二的通项公式;【解析】【分析】(I)设数列的首项为公差为H，数列%的公比为以，根据等差、等比数列的通项公式，列出方程，求得 由dq的值即可求解数列的通项公式;1 (n 十2(n 4- 1)(n)由题意 ，则(i)中，即可求得Sn ;n(n*2) n(n2)nH 2,即(n1【) ”1VtViI1(ii)化简 rk:，利用裂项法，求解k T (k M) '可作出证明.【详解】(I )设数列 加；的首项为甄，公差为d,数列bj的公比为q,:忖 1, V+4 1 , q4为”1,，q:;或b，,小心之

28、句- 为解得- 1, d1:(n)设7 I二小U,则n(n 卜 2) n(n i 2)2x2 3x3 4x4 tn+ l)(n4-1) 2(n + 1 )1Ci*B+C '寓KX I* x I X? 2 «4 3 «5n(n + 2) n i 2【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“裂项法”求数列求和,此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高， 解答中确定通项公式是基础,准确计算求和是关键，易错点是在错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等x 二 v'1519 .

29、设椭圆三十三二la>b>6的右顶点为 瓦 上顶点为目.已知椭圆的离心率为 匕 叫 厄a- b-I 31(I)求椭圆的标准方程；(n)设直线：|y收也01与椭圆交于卜I,卜两点，且点M在第二象限.与|AB延长线交于点P , 若的面积是 &1处面积的3倍，求k的值.【答案】(i，+ g= 1 (n)引【解析】【分析】(I)设椭圆的焦距为2c,根据题意列出方程组，求得)-2,即可求解椭圆的方程；(II )设点, «际外，由题意，犷心且心”,),由bBKP的面积是,BMN|面 积的3倍，可得50,联立方程求得X-的值，即可求解k的值.【详解】（I）设椭圆的焦距为加，由已知

30、得！ q .L-3, b 口， J I . =22所以，椭圆的方程为之.匚=1. 9 4（II ）设点, R2y3，由题意，$ < % 且'X1,'）由画"的面积是瓯MN面积的3倍,可得PN|T也玳，所以味一正最，从而卜$-、.-¥力）,所以'乂kJ，即- 5、.易知直线|A1曲方程为次+ 3F琲由产y耳;&消去卜，可得力 - 白 2 J.由方程组|石+、=1消去/可得事 -T=-I ykx 俄-46%由% 5%可得记T .向章.，整理得I B!? + ?&k + X 。，解得k=或:l -. -92当k1时，<- - 9

31、、符合题意；当k-；时，不符合题意，舍去.所以，"的值为一.9【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的应用问题，其中解答中熟记椭圆的标准方程及其简单的几何性质，以及联立方程组，利用直线与圆锥曲线的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.20 .已知函数ax1 bx-1,其中正bER|, L ”1院8为自然对数的底数.设出）是；K）的 导函数.（I）若1时，函数鼠X在.专-0处的切线经过点（L 1：,求b的值；（n）求函数在区间70上的单调区间；（出）若R-） 函数1（沌）在区间内有零点，求的取值范围.t I【答案】（I

32、） i（n）详见解析（出）（1-）【解析】【分析】（I ） a I时，利用导数的几何意义，求得切线斜率k-g'（O）- - 1 ,切点坐标（0.1-hj ,即可求解切线的方程，进而求解 h得值；（II ）求得函数f（K的导数其的 yX.2a|，根据以用在JO单调递增，转化为g（x）qL %.刈，分类讨论，即可求解函数的单调区间；C（出）由卜l1d得：，得蚊K）- /-2必-缶41-），由已知，设、为就在区间（ 1。 CC内的一个零点，则由心】）%戈°口可知（*在区间（-1上至少有三个单调区间， 得到 域中在区间一】.x/内存在零点，在区间Rj内也存在零点.则仅）在区间.i,o）内至少有两个 零点，由（ii）可知，列出不等式组，即可求解 .【详解】 L1时，鼠X）5.卜，鼠0）I卜，g&L 2切线斜率kg10-1,切点坐标（0J - bi 切线方程y-（l b）- - X;切线经过点（L-口， <1.b）I b-ll（II） g（x）