三角函数题型及解法

1、近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来 .在考查三角公式进行恒等变形的同时， 低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度 考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题也直接考查了三角函数的性质及图象的变换,.三角函数的命题趋于稳定，会保持原有的.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。1、三角函数的概念及同角关系式此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数

2、的符号规律 正确选取.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的例 1(10 全 I 卷理 2)记cos( 80 ) k,那么 tan100A g k2 B 5 k2C_j=D A.B. -C.D.1 k21 k2解：sin80o,1 cos280ocos2( 80°),1 k2 ,tan100otan80osin 80cos80o甘：。故选B评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用 角函数在各象限的符号.同时熟练掌握三例2 (10全1卷文1) cos300 人A 2(B)- 1 (C) 1 (D)立222解：cos300 cos 36

3、0 60 cos60评注：本小题主要考查诱导公式、2、三角函数的化简求值这类题主要考查三角函数的变换 诱导公式，进行化简、求值 .特殊三角函数值等三角函数知识.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和区J 3 （10重文数15）如题（15）图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ,各段弧所在的圆经过同一点P （点P不在C上）且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为i(i 1,2,3)，则_1 一cos- cos3sin1 sin3解:ccc 123cos评注：本题以过同一点的三段圆弧为背景,2考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技b)H3一，则 tan( 2

4、).54巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的解:为第三象限的角2k< <2k i例4 （10全1理数14）已知 为第三象限的角，c°s24k 2 <2 <4k3 ( K33. c又 cos2- <0, sin2tan tan2tan( 2)441 tan tan24Z)4 x,tan25sin 2cos24343道综合性较强的题目。评注：本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用3、y Asin（ x ）的图象和性质图像变换是三角函数的考察的重要内容,.解决此类问题的关键是理解A,的意义，特别是的判定，以及伸缩变换对的影响。例5（

5、10全2理数7）为了得到函数 ysin（2x ）的图像，只需把函数 3y sin（2 x 一）的图像6(A)向左平移一个长度单位（B）向右平移4一个长度单位4(C)向左平移一个长度单位（D）向右平移2一个长度单位2解:y sin(2x ) =sin 2(x)612评注:y sin(2x y) = sin 2( x ),将y sin（2x 一）的图像向右平移 一个长度单位得到 y sin（2x 64本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数一）的图像，故选B.3y Asin（ x ）中的对函数图象变化的影响是历年考生的易错点，也是高考的重点。区J 6 （10辽理数5）设 &

6、gt;0,函数y=sin（ x+ ）+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是(A)2 (B) 4 (C) 3 (D)3解:将 y=sin(x+一 ）+2的图像向右平移34 、，个单位后为y sin(x2 sin(=2k ，即33k一又23k一 >2评注：本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性,3 -,所以选C2考查了同学们对三角函数图像知识灵活掌握的程度。4、三角形中的三角函数此类题主要考查在三角形中三角函数的利用.解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理例7 （10津理数7）在 AB

7、C中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2 b2J3bc, sin C 20sin B ,则A=(A) 300 (B) 600 (C) 1200 (D) 1500解：由正弦定理得-c- 2/3b c 2 J3b2R 2Rb2+c2-a23bc c2.3bc 2、3bc .3 二 0所以 cosA= -=- -,所以 A=3002bc2bc2bc2评注：解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题。.例8(10苏卷13)、在锐角三角形 ABC, A、B、C的对边分别为a、b、c,b a6cos C a b

8、tanC tanCtan A tan B解：a b6cosc226ab cosC a b.这类题型难度比较低,2abcr4c2ab评注：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.5、三角应用题此类题主要考查三角函数实际应用.解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等。例9 (10京文7)某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形

9、的面积为(A) 2sin 2cos 2； (B) sin73cos3(C) 3sin 点cos 1 (D) 2sin cos 11解：四个等腰三角形面积n和4 一 1 1 sin 2sin2由余弦定理可得正方形的边长为12 12 2 1 1 2cos 2 2cos2cos 2正方形的面积为 2 2 cos ,所求八边形的面积为2sin评注：本题主要考查解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想.例10 (10福理19.)某港口 O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 O北偏西30。且与该港

10、口相距 20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过 t小 时与轮船相遇。(I)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(II)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。解：(I )要使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为OT,1小艇到达T位置时轮船的航行位移 so AT,即30t 10,t3vt 10 a v10 33 30V3 (海里/时)答：小艇航行速度应为30亏3海里/小时。(n)分类讨论得:(1)若轮船与小艇在 A、T之间G位置相遇则有 O

11、G<AG, 又因为AG<OG,所以不符合要求舍去。所以轮船与小艇的交点必在(2)若轮船与小艇在 H处相遇则在直角三角形 OHT中运用勾股定理有:(900 v2)t2 600t、几 1400600以一x则：v *900 -5t.t2t从而 v 10. 4()9,216432所以当v 30时，一，即t。23答：当小艇以30海里每小时的速度，沿北偏东10 4 2 693、2 27-) 一44T、B之间400 030(3)30方向行走能以最短的时间遇到轮船。评注：本题从三角函数出发，考查了学生运用知识解决实际问题的能 力、求解一元二次方程最值问题的能力以及综合分析问题的能力。对待应用题没有

12、什么通解通法，只要认真读题、审题，通过列表、作 图等方式合理分析已知量间的关系，总是能够轻松解题。6、三角函数的最值及综合应用。此类问题主要考查三角函数最值和与三角函数有关学科内综合问题， 如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合。多为解答题。而三角形中三角函数最值问题仍将是高考的热点。，例211. (10湖南又数16.)已知函数f(x) sin 2x 2sin x(I)求函数f(x)的最小正周期(II)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合。解：1) f(x) sin 2x (1 cos2x)2 (2x -) 2sin(2x -) 1函数f(x)最小正周期为2T=22)当 2

13、x 2k4一即x k 2(k Z), f (x)取最大值42 8因此函数f (x)取最大值时x的集合为 x/ x k (k Z)8评注：本小题依托三角函数化简，考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换例12 (10山东理17)1_已知函数 f(x) -sin2xsin2cos xcos12sin(-)(01 (I)求 的值；(11)将函数丫 f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数2y g(x)的图像，求函数g(x)在0, 一上的最大值和最小值。41 .,、2s1n(2) (01 . c .2斛：(I) 因为 f(x) -sin2xsincos xcos ，1、又函数图像过点 (一，)6 21 小 cos(2 一26)即 cos(§f (x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 ,纵坐