微专题27以解析几何为载体的应用题

1、微专题27以解析几何为载体的应用题< )数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现.数学应用问题是江苏数学高考的突出亮点，常以中档题（17或18题）的形式呈现，具有良好的区分度，是高考的重点与热点.本专题集中介绍以解析几何为载体的应用问题，常见的处理手段是结合实际问题，利用图形中的几何关系，通过解析法建立数学模型，应用相关数学 知识予以解决.例题导弓I因微而准 因低而细例题：如图，为了保护河上古桥 OA ,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区.规 划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心 M在线段OA上并与BC相切的圆.且 古桥两端。和A到该圆上任

2、意一点的距离均不少于 80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处， 点C位于点。正东方向170 m处（OC为河岸），tan/BCO = g3求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大?位S的2 7I言功联想联想问题重构网络变式1如图所示，为建设美丽乡村，政府欲将一块长 12百米，宽5百米的矩形空地 ABCD 建成生态休闲园，园区内有一景观湖 EFG(图中阴影部分).以AB所在直线为x轴，AB的 垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系 xOy(如图所示).景观湖的边界曲线符合函数 y = x,1+ -(x > 0)模型，园区服务中心P在x轴正半轴上 X''

3、(1)若在点。和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊 OM,求OM的最短长度；(2)若在线段DE上设置一园区出口 Q,试确定Q的位置，使通道PQ最短.变式2如图所示，有一矩形钢板 ABCD缺损了一角(图中阴影部分)，边缘线OM上每 一点到点D的距离都等于它到边 AB的距离.工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部 分成一个五边形，已知AB=4米，AD=2米.(1)如图所示建立直角坐标系.求边缘线OM的轨迹方程；(2)设点P(t,m)为边缘线OM上的一个动点，试求出点P处切线EF的方程(用t表示).求AF的值，使截去的 DEF的面积最小.如识串联融会贯通8笔讲激活0串讲1如图，相距14 km

4、的两个居民小区 M和N位于?岸1(直线)的同侧,M和N距 离河岸分别为10 km和8 km.现要在河的小区一侧选一地点P,在P处建一个生活污水处理站，从P排直线水管PM, PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ,使小区污水经处理后排入河道，设PQ段长为t(0<t<8) km.(1)求污水处理站到两小区的水管的总长最小值(用t表示)；(2)请确定污水处理站的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度.串讲2为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4 m,渠深为2 m.（1）考虑

5、到农村耕地面积的减少 ，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填 土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠 ，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠 底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽.新题在绕热点在线精兵新题（2018九章密卷）如图所示，有一块扇形区域的空地 ，其中/AOB = 90° , OA = 120 m.现要对该区域绿化升级改造.设计要求建造三座凉亭供市民休息，

6、其中凉亭C位于OA上，且AC =40 m,凉亭D位于OB的中点，凉亭E位于弧 AB上.（1）现要在四边形 OCED内种植花卉，其余部分种植草坪，试确定E点的位置，使种植花卉的面积最大;（2）为了便于市民观赏花卉，现修建两条小道 EC和ED,其中EC小道铺设塑胶，造价 为每米a元，ED为离开地面高1 m的木质栈道，造价为每米2a元，试确定E点的位置， 使两条小道总造价最小.刘1危答题答题标准城少失分C某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥(图1)将河两岸的路连接起来，剖面设计图 纸(图2)如下：其中，点A, E为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C 为桥顶，且曲线段BCD在图纸上的

7、图形对应函数的解析式为y = -8x2(x -2, 2),曲线段AB, DE均为开口向上的抛物线段，且A, E分别为两抛物线的顶点.设计时要求：保 持两曲线在各衔接处(B, D)的切线的斜率相等.(1)求曲线段AB在图纸上对应函数的解析式 ，并写出定义域；(2)定义车辆在上桥过程中通过某点P所需要的爬坡能力(Climbing Ability )为Mp=(该点P与桥顶间的水平距离)X(设计图纸上该点 P处的切线的斜率)，其中Mp的 单位：米.若该景区可提供三种类型的观光车：游客踏乘；蓄电池动力；内燃机动力 2.0米，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度 顺利过桥？,它们的爬坡能力分别为0.8米，

8、1.5米,1米，试问三种类型的观光车是否都可以12 答案：(1)y = G(x + 6) ( 6W X w 2); (2) “游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥.解析：(1)据题意，抛物线段AB与x轴相切，且A为抛物线的顶点，设A(a, 0)(a< - 2),则抛物线段AB对应函数的解析式可设为y= A(x-a)2(a<x<- 2)( X >0, 2分其导函数为y'= 2Xx-a).由曲线段BD的图象对应函数的解析式为y =1J4 + x16x(xC 2, 2),又 y，=(4 + x2)2,且B( 2, 1

9、),所以曲线在B点处的切线斜率为12'a= - 6,解得S 1 4分入(-2 a) =1,因为B点为衔接点，则12X (2a) =,所以曲线段AB在图纸上对应函数的解析式为丫 = 116仅+6)2(6WxW 2).5 分(2)设P(x, y)是曲线段AC上任意一点，若P在曲线段AB上，则通过该点所需要的112”爬坡能力(Mp)i = (x) 8(x+6) = 81(x + 3)29( 6Wx<2), 6 分入11令 y = 二(x+3) -9(-6<x<- 2),所以函数 y1 = -；(x+3) -988(6WxW2)在区间 6, 3上为增函数，在区间3, 2上是减函数，所以(Mp)lmax=8(米)9若P在曲线段BC上，则通过该点所需要的爬坡能力(Mp)2=(-x) , % 2谭2P (2WxW0), 10 分令 t=x2, t0, 4,则(Mp)2=(4：: 2,任0, 4,记 y2=(4：；)2,代0, 4,当t = 0 时,y2=0,而当 0Vtw4 时，y2= 16一t16卜t+8 .16 .,所以当t=4时，t + p有