二倍角与半角的正弦、余弦和正切

1、【知识梳理】1,二倍角公式:sin2 a = 2sin a cosa ;cos2a = cos2 a - sin2tan atan 2a =1 - tan a升哥公式:cos2a =2,2cos a - 12cos2a = 1- 2sin a降哥公式:2cos a =1+ cos2a21 - cos2asin a =2,半角公式:sin a = ?21- cosacosa = ?21 + cosa,a -tan = ?21 - cosa,1+ cosa3,万能公式:2 tan a2 sin a =-2 a1+ tan 一 22 a1- tan 2,cosa =2 a1+ tan 一22 tan

2、 a,2,tana = 2 a1 - tan 24,辅助角公式:asinx bcosxa2 b2 sin(x,a2 b2 cos仅)例如：sin a ± cosa =.2 sin 2 cossin a ± *，3 cosa = 2sin= 2cos5.积化和差公式:6.cos7.8.9.口 (比 +即-Fsin(Q -分.ssiti £= 一si口（仪+。- 51口（口一句.COS Of cos B=式d 一 4-CQ£(Of-由.$m txsin 户二一匚。式值+ g式&一 为.和差化积公式:sin Qf+sin g= 2sinsin Of-

3、sin 尸二 2 coscos of-I-cos = 2 cos值+ £ . asin.22g+尸 a-j8coscos cr cos = -2fin值+#一 a-。£111【典型例题分析】 例1, 不用计算器，求下列各式的值(1) sin150 cos15o2tan 22.50 3 2 o1- tan2 22.50/ 0、2 P 2 p(2) cos - sin 88(4) 1- 2sin1 - cosq - sinq 1 + cosq - sinq 7504 a 4 a cos - sin 一22变式练习：求下列各式的值(1)|os5L+sin笆f cos5P+sin5

4、p楸 1212的 121211(3 一 + cosq - sinq 1- cosq - sinq11- tana 1 + tana2(4) 1+ 2cos q- cos2q例 2、若 tanq= 3,求 sin2q- cos2q 的值例3、已知sin a5 ,a ?13,p J 求 sin2a ,cos2a ,tan2 a 的值例4、化简:变式练习：求证：1+ sin4q- cos4q1+ sin4q + cos4q2tan q1 - tan q例 5、求值：cos280-sin2 50o - sin2190?cos2320o （答案需要积化和差公式例 6、已知 1 + tana = 73+

5、1 ,求 sin2 a 的值1- tana变式练习：2已知sin cos 0,求cos2 的值2例 7、求 sin10osin50osin70o 的值。变式练习：1、求值 tan700 cos100 d3tan20o- 1）2、 cos p- cos 至 cos 里cos 也 的值等于 = 9999【课堂小练】1 .若5p # a 至",则耳 sina + 11 + sin a 等于（）22A.aa-2cos B. 2cos22C.a-2sin2a D. 2sin22.2- sin2 2+ cos4 的值等于(A.sin2B. - cos2C.,3cos2D. -3 cos23.si

6、n6 o cos24o sin78 o cos48o 的值为A.1161 B. - - 161C. 一32D.4.已知 sinx= 非2 1，贝U sin2?Xp-卦值等于4 -6.已知sinm< a < ，求4cos2acosg疑难点2,推论：tana 二 2sina-= 1- cosa ,表明tana与sina的符号相同，知 sina与cosa ,可求tana ,用起来非常1 + cosa sin a1,若没有给出限定符号的条件，则三角比的值应取正、负值，其详细变化见下表:aa2a sin 2a cos2tan 2第一象限第一、三象限+ ,-+,-+第二象限第一、三象限+ ,-

7、+,-+第三象限第二、四象限+ ,-,+-第四象限第二、四象限+ ,-,+-方便。【课堂总结】要理解并掌握二倍角公式及其推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数式的化简、 求值与恒等式的证明二倍角公式是由和角公式由一般化为特殊而来的，要注重这种数学的基本思想方法，学会怎样去发现数学规律【课后练习】1a1、已知 cosa = 一，且 a ? p ,2 p ,则 sin -二 32a；cos=2a；tan =22、1- tancos a 1=-sin 2aaa4cot - tan22 22o30'2tan 22o30'3、如果 tanq = 2 ,那么 cot

8、 2q = 4、已知已知sinx=叵_1,则sinzfl- p中勺值等于2秒 4十5、下列关系：2cos2q = 1- 2sin q cos2q + 1 =22.2 f2cos q cos2q = cos q - sin q cosq =2 q1- tan 2中恒成立2 q1+ tan 211A、一B、一429、已知a是第三象限角，并且43A、一B、34c 2424C、D、- 77sin a =24,则tana的值为（25243C、-D、34()一， .aa10、已知 sin - cos =2255 (450。< a< 540°),求 sin a和tan的值2的个数是（）A、1个 B、2个C、3个 D、4个6、sin a + cosa =-夜，则 sin2 a 等于（）A、1 B、2C、-1D> -27、 cos巴cos2p的值等于 5511、( 1)已知 cosa = °, a ? T p,0 T,求