人教版八年级上册数学讲义

1、八年级数学讲义第11章 三角形三角形的概念三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：三条线段；不在同一直线上；首尾顺次相接.2.三角形的表示 ABC 中，边：AB, BC, AC 或 c, a, b.顶点：A, B, C .内角：/ A , / B , / C.三角形的边1 .三角形的三边关系：（证明所有几何不等式的唯一方法）（1）三角形任意两边之和大于第三边：b+c>a2 2） 三角形任意两边之差小于第三边：b-c<a判断三条已知线段 a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时，就可构成三角形.确定三角形第三边的取值范围：两边

2、之差第三边两边之和.2.三角形的主要线段三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；直角三角形三条高线交于直角顶点；钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线交于三角形内部一点.三角形的中线B连结三角形一个 顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于三角形内部一点 三角形的角1三角形内角和定理三角形中至少有2个锐角结论 1: ABC 中：/ A+/B+/C=180°三

3、角形中至多有1个钝角结论2:在直角三角形中，两个锐角互余.注意：在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在 ABC中，/ C=180° (/ A+/B)在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角.如： ABC 中，已知/ A: / B: / C=2: 3: 4,求/ A、/ B、/ C的度数2三角形外角和定理外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角.性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角三角形的一个外角与与之相邻的内角互补外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角(相等)，可见一

4、个三角形共有6个外角三角形的分类(1)按角分：锐角三角形直角三角形 钝角三角形(2)按边分：不等边三角形底与腰不等的等腰三角形等边三角形五多边形及其内角1、多边形的定义： 在平面内，由一些线段首尾顺次 相接组成的图形叫做多边形 .2、正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。3、多边形的对角线(1)从n边形一个顶点可以引(n 3)条对角线，将多边形分成(n 2)个三角形。双理一为(2)n边形共有2条对角线。4、n边形的内角和等于(n-2) - 180° (n>3, n是正整数)。任意凸形多边形的外角和等于360多边形外角和恒等于 360° ,与边数的多

5、少无关.多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角(如矩形)；多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角.5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360。；相邻的多边形有公共边。【考点三】判断三角形的形状8、若 ABC的三边a、b、c满足(a-b) ( b-c) ( c-a) =0,试判断 ABC的形状 9、已知a, b, c是AABC的三边，且满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca,试判断 AABC的形状10、若AABC的三边为a、b、c （a与b不相等），且满足 a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0,试判断AABC的形状、三角形角有关计算1.如图 ABC中AD是高,A

6、E、BF是角平分线，它们相交于点 解AD 是 ABC 的高，/ C = 70 ° / DAC =180 -90 -70 三20 °/ BAC =50 ° / ABC =180-50 -70 三60 °AE和BF是角平分线 / BAO =25 , Z ABO =30 ° / AOB =180 -25 -30 三 125 °2.如图， ABC 中，D 是 BC边上一点，/ 1= /2, /3=/4,O, / A= 50 ：/ C = 70° 求/ DAC,/ AOB/BAC= 63°，求/ DAC 的度数解设1 x0Q

7、 12,2x03122x0又Q344 2x0又Q24BAC1800x 2x 630 1800 x 390DAC 630 390 2403.已知：P是AABC内任意一点.求证：/ BPC> /A轮延长BP支AC于点D；NBPC是APDC的外角：<ZBPC>ZPDC同理可得/PDC>/A7 BD是AC通上的高:.ZBPC>ZA4.如图，/1 = /2,/ 3=24, / A= 100 ；求 x 的值Z1=Z2 Z3=Z4 AZABC=2Z2 ZACB2Z4 4AABC t ZA+ZABC+ZACB=1«I, AZA12(Z2+Z4H80a V ZA= 100

8、° A Z2+Z4=40" TZ2+Z4+x=180fl :.A-ur5.已知 ABC的/B、/C的平分线交于点 O。求证：/ BOC=90°+/A (角平分线模型)证明；YBO、CO是NB、NC的平分线; Z1=Z2Z3=Z4在HIX'中/IMM +/2+ Z3= 1 期产AZ2+Z3=l«(r ZB(M'在、!中 Z A+ Z+ ZAC B= 180°AZA+2(Z2+Z3)=180oA ZA+2(l«0d ZBOC)=180"/BUC=9U° + ZA6.已知：BP、CP是 ABC的外角的平分

9、线，交于点求证：/ P=90 -证明:；BP、CP是外角平分线 二 Z1=Z2 Z3=ZJ:/EBC是AaRC的外楫:.ZEBC-ZA+ZA( B =ZA+(1NIID -424):.ZEBC=Z1+Z1 2Zl=ZA+(180* -2ZJ) 171+!/3=/A+lhirPBC 中 /P+ /1+ /3=1 的eAZI+Z3=lS0a -ZPZ.ZA+lNiP =2(lSir ZP)- ZA/A （角平分线模型）7.AABC中，/ ABC的平分线BD和 ABC的外角平分线 CD交于D,求证：/ A=2/D （角平分线模型）证明BD、CD是角平分曼:.Nl=/2Z3=Z4在BBC 中 N4/2

10、+ND，/4/2+/D/在ARC中/ACE=/A+/ARC /A2Z3=ZA+2Z2/A2(Z2+ZD)= NA+2/2/C-DB C t82AOB中，/ AOB=90° ,/OAB的平分线和 ABC的外角/ OBD平分线交于 P,求/ P的度数M： VAP. BP是前平分线.A Z1=Z1 Z3=Z4在口!中/4/2+NPn:.zo=2ZP.口n: /p=4kA99.如图：求证：/ A+/B+/ C=/ ADC （飞镖模型）证明:连接BD并延长到£VZA»E=ZABIHZA/CDE二/CBN ZC,； ZADC=ZABIHZCBDZAB<=ZABB+ZA:

11、,ZA+ZABC+ZC=ZA1XT第12章 全等三角形一、全等三角形的概念与性质1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（1）表示方法：两个三角形全等用符号3 来表示，记作ABC DEF2、性质：（1）对应边相等（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等二、全等三角形的判定1全等三角形的判定方法：（SAS） ,（SSS）, （ASA）, （AAS）,（HL）边边边（SSS边角边（SAS角边角（ASA）角角边AAS直角边和斜边（HL）三边对应相等的 两三角形全等有两边和它们的夹 角对应相等的两个 三角形全等有两角和它们的 夹边对应相等的 两个三角形全等 两角和及其中一 个角所对的边对

12、 应相等的两个三 角形全等.有一条斜边和一条 直角边对应相等的 两个直角三角形全 等（HL）2.全等三角形证题的思路：找夹角（SAS）已知两边找直角（HL）找第三边（SSS）若边为角的对边，则找 任意角（AAS）找已知角的另一边（弼）边为角的邻边找已知边的对角（ AAS）找夹已知边的另一角（ASA）已知两角找两角的夹边（ASA） 找任意一边（AAS）3全等三角形的隐含条件：公共边（或公共角）相等对顶角相等利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等利用平行线的性质得出同位角、内错角相等全等三角形（SA2【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或SAS

13、',几何表示如图，在 ABC和DEF中，AB DEB E ABC 里 DEF (SAS)BC EF【典型例题】【例1】 已知：如图，AB=AC, AD=AE,求证：BE=CD.证明：在AABE和AACD中【例4】如图，点 A、F、C、D在同一直线上，点AB=AC,/ BAE=/ CADAD=AE. ABHMCD ( SASBE=CD.【例2】如图，已知：点D、AD=AE, / 1 = /2,由此你 能得出哪些结论给出证明E 在 BC上，且 BD=CE,B和点E分别在直线 AD的两侧，AB/DE且AB = DE, AF=DC。求证：BC/ EF。a正明： / AB/7DE二,A二上口 /

14、 AF = DCAF-FC=DC+FC 二 AXOF在A ABC和 DEF中AB = DE* /A二/OAC-DF二 A ABC A DEF (SAS)J.，0FE二AC序二 BC/ZEF【例5】如图，已知 ABC、ABDE均为等边三角形。求证：BD+ CD=ADo【例3】 如图已知：AE=AF, / B=24° ,求/ BOE的度数.AB=AC, / A=60 ° ,全等三角形（SSS【知识要点】三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或 几何表示【典型例题】【例1】如图，在 ABC中，M在BC上，D在AM上，AB=AC , DB=DC求证：AM是 ABC的角平分线

15、证明：在AABD和AACD中，AB=ACDB=DCAD=AD. AABD AACD (SSS)/ BAD=/ CAD又AB=AC. MB=MC AM是 ABC的角平分线（三线合一）【例2】如图：在 ABC中，BA=BC, D是AC的中 点。求证：BD± AC。例4.如图，在 ABC中，C 90 , D、E分别为 AC、AB 上的点，且 AD=BD,AE=BC,DE=DCt证:DE± AB。解析:.二D是AC的中点（巴外AD=CD在和/XCHD 中BA=BC （已知）* ADeCD （已证 BD=BD （公共边）昌BD芸ZSCB口 （sss）ADB=CDB （全等三角格的对应

16、南相等） ZADB I- -rCDB = 180" （平而定义）:."ADK/CDB二的ABD J.AC （垂直定义）例 3.如图：AB=CD, AE=DF5 CE=FB 求证：/ B=/C。全等三角形（AAS）【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS”，【典型例题】B E C F【例1】已知如图， A D, AB DE, AB/ DE ,求证：BC=EF【例2】如图，AB=AC,B C,求证：AD=AE【例3】已知：如图，AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证：BE=CD.【例4】已知如图，12

17、, 34,点P在AB上，可以得出 PC=PD吗试证明之.A全等三角形（ASA）【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS”，【典型例题】【例AC , BE、CD分别是 ABC及 ACB平分线.1】如图，已知 ABC中，AB* AB = ACj. NABC= /AC8BE, CD» 别是 N ABC和 / ACB 的邛-夕/p / EBG=/DCB ABCDfACBE上 DCE=/ EECBC = BC上 ABC=/ ACB【例2】如图，在AMPN中，H是高:.28芸ZXCBE (ASA)CD=BEMQ和NR的交点，且 MQ = NQ.求证:HN=

18、 PM.证明：MQ和NR是 MPN的高, /MQN= ZMRN = 90°,又 : / 1+ / 3= /2 + /4 = 90在 AMPQ 和 ANHQ 中，MQNQMQPNQH.MPQWANHQ (ASA).PM = HN【例3】已知：如图 AC± CD于C , BDL CD于D , M是AB的中点全等三角形（HL）【知识要点】HL”直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“【典型例题】1、如图，AB=CD, DE± AC, BFXAC, E, F是垂足， DE = BF .求证： AB/CD .FCB解析；: DE_LAC BF_LAC （已如）J.

19、 /AFB=/CED二90c（垂直定义）在ACED和AAFH中DE=BF （已知）NAFE=/CEt）=90"已证）AB = CU（已知）ACED经 AAFB（HL）二/A二NC（全等三角彩的对应角相等）AAB/CD（内错角相等两直线平行）例 2、已知：BEX CD, BE= DE, BC= DA,求证： BECADAE; DF, BC.例3、如图：在 AABC中，/ C=90° , AC=BG 过点 C在AABC外作直线 MN,AM，MN于M, BNLMN于N。（1）求 证：MN=AM+BN。全等三角形常见辅助线的作法一倍长中线法倍长中线法：就是将三角形的中线延长一倍，以

20、便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线法的过程：延长 X到某点，使什么等于什么（延长的那一条），用方法总结：遇 中线，要倍长，倍长之后 构造全等三角形 ，转移边、转移角【例题精讲】例1、如图1,在 ABC中，AD为BC边上的中线.求证：AB+AC> 2AD .分析：因为AD为中线，延长AD至点E,使DE=AD,连接CE; 进而利用全等三角形的判定（SAS） ABDWAECR由全等可得_AB=EC_;证明：延长 AD至E,使DE=AD,连接EC. AD 是中线 DC=DB在ACDE和ABDA中DE=AD,/ CDE之 BDA, DC=DB. .CD/&q

21、uot;DA (SAS .CE=AB在AAEC中 CE+AC>AE CE=AB .AB+AC>AE , DE=AD .AE=2AD VAB+AC>AE .AB+AC>2AD 例2如图CB, CD分别是钝角AAEC和锐角AABC的中线，且 AC=AB.求证：CE=2CD.证明：延长CD至，使DF=CD,连接BF, 在力ADF和力BDC中 AD=BD/ ADF=/ BDCCD=DF 力 ADFNBDC . AF=BC,AF/ BC / CAF+/ ACB=180°, /ACB=/ ABC, /ABC+/ CBE=180 ° / CAF=/ CBE 又因为

22、 AC=BE, 力 CAN 力 CBE： CE=CF例3、 如图，在 ABC中，AD交BC于点D,点E是BC中点，EF / AD交CA的延长线于点 F ,交EF于点G , 若BG CF ,求证：AD为 ABC的角平分线.证明：延长 FE到点H ,使HE FE ,连结BH .在CEF和BEH中CE BECEF BEHFE HECE BEH EFC EHB , CF BH BGEHB BGE ,而 BGE AGFAFG AGF又 ; EF II ADAFG CAD , AGF BAD例4、如图，在 ABC中，AD是BC边的中线， 证明：延长AD到点G,使AD=DG,连结 在AADC和AGDB中-A

23、D=DGA ZADC=Z GDBDC=DB.ADC0AGDB (SSS/ CAD=/ BGD BG=AC又BE=AC,BE=BG，/ BED=/ G/ BED=/ AEF,/ AEF=/ CAD,即：/AEF=/FAE AF=EF.E是AD上一点，且 BE= AC,延长 BE交AC于点F.求证:BG. AD 是 BC边的中线DC=DBAF= EF二截长补短法截长:1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另 短边相等。补短：1.延长短边2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。【例题精讲】例 1.如图，AABC 中，/ACB= 2/B, /1=/2 求证：

24、AB=AC+ CD证法一：(补短法)延长AC至点F,使得AF= AB在4ABD和4AFD中(AB= AFAD = AD AABDAAFD (SAS /B=/Fv ZACB= 2/ BZACB= 2/ F而 ZACB= ZF+ /FDC /F=/FDCCD= CF而 AF= AC+ CF . AF= AC+ CD . AB= AC+ CD证法二：(截长法)在AB上截取AE= AC,连结DE在4AED和4ACD中AE = HCZl= Z2AD = AD AAEDAACD (SAS.DE=DCf ZAED= ZC二七AE口 =+工£口及 ZACB = 2Z5= /B十 £EDBZ

25、b = Zedb：.EB = ED = DC.AS = A£ + EB = AC + DC例2、 如图，在 ABC中，AD为BC边上的高， / B=2/C.求证：CD=AB+BD. 证明：在DC上截取 DE=DB,连接 AE,在 AADB 和 AADE.中 DE=DB, / ADB=/ADE,AD=AD： ADE ADB (SAS) . AE=AB, /AEB=/ B,/ AEB=/ C+/ CAE, / B=2/ C, ED=BD, /AEB=2/C./ C=/ CAE,故 CE=AE=AB.CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD.例3、如图，ADO ABC A AD AD< /C ZE)/BAC ABD0C BAB定