上海市初中数学锐角三角函数的综合练习

1、上海市初中数学锐角三角函数的综合练习一、选择题1 .如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD,小明在斜坡上B处测得标识牌顶部 C的仰角为45；沿斜坡走下来在地面 A处测得标识牌底部 D的仰角为60；已知斜坡AB的坡角为30°, AB= AE=10米.则标识牌 CD的高度是（ 沐.【答案】A【解析】【分析】口口口口口 口C. 10-5y/3D. 573-5过点B作BM，EA的延长线于点 M,过点B作BNLCE于点N,通过解直角三角形可求出BM, AM, CN, DE的长，再结合 CD= CN+ EN-DE即可求出结论.【详解】解：过点B作BMLEA的延长线于点 M,过点B作BNLCE于点N

2、,如图所示.在 RtAABE中，AB= 10 米，/BAM = 30°, ，AM=AB?cos30=5 痣 （米）,BM = AB?sin30° = 5 （米）.在 Rt"CD 中，AE= 10 （米），/ DAE= 60°, .DE=AE?tan60 =10 73 （米）.在 RtBCN 中，BN = AE+ AM = 10+5J3 （米）,C CBN= 45°, .-.CN=BN?tan45° =10+573 （米）,.CD=CN+ EN-DE=10+5 囱+ 5-10 73 =15-5 百 （米）. 故选：A.【点睛】本题考查了

3、解直角三角形-仰角俯角问题及解直角三角形 -坡度坡脚问题，通过解直角三角 形求出BM, AM, CN, DE的长是解题的关键.赵爽弦图”如图所示,2 .公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125,小正方形面积是 25,则sin2cos ()A.5【答案】A【解析】【分析】c. 31159D.5根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5一/5 ,小正方形的边长为5,再根据直角三角形的边角关系列式即可求解.【详解】解：大正方形的面积是 125,小正方形面积是 25, ，大正方形的边长为 5-, 5 ,

4、小正方形的边长为 5,1- 575cos5遍sin5 ，sin1 sincos故选：A.【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出cos sin553.在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A离河边的距离 AB,采取了如下措施：如图在江边D处，测得信号塔 A的俯角为40 ,若DE 55米，DE CE , CE 36米，CE平行于AB, BC的坡度为i 1:0.75,坡长BC 140米，则AB的长为（）（精确到 0.1 米，参考数据：sin40 0.64, cos40 0.77, tan40 0.84 ）A. 78.6 米B. 78.7 米C. 7

5、8.8 米D. 78.9 米【答案】C【解析】【分析】如下图，先在 RtACBF中求得BF、CF的长，再利用 RtAADG求AG的长，进而得到 AB的长 度【详解】如下图，过点 C作AB的垂线，交 AB延长线于点F,延长DE交AB延长线于点G.BC的坡度为1:0.75设 CF为 xm,贝U BF为 0.75xm .BC=140m222 在 RtABCF中，x 0.75x140 ,解得：x=112 .CF=112m, BF=84m .DEICE, CE/ AB, . DGAB,. AADG 是直角三角形 . DE=55m, CE=FG=36m .DG=167m, BG=120m 设 AB=ym1

6、670.84y 120 / DAB=40 DG /. tan40 =AG解得：y=78.8 故选：C【点睛】本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值4.如图，AABC内接于半径为 5的。O,圆心。到弦BC的距离等于3,则/ A的正切值等 于（）A.一5【答案】C【解析】试题分析：如答图，过点B.C.O作OD，BC,垂足为D,连接 OB, OC,. OB=5, OD=3, 根据勾股定理得 BD=4. /A=1/BOC,/A=/BOD.2“r BD 4/. tanA=tan Z BOD= OD 3故选D.考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数

7、定义.5 .如图，在 AABC中，AC± BC, Z ABC= 30 °,点D是CB延长线上的一点，且 BD= BA, 则tan / DAC的值为（）A. 2+石B. 273C. 3+ 73D. 3y/3【答案】A【解析】【分析】【详解】设 AC=x,在 RtAABC 中，/ABC=30,即可得 AB=2x, BC=J3x,所以 BD=BA=2x,即可得 CD=£+2x=（而+2） x,在 RtAACD 中，tan / DAC=CD_ (13_2)x 73 2 , AC x'故选A.6 .为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了 40m长

8、的余道（如图所 示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（）A. 4dF0.B. 名山忸*| I ” I 5 I | 二c. sraoramH"" d.迎 包 口 izn ez【答案】A【解析】【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.25,然后利用计算器求锐角/A.【详解】BC解：因为 AC= 40, BC= 10, sin/A= AC所以 sin/A= 0.25.所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A.点睛：本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出, 已知三角函数值求角需要用第二功能键

9、.7.如图，在 GABC中，AC± BC, / ABC= 30°,点D是CB延长线上的一点，且 AB=BD,则tanD的值为（）A. 2MB. 3出C. 2 MD. 2 73【答案】D【解析】【分析】设AC= m,解直角三角形求出 AB, BC, BD即可解决问题. 【详解】设 AC= m,在 RtAABC 中，. / C= 90°, Z ABC= 30°, .AB=2AC= 2m, BC= #3 AC= Q m ,-.BD = AB= 2m, DC= 2m+出m,.tan / ADC=尸=2 - 3 .CD 2m 、, 3m故选：D.【点睛】本题考查解

10、直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.8.如图，已知圆 O的内接六边形 ABCDEF的边心距OM 2,则该圆的内接正三角形 ACE的面积为（）A. 2B. 4C. 6 3D. 4.3【答案】D【解析】【分析】连接OC,OB,过O作ON CE于N ,证出 COB是等边三角形，根据锐角三角函数 的定义求解即可.【详解】解：如图所示，连接 OC,OB，过。作ON CE于N ,多边形 ABCDEF是正六边形， COB 600,. OC OB ,COB是等边三角形，OCM 600, OM OC?sin OCM,. “ OM4 J3'、OC (

11、cm).sin 603 OCN 300,1 2 3ON -OC , CN 2, 23CE 2CN 4 ,，该圆的内接正三角形 ACE的面积 314 晅 4J3,23'故选：D.【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形 的性质，由三角函数求出 OC是解决问题的关键.AD BC ,垂足为D ,9.如图，在 ABC 中，AC 4, ABC 60ABC的平分线交 AD于点E ,则AE的长为（A.也2【答案】C【解析】【分析】C.4x233 2D.2在RtAADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在 RtAADB中，由AD的长度及/ AB

12、D的度数可求出 BD的长度，在 RtAEBD中，由BD的长度及/ EBD的度数可求出DE的长度，再利用 AE=AD-DE即可求出AE的长度.【详解】/ADXBC . / ADC=Z ADB=90在 RtAADC 中，AC=4, / C=45AD=CD=2 2在 RtAADB 中，AD=2夜，/ ABD=60.BD=AD=2_6 .33. BE 平分 / ABC, / EBD=30° .在 RtEBD 中,BD-2 6BD=3,/ EBD=30°，de=bd=2_233.ae=ad-de=2 2 -2 2 = 4 233故选：C【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用

13、特殊角三角函数解直角三角形.10.如图，一艘轮船位于灯塔 P的北偏东 船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P之间的距离为（）60。方向，与灯塔P的距离为P的南偏东30°方向上的30海里的A处，轮B处，则此时轮船B. 45海里C. 20上海里D.【答案】D【解析】APB=90 ,再利用勾股定理得出BP的长，求出答【分析】根据题意得出：/ B=30。，AP=30海里，/案.【详解】解：由题意可得：/ B=30°, AP=30海里，/ APB=90,故 AB=2AP=60 （海里）,3073 （海里）则此时轮船所在位置 B处与灯塔P之间的距离为：BP力AB2 AP2故选：D

14、.【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键.11.某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度.他从点 A出发沿着坡度为i 1:2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为37°,建筑物底端E的俯角为30°,若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为（精确到0.1米，参考数据：J3 1.73, sin37 0.60 ,cos37 0.80,tan370.75)()A. 23.0米B. 23.6 米C. 26.7米D, 28.9米【答案】C【解析】【分析】如图，设CB±

15、AF于N,过点C作CMLDE于M,根据坡度及 AB的长可求出BN的长，进 而可求出CN的长，即可得出 ME的长，利用/ MBE的正切可求出 CM的长，利用/ DCM 的正切可求出DM的长，根据DE=DM+ME即可得答案.【详解】如图，设 CB±AF于N,过点C作CMLDE于M, 沿着坡度为i 1: 2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，_BN 1一 )AN 2.4 .AN=2.4BN,BN2+ (2.4BN) 2=262, 解得：BN=10 (负值舍去)， .CN=BN+BC=11.。 .ME=11.6, / MCE=30 , .CM=MEtan30=11.6 3, / DCM=37

16、 , . DM=CM tan37 =8.7 屈, .DE=ME+DM=11.6+8.7 石= 26.7(米),故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角 的三角函数值是解题关键.12 . cos60o tan45o 的值等于(3A.一2B 2B.2C 3 C.2D. 1【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可.【详解】 解：原式 故选A.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值.一，,- 3CE平13 .如图，在RtVABC中， ACB 90 , tan B , CD为AB边上的中线,4分ACB ,

17、则正的值（）【解析】C. 4D, 657【分析】 根据角平分线定理可得 AE: BE= AC: BC 3:4,进而求得AE= 3 AB,再由点D为AB中点71 AE 一得AD=AB 进而可求得 的值.2 AD【详解】解：: CE平分 ACB ,点E到 ACB的两边距离相等，设点E至ij ACB的两边距离位h,1 1则 SMCE= -ACh, SBCE= -BCh,22 Szace: Sabce= - ACh: -BCh= AC: BC,22又 Saace: Szbce= AE: BE, .AE: BE= AC: BC,.3 .在 RtVABC 中， ACB 90 , tan B4 .AC： B

18、C= 3:4, .AE: BE= 3:43 AE= AB, 7CD为AB边上的中线, .AD= AB,2些 7 AB 6 .福1AB/2故选：D.【点睛】AE: BE= AC: BC本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得 是解决本题的关键.14.如图，AB是。的直径，C是。上的点，过点 C作。的切线交AB的延长线于点E,若/ A=30°,则 sin/E 的值为（）1A.一2B -2B.2C 3 C.2【答案】A【解析】【分析】BOC的度数,首先连接OC,由CE是。切线，可证得 OC CE,又由圆周角定理，求得/ 继而求得/ E的度数，然后由特殊角的三角函数值

19、，求得答案.【详解】如图，连接OC,CE是。的切线, ./ OCE=90, .OA=OC, .Z OCA=Z A=30° , ./ COEN A+/ OCA=60 ,E=180° -90 -60 =30°,一 。1sinE=sin30 =一2故选A.15.如图,BC 4,正方形 ABCD中，点E、F分别在边CD , AD上,BE 与 CF交于点G .若DE AF1 ,则GF的长为（）AB13A. 一5【答案】A【解析】12B. 一5C.1916D. 5【分析】根据正方形的性质以及勾股定理求得BE CF5,证明 BCE根据全等三角形的性质可得 CBE DCF ,继而

20、根据cos CBE cos ECGBC CG一 一，可BE CE求得CG的长，进而根据GF CF【详解】CG即可求得答案.四边形ABCD是正方形,BC 4 BCCDAD 4,BCECDF 90 , AFDFDECEBECF在BCE和,142CDF 中，5,BC CDBCECE DFBCECDF (SAS)cosCBECBECBECG3GFCFCEBECGCEB 90 CGE ,cosCGCGBCECG BECGCE '125故选A.【点睛】本题考查了正方形的性质,125135勾股定理,全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结

21、合思想的运用16.如图，有一个边长为 2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸【答案】A【解析】【分析】2 3cmD. 4cmAOB的度数，最后根据等腰三角根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出/ 形及直角三角形的性质解答即可.【详解】解：如图所示，正六边形的边长为2cm, OG，BC, 六边形 ABCDE跳正六边形，BOC=360 + 6=60； . OB=OC, OG± BC,1 “ . / BOG=Z COG=- / BOC =30 ,2 . OGXBC, OB=OC, BC=2cm,BG= BC= X 2=1cm22.OB=-BG-=2cm sin3

22、0o 'og=,OB2 BG2.22 12.3圆形纸片的半径为 73cm,故选：A.B C C【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性 质解答是解答此题的关键.17.如图，已知 那iBiCi的顶点Ci与平面直角坐标系的原点 0重合，顶点Ai、Bi分别位于x轴与y轴上，且CiAi=1, / CiAiBi=60 °,将 4归1。沿着x轴做翻转运动，依次可得到12B2c2, 那3B3c3等等，则 C2019的坐标为（）OfC 且 1 JKA.(2018+672 V3,0)B.(2019+673 73 ,0)C.(4035+672 73,

23、 )D.(2020+674向，0)22【答案】B【解析】【分析】根据题意可知三角形在 x轴上的位置每三次为一个循环，又因为 2019 3 673,那么C2019相当于第一个循环体的673个C3即可算出.【详解】由题意知，CiAi 1 ,C1AlB1 60 ,则C1B1A130, ABA2B22,C1B1C2B2C3B3V3,结合图形可知，三角形在 x轴上的位置每三次为一个循环，Q 2019 3 673,OC2019 673(1 2 73) 2019 673百,C2019(2019 673x/3,0),故选B.【点睛】考查解直角三角形，平面直角坐标系中点的特征，结合找规律.理解题目中每三次是一个循环是解题关键.18.如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x 1 1X刻回，斜坡可以用一"次函数y= x刻回，下列结论错误的是 ()2 2A.斜坡的坡度为1： 2B.小球距。点水平距离超过4米呈下降趋势C.小球落地点距 O点水平距离为7米D.当小球抛出高度达到 7.5m时，小球距O点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A、C;根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B;求出当y 7.5时，x的值，判定D .【详解】4x解： y解得，1 -x2x1