专题1.5反比例函数章末重难点题型(举一反三)(苏科版)(解析版)

1、专题1.5 反比例函数章末重难点题型【苏科版】精品文档Kin闹考点6反比例函数图镰上点为坐标观律 一-_害.离10与受比例国教相笑的存在性M瓢考点?求反比例图数的解析式考点H反比俐困数与一次度数综合考点。反土网阚散的工际应用考点1五比例函故的定义考点3反比例画雌性最考点m反比帆咽数值太小比感着京4与反比例她鼓畚美的展会问题考点与隼比例函数K的n何总文K翦列分所】【考点i反比例函数的定义】k【万法点拨】一般地，形如y （k为常数，k o）的函数称为反比例函数。x反比例函数的等价形式：（自变量x的取值：x o）k , y 一 ( k o)x y kx 1( k o) xy=k( ko)【例1】（2

2、019秋?南岗区校级月考）下列函数中，是反比例函数的是（）1- y cA. y x 3B. y 2C. 2xx【分析】根据反比例函数的定义可以判定.【答案】解：根据反比例函数的定义可知产，"是反比例函数,4xD.34x故选：D.【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式y=jK （kw0）,也可转化为y=kx 1 （k*0）的形式，特别注意不要忽略kw 0这个条件.【变式1-1】 （2019春?西城区校级期中）若函数 y m 1 xm 2是反比例函数，则 m （）A.1B.3C.1D. 1【分析】根据反比例函数的定义列方程即可得到结论.【答案】解：.函数？X(m+

3、1) x|m2是反比例函数，|m|-2=- 1, m+lw0,m= 1,故选：D.【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正确的列出方程是解题的关键.【变式1-2 (2019春?阜宁县期中)下列函数：y x 2,y )，y x1,y -2-, y是x的3x 1反比例函数的个数有 ()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【分析】根据题意写出函数表达式再判断它们的关系则可.【答案】解：y=x-2, y是x的一次函数，故错误；二,y是x的正比例函数，故错误；y=x1, y是x的反比例函数，故正确；y = -缶，y是x+2的反比例函数，故错误.综上所述，正确的结论只有1个.故选：B.【点睛】本题考查了

4、反比例函数的定义和方程式的变形，涉及的知识面比较广.反比例函数解析式的一般形式 尸工(kw。).也可转化为 y=kx 1 (k0)的形式，特别注意不要忽略kw0这个条件.【变式1-3 (2018秋?万山区月考)下列函数中，y是x的反比例函数有()2x(1) y 3x ; (2) y - ； (3) y 一 ； (4) xy 3 ; x32“、1八 2k(5)y ；(6)y T； (7) y 2x ； (8) y 一 . x 1xxA.(2)(4)B. (2) (3)(5)(8)C.(2)(7) (8) D. (1) (3) (4)(6)【分析】分别利用正比例函数以及反比例函数的定义分析得出答案

5、.【答案】解：(1) y=3x,是正比例函数，故此选项错误；(2) y=- -1,是反比例函数，故此选项正确；(3)尸限是正比例函数，故此选项错误；(4) - xy= 3是反比例函数)故此选项正确；(5) _2_, y是x+1的反比例函数，故此选项错误；(6) g-L, y是x2的反比例函数，故此选项错误；*2X(7) y=2x 2, y是x2的反比例函数，故此选项错误；(8)尸与 kw0时，y是x的反比例函数，故此选项错误.故选：A.【点睛】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键.【考点2反比例函数的性质】【方法点拨】反比例函数性质如下表：k的取值图像所在象

6、限函数的增减性k 0一、三象限在每个象限内，y值随x的增大而减小k 0二、四象限在每个象限内，y值随x的增大而增大【例2】(2019秋?武陵区校级月考)在反比例函数y 3_E的图象在某象限内，y随着x的增大而减小，x则m的取值范围是()A. m 3B. m 3C. m 3D. m 3【分析】根据反比例函数的性质可得3-m>0,再解不等式即可.【答案】解：.反比例函数 y=±2的图象在每个象限内，y随着x的增大而减小， x3- m>0,解得，mv3.故选：D.【点睛】本题考查了反比例函数的性质.对于反比例函数y=，当k>0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而

7、减小；当k<。时，在每一个象限内，函数值 y随自变量x增大而增大.【变式2-1】 (2019?道外区三模)若反比例函数y 的图象位于第一、第三象限，则 k的取值范围是(x)A. k 2B. k 2C. k 2D. k 2【分析】考查反比例函数的图象和性质，由 2 - k>0即可解得答案.【答案】解：.y=2的图象位于第一、第三象限，乳-2-k> 0,kv 2.【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：、当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当 k<0时，图象分别位于第二、四象限. 、当k> 0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时,在同一个

8、象限，y随x的增大而增大.【变式2-2 (2018春?嘉兴期末)反比例函数,当x的值由n (n>0)增加到n+2时，y的值减少3,则k的值为()A.n(n+2)C.|n(n+2)D.3n(n+2)【分析】根据函数的增减性，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案.【答案】解：由题意，得k k _ o3,n 口中2解得k=&n+2), 2I故选：D.【点睛】本题考查了反比例函数，利用函数的增减性得出分式方程是解题关键.【变式2-3 (2019秋?市中区校级期中)如图，函数y=? (x>0) , y= (x>0)的图象将第一象限分成了 A, B, C三个部分.下列各点中，在

9、 B部分的是()A. (1, 1)B. (3, 4)C. (3, 1)D. (4, 2)【分析】分别将x=1、x= 3、x= 4代入两个反比例函数的解析式求得y的值，即可确定在 B部分的点.【答案】解：把 x= 1代入y= (x>0) , y= (x>0)中，得：y=2和y=6,把 x=3 代入 y = (x>0) , y= (x>0)中，得：y=J和 y= 2,xx3把 x = 4 代入 y = (x>0) , y= (x>0)中，得：y=二和 y=, 上义22点(3, 1)在B部分,故选：C.【点睛】考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是求得在函数图

10、象上点的坐标.【考点3反比例函数值大小比较】【方法点拨】灵活运用反比例函数的图象和性质进行推理是解此类题的关键，反比例函数的增减性只指在同一象限内.【例3】（2018秋？闵行区期末）反比例函数 y K的图象经过点（1,2）, A（Xi , %）、B（x2 , y?）是图象上 X另两点，其中X1 X2 0,那么yi、y2的大小关系是（）a .yiy?b.yiy2C.yiy2d.都有可能【分析】先代入点（-1, 2）求得k的值，根据k的值判断此函数图象所在的象限，再根据X1VX2V0判断出A （Xi, yi）、B（X2, y2）所在的象限，根据此函数的增减性即可解答.【答案】解：反比例函数 y=k

11、的图象经过点（i, 2）,k= - 2,此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随X的增大而增大，1' Xi<X2< 0,A（Xi, yi）、B（X2, y2）两点均位于第二象限，yi<y2.故选：B.【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键.2【变式3-U （20i9秋?槐阴区期中）已知反比例函数y的图象上有三个点（x, y）、（x2 , y2）、（x3 ,y3）,若Xi X 0 X3 ,则下列关系是正确的是 （）A.y1y2y3B.y2yly3C.y3y2yiD.y2里yi【分析】根据函数的解析式得出图象所在的象限和增

12、减性，再进行比较即可.【答案】解：反比例函数 y=-工，函数图象在第二、四象限，且在每个象限内， y随x的增大而增大，.函数的图象上有三个点（X1,yi）, （x2,y2）、 （x3,y3）,且 x1>x2>0>x3,y2V y1< y3,故选：B.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和函数的图象和性质，能灵活运用函数的图象和性质进行推理是解此题的关键.3【变式3-2】 (2019秋？庐阳区校级月考)设 A( 2,yJ , B(1,y2), C(2,y3)是双曲线y 上的三点，则( x)A.y1y2y3b.y1y3y2C. V3y2yid.yiV2【分析】先根

13、据反比例函数的系数k= - 3判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内， y随x的增大而增大，再根据-2V0V1V2,即可判断出yi、y2、y3的大小.【答案】解：: k= 3<0,.则图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，又丁 2<0< 1<2,y1 >y3>y2.故选：B.【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征.【变式3-3(2019春?西湖区校级月考) 若反比例函数y2),设 m (X X2)(y y),则 y mx m不经过第(A. 一B.二C.三注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内.a 1y (a 1,x 0)图象上有

14、两个点(为，%), (x2x)象限.D.四【分析】利用反比例函数的性质判断出m的正负，再根据一次函数的性质即可判断.a-1(a>1, x< 0), a - 1 > 0 >，y =亘二L(a>1, xv 0)图象在三象限，且 y随x的增大而减小,;图象上有两个点(x1,y1), (x2,y2),x1与y1同负，x2与y2同负,m= (x1x2)( y1 y2) < 0,y= mx-m的图象经过一，二、四象限，不经过三象限,【点睛】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.【考点4与反比例函数有关的图象问题】

15、【例4】(2019秋？岐山县期末)已知关于 x的函数y=k (x+1)和y=-包(kw0)它们在同一坐标系中的大致图象是（)【分析】先根据反比例函数的性质判断出k的取值，再根据一次函数的性质判断出k取值，二者一致的即为正确答案.【答案】解：当k>0时，反比例函数的系数-k<0,反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、三象限，原题没有满足的图形；当k<0时，反比例函数的系数-k>0,所以反比例函数过一、三象限，一次函数过二、三、四象限.故选：A.【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题.【变式4-1 （2019?通辽）

16、关于x、y的二元一次方程组 卜一2片k的解满足xvy,则直线y=kx-k- 1与双曲线y=色在同一平面直角坐标系中大致图象是（）I-k【分析】关于x、y的二元一次方程组的解满足xv y确定k的取值范围，然后根据一次函2 工-Sy*4k数和反比例函数的性质确定图象即可.【答案】解：二元一次方程组 I及一小7k中第二个方程减去第一个方程得：x-y=- 5k,2x-3y=-4k关于x、y的二元一次方程组卜一2尸k的解满足xv V, 2xTy=-4kx- y< 0,- 5kv 0,即：k> 0,y= kx- k- 1经过一三四象限，双曲线 y=K的两个分支位于一三象限，B选项符合，故选：B

17、.【点睛】本题考查了反比例函数的图象及一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题意确 定k的取值范围.12_1【变式4-2 （2018?安丘市模拟）一次函数 y=kx+k- 1与反比例函数y= （k为常数），它们在同一坐标系中的图象可以是（）VC. ED.【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质、反比例函数的性质可以判断那个选项中的图象符合题意，本题得以解决.【答案】解：一次函数 y= kx+k- 1 = k （x+1） - 1 一定过点（-1, - 1）,故选项C、D错误，,2 1当k>1时，反比例函数y=-一'的图象在第一、三象限，一次函数y=kx+k-1经过第

18、一、二、三象限,JC故选项A错误，,2 1当0vkv1时，反比例函数 y=£二L的图象在第二、四象限，一次函数y=kx+k- 1经过第一、三、四象限，故选项B正确，【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.,其中mnv0, m、n均为常【变式4-3 （2018春?江都区期末）一次函数 y=mx+n与反比例函数y=.)【分析】根据一次函数的位置确定m、n的大小,看是否符合 mn<0,计算m- n确定符号，即可确定双数，它们在同一坐标系中的图象可以是（曲线的位置.【答案】解：A、由一次函数图象过二、四象限，得m<0,交

19、y轴正半轴，则 n>0,此时mn0;则m- n<0,故反比例函数图象分布在第二四象限，故本选项错误;B、由一次函数图象过二、四象限，得m< 0,交y轴正半轴，则 n>0,满足mn< 0,m< 0, n>0,m n< 0,反比例函数y=ULFX的图象分布在二、四象限，故本选项正确;C、由一次函数图象过一、三象限，得m>0,交y轴负半轴，则n< 0,此时，mnv0,则m- n>0,反比例函数y =m-n的图象分布在第一、三象限，故本选项错误;D、由一次函数图象过一、三象限，得 m>0,交y轴正半轴，则n>0,此时，mn&

20、gt;0,故本选项错误;熟练掌握两个函数的图象的性质是关键.【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象与系数的关系, 【考点5反比例函数K的几何意义】k【万法点拨】反比例函数y (k 0)中比例系数k的几何意义是：过双曲线 yXk.、(k 0)上任意x引X轴y轴的垂线，所得矩形面积为 k。【例5】(2019春?宽城区期中)如图，在平直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点 P作y轴的平行线,分别交函数y 3(x 0)、y X()6(x 0)的图象于点A、点B .若C是y轴上任意一点，则ABC的面积为xC.D. 3【分析】连接 OA、OB,根据反比例函数系数 k的几何意义得出1N1S»aA

21、OP =_ X 3= , SaBQP - x | 一 6|222=3,即可求得SaAQB = SaAQF+ SaBQP =根据同底等高的三角形面积相等,得出 SaAQB = SaABC ,即可求得 ABC的面积.【答案】解：连接 OA、OB,: C是y轴上任意一点，.1. Sa AOB= Sa ABC,Sa BQP =X|-6|=3,3Saaqp = X 3=, 22Sa AQB= Sa AQP+Sa BQP =. Sa ABC =【点睛】本题考查反比例函数中比例系数k的几何意义，关键是掌握y=k （kwo）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值因.【

22、变式5-1 （2019?渝中区二模）如图，平行于 x轴的直线与函数y1 a（a 0,x 0）, y2 - （b 0 . x 0） xx的图象分别相交于 A、B两点，且点A在点B的右侧，在X轴上取一点C,使彳导ABC的面积为3,则a b的值为（）A. 6B.6C. 3D.3【分析】 ABC的面积=；?AB?yA,先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度, 用面积公式即可求解.【答案】解：设A导m） , B （总m）,则： ABC 的面积=l?AB?yA=1? （） ?m=3,2 2mm则 a b= 6.故选：A.【点睛】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，

23、求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设 A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题.13【变式5-2（2019?昆明模拟）如图，函数y （x 0）和y - （x 0）的图象分别是L和.设点P在目上, xxPA/y轴交L于点A, PB/x轴，交l1于点B, PAB的面积为（）C- 3D.【分析】将点P (m, n)代入反比例函数 产二(x>0)用m表示出n即可表示出点 P的坐标，然后根据PB/X轴，得到B点的纵坐标为 旦，然后将点B的纵坐标带人反比例函数的解析式 y= (x>0)即可得mx到点B的坐标，同理得到点 A的坐标；根据PB= m-JL-JlL, PA=&L

24、=2,利用S"abPA?PB即3 3 m m d2可得到答案.【答案】解：设点 P (m, n),.P是反比例函数y=& (x>0)图象上的点,m，点 P (m,二)；m PB/ x轴,B点的纵坐标为将点B的纵坐标代入反比例函数的解析式(x> 0)得:x=B (,),同理可得：A (m,)3 mrnPB= m-2nl一S&ab=，FA?PB = Lx 辿223 m3【点睛】本题考查了反比例函数的综合知识,题目中根据平行坐标轴的直线上的点的坐标特点表示出有关点的坐标是解答本题的关键，难度中等偏上.3【变式5-3 (2019?家阴县一模)如图，点 A是反比例函

25、数y - (x 0)的图象上任意一点，AB/x轴交反x2比例函数y 2的图象于点B ,以AB为边作平行四边形 ABCD ,其中C、D在x轴上，则热行四边形abcd为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【分析】连结 OA、OB, AB交y轴于E,由于AB，y轴，根据反比例函数 yL （kw0）系数k的几何 |x|意义得到SxOEA与SOBE,则四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到S平行四边形ABCD=2Sa OAB = 5.【答案】解：连结 OA、OB, AB交y轴于 巳 如图， AB/ x轴,，AB，y 轴,SaOBE= X 2 = 1 , 2Sa OEA四边形ABCD为平

26、行四边形, S 平行四边形 ABCD = 2SaOAB= 5 .故选：D.【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注.【考点6反比例函数图象上点的坐标规律】【例6】（2019?蜀山区一模）如图，点B在反比仞函数y 2（x 0）的图象上，过点 B分别与x轴和y轴的垂线，垂足分别是Co和A,点Co的坐标为（1,0）,取x轴上一点C1（3 , 0）,过点G作x轴的垂线交反比2为例函数图象于点 B ,过点B1作线段B1A BCo交于点A1,得到矩形ABC1C。，依次在X轴上取点C

27、2 （2,0）, C3（5, 0）,按此规律作矩形，则矩形ABnCnCn 为正整数）的面积为 .【分析】第1个矩形的面积=二第2个矩形的面积= %母虫,于是得到第n卜矩形的面积=父£当.2n+2 n+2【答案】解：第1个矩形的面积= A x 也-1）二£=二一,3“ 3 1+2第2个矩形的面积=第n个矩形的面积=1 » 2+222n+2 - n+2，矩形AnBn?nCn 1 （ n为正整数）的面积为故答案为:【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比仞函数y=k图象中任取一点，过X这一个点向X轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值因

28、.3【变式6-1】 （2019?海港区一模）如图，已知等边OAB,顶点A,在双曲线y （x 0）上，点B1的坐标为（2,0）,过B1作BA2/ /OA ,交双曲线于点A2,过A2作A2B2 /AB1交X轴于B2,得到第二个等边4RA2B2 ；过B2作B2 A/口儿交双曲线于点 人 ,过&作A3B3/B?交x轴于点B3 ,得到第三个等边4B2AB3；以此类推，则点B6的坐标为 Bn的坐标为 .o日1B3 工B2、B3、B4的坐标，得出【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出规律，进而求出点 B6的坐标.【答案】解：如图，作 A2C，x轴于点C,设BiC=a,则

29、A2c = 6a, 0C=0Bi+BiC = 2+a, A （2+a,乃a）.丁点A2在双曲线丫=迎 （x>0）上， （2+a） ?眸=后解得 a=V2- 1,或 a=-V2- 1 （舍去）， OB2=OBl+2BlC=2+2 也2=2/2,，点B2的坐标为（2/2, 0）;作 A3D，x轴于点 D,设 B2D=b,则 A3D=V3b, OD = OB2+B2D = 2/2+b, A2 （2'72+b, V3b）.,一点A3在双曲线y=3 （x>0）上，x （22+b）?扬=仃，解得 b= - a/2+ V3,或 b= - V2 - >/3 （舍去）， OB3=OB2

30、+2B2D=2V1- 2/2+2-71=2>/3,，点B3的坐标为（2/3, 0）;同理可得点B4的坐标为（24, 0）即（4, 0）;以此类推，点Bn的坐标为（2Jn, 0）, ，点B6的坐标为（2/1, 0）. 故答案为（2屈,0） , （ 2,后，0）.o丛B2、B3、B4的坐标【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出进而得出点Bn的规律是解题的关键.3【变式6-2】(2018?邻水县一模)如图，分别过反比例函数y '图象上的点P(1,yi), P2(2,y2),xPn(n,Pn).作x轴的垂线，垂足分别为 A, A2, A ，连接AP2,

31、 A2P3,，人由，再以AiP , AP2为一组邻边画一个平行四边形APiBiP2 ,以A2P2 , A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3 ,依此类推，则点 Bn的纵坐标是 .(结果用含n代数式表示)0 3 4 A3 a 冬 K【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点Pi、P2的纵坐标，由平行四边形对边平行且相等的性质求得点Bi的纵坐标是y2+y1、B2的纵坐标是y3+y2、B3的纵坐标是y4+y3,据此可以推知点 Bn的纵坐件曰-,33 I 6n+3yn+i + yn+y n+1 n |n(n+l)【答案】解：,一点 Pi (i, yi) , P2 (2, y2)在反比例

32、函数 支上的图象上，.yi=3, y2 = y;PiAi = yi = 3;又.四边形 AipibiP2,是平行四边形,PiAi=BiP2=3, PiAi / BiP2 ,，点Bi的纵坐标是:y2+yi =+3,即点Bi的纵坐标是同理求得，点 B2的纵坐标是：y3+y2=i+|- = y；点 B3的纵坐标是： y4+y3=+I =-7;44点 Bn的纵坐标是： yn+1 + yn = += 归;n+1 n n（n+l）故答案是：&计3 .n（nl-l）【点睛】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象.解答此题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等的性质

33、求得点Bn的纵坐标yn+1 + yn.k.【变式6-3（2019?德州）如图，点Ai、人、A 在反比仞函数y （x 0）的图象上，点A2、M A xk .在反比仞函数 y （x 0）的图象上，OAA2 AAA AAA60，且OA 2,则A（n为x正整数）的纵坐标为.（用含n的式子表示）【分析】先证明 OAiE是等边三角形，求出A1的坐标，作高线 A1D1,再证明 A2EF是等边三角形,作高线A2D2,设A2 (x,根据OD2=2C = x,解方程可得等边三角形的边长和A2的纵坐标,同理依次得出结论，并总结规律：发现点A1、A3、A5在x轴的上方，纵坐标为正数，点A2、A4、A6,在x轴的下方，

34、纵坐标为负数，可以利用（-1） n+1来解决这个问题.【答案】解：过 A1作A1Dx轴于D1,- OA1 = 2, / OA1A2=/ a= 60 ,1 OA1E是等边三角形，2 A1 （1，近），k=|>/3,过A2作A2D2，x轴于D2, Z A2EF = Z A1A2A3=6O , A2EF是等边三角形,设 A2 ( X, EA2D2 中，Z EA2D2=30° ,ED 2=- OD2 = 2+=x,解得：X1=1舍），X2= I+V2,EF =2(V2-1)/升 (五+l) (&T)=2 (2- 1)=242-2,A2D2=即A2的纵坐标为- V3（V2-1）；

35、过A3作A3D3，X轴于D3,同理得： A3FG是等边三角形,设 A3 (x,),则 A3D3FA3D3 中,Z FA3D3=30 ,FD3= -OD3=2+2V2-2+-解得：xi = J百/1（舍），X2=，GF =2 (g® =2-22,A3D3=/ W3+V2即A3的纵坐标为Vs （V3-V2）; An （n为正整数）的纵坐标为：（-1） n+V3 （YnTrH）；故答案为：（- 1） n+V3 （而 7rH）；【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形30度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问题.【考

36、点7求反比例函数的解析式】【例71 （2019秋?庐阳区校级月考）已知 y 1与x成反比例，当x 1时，y 5,求y与x的函数表达式.【分析】设出解析式，利用待定系数法求得比例系数即可求得其解析式.【答案】解：设y-1=k，根据题意得 工5 1 = k,解得k= - 6,即y= 十【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=§ （k为常数，kw0） ; （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式.【变式7-1（2018秋?金山区期末）已知：y y1 y2,并且

37、y1与（x 1）成正比例，y2与x成反比例.当x 2时，y 5;当 x 2 时，y 9.（1）求y关于x的函数解析式；（2）求当x 8时的函数值.、H【分析】（1）可设y1 = k1（x-1）,y2= （k1w0,k2w0）,把已知条件代入则可求得y与x的函数x解析式；（2）把x=8代入（1）求得函数解析式求解.fan【答案】解：（1）由题意可设 y1 = k1 （x 1） , y2=（k1w0, k2w0）,.y=y1+y2=k1 (x1) +-.把 x = 2, y=5； x= - 2, y= - 9 代入可得:uk?C-2-1) k, =-91 一解得，y关于x的函数解析式为y=2 (x

38、-1)(2)当 x=8 时，y=2X (8 1)+ 6 59+【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分.【变式7-2(2018秋?浦东新区期末)已知y % y2, y1与x2成正比例，y2与x 1成反比例，当x 1时,y3；当x2时，y 3,求y与x之间的函数关系式.【分析】根据题意设出函数关系式，把x= - 1时y=3,当乂= 2时，y=-3 .代入y与x间的函数关系式便可求出未知数的值，从而求出其解析式.【答案】解：: yi与x2成正比例,.,2 y1= k1x .y2与x- 1成反比例,7x-1y= k1x2+ “x

39、-1当 x= 1 时，y= 3;x= 2 时，y= 3;klill-32 一,解得:2 R-l【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和正比例函数的解析式，掌握待定系数法求函数解析式的方法是解本题的关键.3【变式7-3 (2018秋?包河区期末)如图，已知点 P在双曲线y (x 0)上，连结OP ,若将线段OP绕 x点O逆时针旋转90得到线段OQ,求经过点Q的双曲线的表达式.【分析】过P, Q分别作PM，x轴，QN，x轴，利用AAS得到两三角形全等，由全等三角形对应边相等 及反比例函数k的几何意义确定出所求即可.【答案】解：如图，过 P, Q分别作PM，x轴，QN，x轴， . / PO

40、Q = 90° , ./ QON + /POM =90° , . / QON + ZOQN =90° , ./ POM =/ OQN,由旋转可得OP=OQ,在4QON和OPM中，rZQNO=ZOUP=90°1 Z0QN=ZP0H , lOQ=OP2 .QONAOPM (AAS),ON = PM, QN = OM,设 P (a, b),则有 Q (- b, a),由点P在y=|图象上，得到ab=3,- ab= - 3,经过点Q的双曲线的表达式为 y=-A.【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及坐标与图形变化，熟练

41、掌握待定系数法是解本题的关键.【考点8反比例函数与一次函数综合】【例8】(2019秋?武陵区校级月考)已知A(a, 2a)、B( 2,a)两点是反比例函数 y 9与一次函数y kx b x图象的两个交点.(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求ABO的面积；(3)观察图象，直接写出不等式kx b m 0的解集.x【分析】(1)由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m的值；由点B的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析；(2)求得C的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；

42、(3)结合函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集；【答案】解：(1) .A (a, - 2a)、B ( - 2, a)两点在反比例函数 y=的图象上,Xm= - 2a?a= - 2a,解得 a= 1, m= - 2,.A (1, - 2) , B ( - 2, 1),反比例函数的解析式为y=-将点 A (1, - 2)、点 B (-2, 1)代入到 y=kx+b 中,得:解得: 一次函数的解析式为y= - x- 1.(2)在直线 y= - x - 1 中，令 y=0,则-x - 1=0,解得 x= - 1,C (T, 0),Sa AOB= Sa AOC+& BOC

43、=x 1 =一(3)观察函数图象，发现:当xv - 2或0vxv 1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方,.不等式kx+b-巫0的解集为xv - 1或0vxv2.【点睛】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的解析式；要能够熟练借助直线和x轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积.【变式8-1(2019?新蔡县一模)如图，在直角坐标系xOy中，直线y mx与双曲线n a相父于A( 1,a)、 xB两点，BC x轴，垂足为C ,aoc的面积是1.(1)求m、n的值;求直线AC的解析式.(2)的面积等于 ABC面积的1 ,求点4P的坐标.【分析】(1)由题意，根据对称性得到B的横坐标为1,确定出C的

44、坐标，根据三角形AOC的面积求出A的纵坐标，确定出 A坐标，将A坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m与n的值;(2)设直线AC解析式为y= kx+b,将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AC的解析式;(3)根据题意求得 POC的面积为xi?|yp|,解得-j-,根据三角形面积公式得到求得P的坐标.【答案】解：(1);直线y=mx与双曲线y=、相交于A ( - 1,a)、B两点,.B点横坐标为1,即 C (1, 0),. AOC的面积为1,二A (T, 2),将 A ( - 1, 2)代入 y = mx, y=且可得 m = - 2, n= - 2;(2)设直线AC的解析式为

45、y=kx+b,y= kx+b 经过点 A (- 1, 2)、C (1, 0)-k+b=2 k+b 二。解得 k= - 1, b= 1,直线AC的解析式为y=-x+1;(3) /A ( 1, 2) , C (1, 0), B (1, - 2), Sa abc=X 2X2=2,2 .POC的面积等于 ABC面积的一, 4Sa POC = , 2Sa poc=：oc?|yp|,= i?|yP|,解得 yP=± 1,【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，待定系数法确定函数解析式，三角形面积等，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.【变式8-2(2

46、019春?京口区校级月考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b与反比例函数y -x的图象交于 A( 1,m), B(n, 3)两点，一次函数y kx b的图象与y轴交于点C .(1)求一次函数的解析式；(2)若反比例函数y=-±,当yw- 2时，x的取值范围是 .(3)根据函数的图象，直接写出不等式kx+b>-L的解集.x(4)点P是x轴上一点，且 BOP的面积是 BOA面积，求点P的坐标.【分析】(1)利用待定系数法求出 A, B的坐标即可解决问题.(2)求出y=-2时x的值，再利用图象法解决问题即可.(3)观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的

47、取值范围即可解决问题.(4)根据SaAOB= SaAOC+SaBOC,求出 OAB的面积，设 P (m, 0),构建方程即可解决问题.【答案】解：(1)由题意A ( - 1, 6) , B (2, - 3),则有，解得k二-5b二 3，一次函数的解析式为y= - 3x+3.(2)对于反比例函数 y= -!1,当y=- 2时，x=3,当 0vxv3 时，y< 2.故答案为0vxW3.(3)不等式kx+b>-的解集为：x<1 或 0v xw2.(4)连接 OA, 0B,由题意 C (0, 3),SaAOB= SaAOC+ SBOC= X 3X 1x 3X 2设 P (m, 0),

48、由题意L?|m|?3=，22解得m= 土 3,.P (3, 0)或(-3, 0).【点睛】本题考查反比例函数的性质，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.【变式8-3】(2019春？卧龙区期末)如图，一次函数Vi Kx 2与反比例函数V2的图象交于点A(4,m)x和B( 8, 2),与y轴交于点C .(1)ki , k2 ;(2)根据函数图象可知，当yi y2时，x的取值范围是 ；(3)过点A作AD x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线 OP与线段AD交于点E ,当酶边形odac ：S ODE 3:1时，求直线OP的解析式.B

49、 (-8,-2)代入y2【分析】(1)先把B点坐标代入入yi = kix+2可确定一次函数解析式，再把可确定反比例函数解析式；(2)观察函数图象得到当-8<x< 0或x>4, 一次函数图象都在反比例函数图象上方;(3)先确定点 A的坐标是(4, 4),点C的坐标是(0, 2),再计算出 S梯形ODAC=12,由S梯形ODAC：SA ODE=3： 1可求得Sa ODE,可求得DE=2,则可求得 E的坐标为，然后确定直线 OP的解析式.【答案】解：(1)把 B (- 8, -2)代入 yi=kix+2 得-8k1+2=- 2,解得 ki =-i-,一 一次函数解析式为 yi =

50、x+2;2kn把 B ( - 8, - 2)代入 丫2=上得 k2= - 8X ( - 2) = 16,X反比例函数解析式为y2=§,故答案为：y, 16；(2) 当y1>y2时即直线在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围，- 8< x< 0 或 x>4;故答案为：-8V *<0或*>4;(3)把 A (4, m)代入 丫2=也得 4m=16,解得 m=4,.点A的坐标是(4,4),而点C的坐标是(0,2), .CO = 2, AD = OD = 4.梯形ODAC =X (2+4) X 4= 12S 梯形 ODAC： Sa ODE =3： 1

51、,1 1 Sa ODE = X 12 = 4,3 OD?DE = 4,2DE=2, 点E的坐标为(4,2).设直线OP的解析式为y=kx,把E (4, 2)代入得4k=2,解得k卷, ,直线OP的解析式为y=Lx.2待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式,【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题,反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，在(1)中注意函数图象的交点坐标满足两个函数解析式；在(3)中求得E点的坐标是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大.【考点9反比例函数的实际应用】【例9】(2019秋?碑林区校级月考)某小学为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水

52、机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10 C,待加热到100 C,饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温 y(C)与通电时间x (分)的关系如下图所示，回答下列问题：(1)当0W xW8时，求y与x之间的函数关系式;(2)求出图中a的值;(3)某天早上7: 20 ,李优老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在8:00上课前能喝到不超过 40 C的温开水，问：他应在什么时间段内接水？【分析】(1)由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得y与x的关系式；(2)将y=20代入y=gQ&,即可得到a的值；(3)要想喝到不超过 40c的开水，7： 30加20分钟即可接水，一直到 8: 10;【答案】解：(1)当0WxW 8时，设y与x之间的函数关系式为 y=kx+b (kw 0),将(0, 20) , ( 8, 100)代入 y= kx+b,得：1b，l8L+b=L00加曰fk=10解得：，lb=20当0WxW8时，y与x之间的函数关系式为 y=10x+20;(2)当8WxW a时，设y与x之间的函数关系式为：y= (k2W0),k2k2将(8, 100)代入 丫=洋，得：100=：解得：k2=800,当8WxWa时，y与x之间的函数关系式为：y=型电；将(a, 20