八年级一元一次不等式

1、第四章 一元一次不等式（ 组 ）考点一、不等式的概念3 分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质（ 3-5 分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向

2、改变。4、说明：在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。如果不等式乘以 0，那么不等号改为等号所以在题目中， 要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式（ 6-8 分）1 、一元一次不等式的概念： 一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般步骤：（ 1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x 项的系数化为 1考点四、一元一次不等式组 （ 8 分）1、一元一次不等

3、式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。4、当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法（ 1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（ 2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。6、不等式与不等式组不等式：用符号，=，号连接的式子叫不等式。不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。不等式的两边都乘 以或

4、除以同一个负数，不等号方向相反。7、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。经典例题透析类型一：解一元一次不等式组(D,并把它的解集在数轴上表示出来。fix2 >4O同一工i1、解不等式组1 3思路点拨：先求出不等式的解集，然后在数轴上表示不等式的解集，求出它们的公共部分即不等式组的 解集。2解析：解不等式，得x>不；解不等式，得 XV 1。2所以不等式组的解集为一 百W XV1在数轴上表示不等式的解集如图。J1 1，0 I一3总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向

5、右画，小于向左画。有等号画实心圆点，无等号画空 心圆圈。举一反三：飞1- 2 < 3工十4 二+苫尸科【变式1】解不等式组：3解析：解不等式，得：A <3解不等式，得：'''二 在数轴上表示这两个不等式的解集为:原不等式组的解集为:3工十4。©-2x-l <3【变式2】解不等式组：一 "3m软+ 4思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：(1)不等式组里不等式的个数并未规定；(2)在同一不等式组里的未知数必须是同一个(3)注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别4x >解法一：解不等式，得：*解不等式，得：；

6、二解不等式，得：五三：在数轴上表示这三个不等式的解集为:3原不等式组的解集为:解法二：解不等式，得：上<2解不等式，得：五三：由五与五E1得：亮Ml44.x- - <z < 1再与3求公共解集得：;【变式3】解不等式组:Ix-Kx22x ->3x+3解析:22况-'4>3x-F3解不等式得：x>2解不等式得：xv7.不等式组的解集为无解_ 72工一1【变式4】解不等式：1V 弓 <5思路点拨：（1）把连写不等式转化为不等式组求解；（2）根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。，<手，立解法1:原不等式可化为下面的不等式组1 3解不等式

7、，得x>1,解不等式，得x< 8所以不等式组的解集为一1vxW8。即原不等式的解集为一1vxw 82j1解法 2: -1< 3 W5, - 3<2x- K 15, - 2<2x< 16, - 1<x< 8。所以原不等式的解集为一1v xw 8总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等 式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.5x-2>3（x+1）CD2 1M 7 【变式5】求不等式组 匕2 的整数解。思路点拨：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集

8、，取其公共部分 得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。5解析：解不等式，得 x> 2 ;解不等式，得x< 4。在数轴上表示不等式的解集（如图）0 五 425所以不等式组的解集为 2 <x<4o所以它的整数解为 3,4。类型二、含参数的一元一次不等式组p; <3ff-22、若不等式组上力-5无解，求a的取值范围.LL思路点拨：由两个不等式组成的不等式组无解只有一种情况，即“大大小小”，也就是说如果x比一个较大的数大，而比一个较小的数小，则这样的数x不存在.解析：依题意：2a-5 > 3a-2,解得a < -3总结升华：特别地，当2a

9、-5与3a-2相等时，原不等式组也无解，请注意体会，以后做此类型的题目不要忽略对它 们相等时的考虑.举一反三：Jr +1【变式1】若不等式组lx > 2m- 1无解，则脸的取值范围是什么？解析：要使不等式组无解，故必须 附+ 禅1 ,从而得花之2 .(r + 4 r , > -+ 1 32 工 f 口 的解集为K m2 ,则丁的取值范围是什么？i + 4 x> 一解析：由32+1可解出走2 ,而由工十口匕口可解出黑一0 ,而不等式组的解集为 五< 2 ,故2,即 H 一二.总结升华：上面两个例题给出不等式组的解集，反求不等式组中所含字母的取值范围，故要求较高.解这类题目

10、的 <2关键是对四种基本不等式组的解集的意义要深刻理解，如变式2,最后归结为对不等式组【工解集的确定，这就要求熟悉“同小取小”的解集确定方法，当然也可借助数轴求解。-(2r-T) % 工-1【变式3】不等式组 工一比*°的解集为x<2,试求k的取值范围加f>一1解析：卜姓二0 ，由得xv 2,由得XV k,不等式组的解集为 xv 2, 2< kJP k>2.X-附NG:【变式4】已知关于尤的不等式组3-2工>1的整数解共有5个，求鹤的取值范围。解析：.不等式组工一.之。的解为：工之傩不等式组5 2/ > 1的解为：员c 2由于原不等式组有解，

11、解集为在此解集内包含 5个整数，则这5个整数依次是L 0.m必须满足士 一3工一心2【变式5】若不等式组的解集为ivxvl,则(a+ b)2008=h解析：由知x>a+ 2,由知xv上,ba+ 2 = 1,上=1,a= - 3, b=2,.-a+b = - 1, . (a+b) 2008 =(i)2008=i。类型三、建立不等式或不等式组解决实际问题若9190 3、某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过 200人;每组比预定的人数少 1人，则学生总数不到 190人，求预定每组学生的人数。国思路点拨：运用不等式解应用题的方法，找出题目中的不等关系，

12、列不等式组，本题中的两个不等关系是：个小组中每组比预定的人数多1人，学生总数超过 200人；9个小组中每组比预定的人数少1人，学生总数不到人。p(r+lJ>200解析：设预定每组学生有x人，根据题意，得回口A>-.19?191-199丁二_<M：-解这个不等式组，得9 ,所以不等式组的解集是99 ,其中符合题意的整数解只有一个x= 22。答：预定每组学生的人数为 22人。总结升华：列不等式(组)解应用题，首先将题目中的不等关系用不等式表示出来，当求得未知数的值后，要检验, 是检验所求值是否是原不等式或不等式组的解，二是检验所求得的值是否与实际意义相符。举一反三：【变式1】某饮

13、料厂为了开发新产品，用 A、B两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共 50千克，下表是试验的相关数据：饮料每千克含量甲乙A (单位：千克)0. 50. 2B (单位：千克)0. 30 4(1)假设甲种饮料需配制 x千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集。(2)设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y元，请用含有x的式子来表示y。并根据(1)的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最小？解析：(1) 0.5x+0.2(50 -x)< 19 0.3x+0.4(50-x)<17.2 由得xW3

14、0,由得x>28.-28<x<30(2) y=4x+3(50-x),即 y=x+150因为x越小，则y越小，所以当x=28时，甲、乙两种饮料的成本总额最少。【变式2】某园林的门票每张 10元，一次使用。考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法(个人年票从购买日起，可供持票人使用一年)。年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次 2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需要再购买门票，每次 3元。(1)如果你

15、只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。(2)求一年中进入该园林至少多少次时，购买A类年票才比较合算。思路点拨：“合算”是指进园次数多而花钱少，或是花相同的钱进园的次数最多，显然是通过计算进行代数式比 较和建立不等式(组)关系。解：(1)不可能选A类年票，若选B类年票，则为10次；若选C类年票，则为13次；若不购买年票，则为 8次所以计划用80元花在该园林的门票上时，选择购买C类年票的方法进入园林的次数最多，为13次。(2)设至少超过x次时，购买A类年票才比较合算，则 60+2x>120 解得 x>

16、 3040+3x>120 解得 x>2610x>120 解得 x>12，x> 30所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票才比较合算。【变式3】若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住 8人，则有一间宿舍的人不空也不满，问学生有多少人？宿舍有几间？解析：设宿舍共有x间。r公>4筑+2。8（x-l）<4x + 20解得：5<x<7,x为整数x= 6学生人数4X6+ 20 =44（人）答：学生44人，宿舍6间。【变式4】某学校计划组织 385名师生租车旅游，现知道出租车公司有42座和60座客车，42座客车

17、的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆 460元，（1）若学校单独租用这两种客车各需多少钱？（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且比单独租用一种车辆节省租金，请选择最节省的租车方案。解析：（1） 385 + 42=9.2 单独租用42座客车需10辆，租金为320X 10= 3200（元）385 + 60=6.4 单独租用 60座客车需7辆，租金为 460X 7= 3220（元）（2）设租用42座客车x辆，则60座客车需（8 x）辆42x-h608-x）>38535加汉十45耶一小320。解得：力亚因x取整数x=4, 5当 x= 4 时，租金为 320X4 + 460

18、X （8 4）=3120（元）当 x= 5 时，租金为 320 X 5 +460 X （8 5） =2980（元）所以租5辆42座，3辆60座最省钱。【变式5】解方程。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和一2的距离之和为5的点对应的x的值。在数轴上，1和一2的距离为3,满足方程的x对应点在1的右边或2的左边，若x对应点在1的右边，由图（17）可以看出x= 2;同理，若x对应点在一2的左边，可得x= 3, 故原方程的解是 x=2或x=3参考阅读材料，解答下列问题:(1)方程的解为(2)解不等式>9；(3)若<a对任意的x都成立，求a的取值范围解： ( 1 ) 1 或2)

19、和 的距离为 7 ，3与在 3 的右边时，如图（ 2） ，易知的左边时，如当图（ 2 ） ，原不等式的解为大于或等于3) 原 问题 转化 为最大值.时,的增大而减小,时，712分一次不等式（组）中参数取值范围求解技巧（提高部分）已知一次不等式（组）的解集（特解），求其中参数的取值范围，以及解含方程与不等式的混合组中参变量（参 数）取值范围，近年在各地中考卷中都有出现。求解这类问题综合性强，灵活性大，蕴含着不少的技能技巧。下面举 例介绍常用的五种技巧方法。、化简不等式（组），比较列式求解例1.若不等式；（久-k）之度2k的解集为度工一:，求k值。解：化简不等式，得xw 5k,比较已知解集 齐三一

20、百，得5k = - 1。fx -1-8 < 4x -1例2. （2014年山东威海市中考题）若不等式组I的解集是x>3,则m的取值范围是（1 x > mA、m>3B、m=3C、m<3D、mW3x >3比较已知解集x>3,得"m' '选D。例3. （2014年重庆市中考题）若不等式组-a <12b”的解集是-1<X<1,那么（a+1）（b-1）的值等于Ik <=2>2b +3f2b + 3 = -1t ,R =lna + 1=> I1lb = -2它的解集是-1<x<1,a 4 2

21、b+3<又 < -也为其解集，比较得2.(a+1)(b-1)=-6.评述：当一次不等式（组）化简后未知数系数不含参数（字母数）时，比较已知解集列不等式（组）或列方程组 来确定参数范围是一种常用的基本技巧。二、结合性质、对照求解2例4. （2014年江苏盐城市中考题）已知关于 x的不等式（1-a）x>2的解集为法 <,则a的取值范围是（）。aA、 a>0 B、 a>1 C a<0D、 a<1解：对照已知解集，结合不等式性质 3得：1-a<0,即a>1,选Box >3一、 的解集是x>a,则a的取值范围是（）。笈;日A、a&l

22、t;3 B、a=3 C a>3D、a>3解：根确定不等式组解集法则：“大大取较大”，对照已知解集x>a得a>3, .选D。变式（2014年重庆市初数赛题）关于 x的不等式（2a-b）x>a-2b的解集是k < ,则关于x的不等式ax+b<0的解集 为。三、利用性质，分类求解例6.已知不等式；耳-2 | -5） - 13g（才|龙- 2 |+2）的解集是x < 1 ,求a的取值范围。解：由解集x<工得x-2<0,脱去绝对值号，得2+2)-5-1 区+ 2)+ 2= ,一力惠)2a 十7。当a-1>0时，得解集、2乱十7若 >

23、与已知解集a -1当a-1=0时，化为0 x>0无解;2aVJ当a-1<0时，得解集取 <与解集-等价。a -122/7a. T仅 + 2）x均不在-1wxw 4范围内，求a的取值范围。例7.若不等式组Jx -a x 有解，且每一个解I 23x > 5a - 6,解：化简不等式组，得,外,它有解，5a-6<3a=> a<3;利用解集性质，题意转化为：其每一解在x<-1或x>4内。于是分类求解，当x<-1时，得3a £ 1 n a £ 一 1,5z 1当x>4时，得4<5a-6= a>2。故且

24、63; 一§或2<a<3为所求。评述：（1）未知数系数含参数的一次不等式，当不明确未知数系数正负情况下，须得分正、零、负讨论求解；对解集不在awx<b范围内的不等式（组），也可分x<a或x > b求解。（2）要细心体验所列不等式中是否能取等号，必要时画 数轴表示解集分析等号。四、借助数轴，分析求解x - a > 0例8.（2014年山东聊城中考题）已知关于x的不等式组1的整数解共5个，则a的取值范围是 3 -> -1（k > a解：化简不等式组，得f 有解，将其表在数轴上，< 2如图1,其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,-3。由图1得:-4<aw-3。变式：（1）若上不等式组有非负整数解，求a的范围。（2）若上不等式组无整数解，求 a的范围。（答：（1）-1<aW0； （2）a>1）例9.关于y的不等式组t <y 1的整数解是-3, -2,-1, 0, 1。求参数t的