初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题(附答案详解)

1、初中数学次方程根与系数关系专项复习题（附答案详解）二次方程ax2 2x 1 0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（）B. aC. a1且 a0 D. a 1 且2.若关于二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，那么 k的取值范围是A.B.20 C, k 1 D, kx1 + x2成立？请说明理由.2127 .已知关于x的一兀一次万程 x x m 。有两个实数根. 41若m为正整数，求此方程的根.2设此方程的两个实数根为 a、b ,若y ab 2b2 2b 1 ,求y的取值范围.28 .已知关于x的一元二次方程 x2+(4m+1)x+2m-1=O .(1)求证：不论m为任何

2、实数，方程总有两个不相等的实数根；111、(2)若方程两根为x1、x2,且满足 丁+工-美，求m的值.29 .关于X的一元二次方程(雨-1/一？T+册+1三。(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)也为何整数时，此方程的两个根都为正整数.230 .已知关于X的一兀二次方程kx 2(k 1)x k 1 0有两个实数根，求k的取值范围.参考答案1. D【解析】【分析】由关于x的一元二次方程 ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式 40且二次项系数awQ继而可求得a的范围.【详解】,一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根， 二 (-2) 2-4 冶X (-1) 0,

3、且 awQ解得：a-1且awq故选D.【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识.此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得 。.2. A【解析】:关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，=(-2) 2-4k0 ,解得：k0,求出即可.【详解】一元二次方程ax2+x-2=0有两个不相等实数根，, b2-4ac=1 2-4a? (-2) 0,解得：a-且awQ8故选：C.【点睛】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0 (a、b、c为常数，aw的根的判别式是 b2-4ac,当b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根，当b2-

4、4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b2-4ac0,则该方程有两个不相等的实数根.故本选项错误；B、设该方程的两根分别是“、3,则”+,2.即两根之和为2,故本选项错误；C、设该方程的两根分别是a、3,则a 3-1.即两根之积为-1,故本选项正确；d、根据求根公式x= 2 囱 1 J2知，原方程的两根是1 J2和1 J2 .故本选2项错误；故选C.考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式.7. D【解析】【分析】利用根与系数的关系，即可求出.【详解】设该方程的另一根为 m,利用根与系数的关系：x1 x2ba得：m - 1 = 4,解得：m=5.故选：D.【点睛】 本题考查一元二次方程的解的

5、定义以及根数系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键8. D根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理进行作答【详解】由韦达定理，即 工+工 1= 6, Xi X2= = k+1.而 x+x= 24= （%+工工）22 Xi X2=36 2（k+1）,解出k= 5.所以，答案选 D.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理的运用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理是本题解题关键.9. D【解析】2试题分析：设，是方程x ax 2a 的两个根，则a, 2a ,又22 5,所以（）2 2 a2 4a 5,解得 a 1 或 5,当 a=-1 时，V 9 ,当a=5时，V

6、16,所以a=5不合题意舍去，所以选：D.考点：根与系数的关系.10. A【解析】【分析】 根据根与系数的关系得到 Xi+X2=3,即可得出答案.解：- x1 X2是一元二次方程 X2- 3x+1=0的两个根,- X1+X2=3 ,故选A.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 X1, X2是一元二次方程 aX2+bX+c=0(aW的)两根时，X1+x2=bc一,X1X2=.aa311.一2【解析】3因为万程5x2 3x 2 0的两个实数根为 m、n,所以m n - ,mn511 m n一 一二,将所得的式子代入计算即可m n mn【详解】 解：丁方程5x2 3x 2 0的两个实数根为 m、n,

7、32 m n 一，mn 一，5531 1 m n53=.m nmn2253故答案为 3.2【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，对于此类题目，一般的思路和方法是先写出 两根之和与两根之积，再将所求的式子变形成两根和与积的形式，整体代入求解12. 2 5【解析】二.方程x2+ (m+1) x- 2n=0的两根分另”为2和一5,由一元二次方程 根与系数的关系”可得：2+ (-5) =- (m+1), 2X(-5) =-2n,解得：m=2, n=5.故答案为2, 5.13. 2017【解析】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2=a+2018,所以a2-2a-b化简为-(a+b) +

8、2018,再利用根与系数的关系得到 a+b=1 ,然后利用整体代入的方法计算.【详解】.a为方程x2-x-2018=0的根，.a2-a-2018=0,即 a2=a+2018,a2-2a-b=a+2018-2a-b=- (a+b) +2018,.a、b是一元二次方程 x2-x-2018=0的两个实数根，a+b=1 ,所以原式=-1+2018=2017 .故答案是：2017.【点睛】考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (awq的两根时，x1+x2=,acx1x2=一.也考查了一兀一次方程斛的te义.a14. - 2【解析】_ r4试题解析：根据一元二次方程根与系

9、数的关系可得：x1+x2= =-2 .215. -1 .【解析】试题分析：设已知方程的两根分别为m, n,由题意得：m与n互为倒数，即 mn=1 ,由方程有解，得到 A 二由1一40:三(廿一1)1之0 ,解得：- 1工。玉!,3又mn=#，= =1,解得：取=1 (舍去)或|a=-1 ,则a=-1 .故应填为：-1.考点：根与系数的关系.点评：此题要求熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 （aw。），当 b2-4ac（M,方程有解，然后利用韦达定理得出 .a * a2516. mrc 8【解析】【分析】此题根据方程有实数根，可得52 4 2m0,解这个不等式即可得出答案【详解】 解:关于

10、x的一元二次方程2x2 5x m 0有两个实数根，由一元二次方程根的判别式，得_2-一54 2m 0,解得：m故答案为:【点睛】25825m 一.8元二次方程根的判别式 0时，一元二次方程有两个不等实根 =0时，一元二次方程有两个相等实根 v 0时，一元二次方程没有实根； 0时,方程有实数根.17. 2x2 4x 0 （答案不唯一）【分析】根据题意可设一根为 2,另一根为0,再计算出2+0=2, 2X0=0,然后根据根与系数的关系写出新方程，再把二次项系数化为2即可.【详解】解：设一根为2,另一根为0,2+0=2, 2X0=0,以2和0为根的一元二次方程可为x2-2x=0 ,当二次项系数为2时

11、，方程变形为2x2-4x=0 .故答案为2x2 4x 0 -【点睛】本题考查了根与系数的关系：若xi,x2是方程ax2+bx+c=0的两根时，x1 x2- , x1x2 -.a a18. 8【解析】解析：把 x=-2代入方程得：4+4-a=0,解得：a=8.考点：一元二次方程的解.19. 8【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式加2-4ac=0,建立关于k的等式，求出k的值.解：由题意知方程有两相等的实根，=b2-4ac=36-4k-4=0 ,解得k=8.3120. -vmci.4【解析】【分析】若一元二次方程有两根，则根的判别式=b2-4acQ建立关于m的不等式，求出m的取值

12、范围.再根据根与系数的关系和三角形中三边的关系来再确定m的取值范围，最后综合所有情况得出结论.【详解】方程x2-2x+m=0的两实根为a, b,有 =4-4m0,解得：mid,由根与系数的关系知：a+b=2, a?b=m,若a, b, 1可以作为一个三角形的三边之长，则必有a+b 1与|a-b|v1同时成立，故只需(a-b) 2 3 ,4,3 v m 1,43故本题答案为：3Vm1.4【点睛】三角形中主要考查一元二次方程的根的判别式与根的关系和一元二次方程根与系数的关系、三边的关系.21. (1)己0, 解得：av 3,，a的取值范围是a 3 ; (2) m = 3.4【解析】【分析】(1)根

13、据方程有两个相等的实数根可知4。，求出m的取值范围即可；(2)根据根与系数的关系得出“ +为“酌值，代入代数式进行计算即可.【详解】(1) ;关于x的一元二次方程x2+ (2m+3) x+m2= 0有两个不相等的实数根,0,即 = ( 2m+3) 2- 4m20,解得 m -；4(2) 丁 3是方程的两个实数根, a + 伊(2m+3), a 比 m2.(2 m 3)2m1,，-(2m+3) =- m2,解得 m1=3m2= 1(舍弃).【点睛】考查的是根与系数的关系，熟知x1,X2是.次方程 ax2+bx+c= 0 (aw。的两根时，x1+x2X1X2= C是解答此题的关键.23. (1)

14、-2,aL (2) - 1; (3)(1)直接利用根与系数的关系求解;(2)把 m、n可看作方程 7x2- 7x- 1=0,利用根与系数的关系得到 m+n=1,再利用因式分解的方法得到m2n+mn2= mn(m+n),然后利用整体的方法计算;(3)先把 t2+99t+19 = 0 变形为 19?(；)2=0的两根，利用根与系数的关系得到,1+99?-+1 = 0199s+ =t191一则把实数s和彳可看作万程11 一S?-=,然后t 19st 4s19x2+99x+11、-变形为s+4?s+1,再利用整体代入的方法计算. t t切10 cX1X2=一解：(1) x1+x2= = 25故答案为-

15、2;-;5(2) .1 7m2- 7m- 1 = 0, 7n27n 1 = 0,且 m布，m、n 可看作方程 7x2-7x-1 = 0,m2n+mn2= mn (m+n) = - 1 X1 =-;77(3)把 t2+99t+19 = 0 变形为 19?(1) 2+99?1+1 = 0，一 1一实数s和,可看作万程19x2+99x+1 = 0的两根,.s+1=-翌 s?1=Lt 19 t 19st 4s 1t=s+4?- + 1 =t t991+4 X1919【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，X2是一元二次方程ax2+bx +c= 0(aw。的两根时，x1+x2bc=-一，x1x2=.也

16、考查了解一兀二次方程.aa1124. (1)k-且kwi时，原万程有两个不相等的实数根；k=-时，原万程有两个相等88的实数根；kv- 1时，原方程没有实数根；(2)k = 6,方程的另一根为- -.85【解析】【分析】根据方程的系数可得出根的判别式 = 8k+1 ,进而可得出方程解得情况；(2)将x= - 2代入原方程可求出 k值，再利用两根之和等于一及方程的一根为x= - 2,可a求出方程的另一根.【详解】解：(1)a= k- 1, b=2k+1, c=k, = b2- 4ac= (2k+1)2-4X(k- 1) k = 8k+1 ,1.当k-且kwi时，原方程有两个不相等的实数根；8，1

17、 ,一一，一，当k=-时，原方程有两个相等的实数根；8当kv - 1时，原方程没有实数根.8(2)将 x=- 2 代入原方程，得:(kT)。2)2+(2k+1) (0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根； 当 v 0时，方程无实数根(2)代入x=-2求出k值.25. 0.【解析】【分析】由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3,利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a,又由于关于 x的方程(k-1) x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨论， 该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又 k为正整数，利用判别式可以求出k,最后代入所求代数

18、式计算即可求解.【详解】解：设方程的两个实数根分别为 xi、xx( x2= 3则x1x2=a,V= 9 4a 01 1x1 x2由条件，知 =3,xx2xx2日口 3 c 口9即3 ,且a ,a4故 a= - 1,贝U方程为(k-1)x2+3x+2=0,2 k2 1I .当 k-1=0 时，k=1,x= 一 贝J 0.3 k2 k 617n .当 k-1wo时， =9-8 (k-1) =17-6-8kQ 则 k 一8 kk2 1又k是正整数，且kwi,则k=2,但使 k一一无意义.k k 6, k2 1的值为0综上，代数式kk2 k 6【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系,在解方程

19、时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系.要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,26. (1) k=-6,方程的另一根是 5.(2)不存在.理由见解析.试题分析：(1)把已知的根代入原方程，求出k,然后根据根与系数的关系，求得另一根;Xi(2)根据一元二次方程的跟的判别式求出k的范围，然后再根据根与系数的关系表示出k的范围，从判断是否存在+ x2=4, XiX2=k+1,根据已知的不等式求出试题解析：(1) k=-6，方程的另一根是 5.(2 ) 不存在.理由：由题意得 A= 16-4 (k+1) Q解得kX1 + X2 得 k+ 1 4,. .k3,不存在实数k使得X1X2X1+

20、 X2成立.考点：一元二次方程根的判别式，根与系数的关系/1727. 1m 1, x1X2-. 2 y -.24【解析】【分析】1(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出V 1 4 m 1 m 0,由此吉可求4得m的取值范围，根据 m为正整数,可得出 m的值，将m代入原方程求出x的值即可；1O 1(2)根据根与系数的关系以及一兀二次方程根的定义可得ab m, b2 b -m 0,44 3.由此可得y -m 1 ,根据m的取值范围进行求解即可.4【详解】,21-1 ;一元二次方程X x m 0有两个实数根，4，1，c V14 -m 1m 0,4 m 1 . m为正整数， m 1 ,21当m

21、1时，此万程为x x 0,4、一一,1，此方程的根为x1 x2 1；22.此方程的两个实数根为a、b,abb2 b0,221y ab 2b 2b 1 ab 2 b b 1 -m 241 m y 13又m 1 ,1 m y 11 ,3y的取值范围为y 7 .4【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的根等，综合性较强,正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键28. (1)相交线；(2) m=.10【解析】【分析】(1)要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明 40即可；(2)首先利用根与系数的关系可以得到 x1+x2, x1x2,接着利用根与系数的关系得到关