利用导数证明不等式的常见题型

1、利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧技巧精髓1、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求 最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明 不等式的关键。一、利用题目所给函数证明【例1】 已知函数f(x) ln(x 1) x,求证：当x 1时，包有分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数1一一、一、一一g(x) ln(x 1) 1,从其导数入手即可证明。x 1【绿色通道】f(x) , 1x 1 x 1

2、当1 x 0时，f (x) 0,即f(x)在x ( 1,0)上为增函数当x 0时，f (x) 0,即f(x)在x (0,)上为减函数故函数f(x)的单调递增区间为(1,0),单调递减区间(0,)于是函数f(x)在(1,)上的最大值为f (x)max f0 ,因此，当x 1时,f(x) f (0) 0,即 ln(x 1) x 0 ln(x 1) x (右面得证)，111x现证左面，令g(x) ln(x 1) 1, 则g (x) 2 2x 1x 1 (x 1) (x 1)当 x ( 1,0)时,g(x) 0;当x (0,)时,g (x) 0 ,即g(x)在x ( 1,0)上为减函数，在x (0,)

3、上为增函数，故函数g(x)在(1,)上的最小值为g(x)min g(0) 0,1 当 x 1 时，g(x) g(0) 0,即 ln(x 1) 1 0x 11 1.ln(x 1) 1 ,综上可知，当 x1 时，有 1 ln(x 1) xx 1x 1【警示启迪】如果f(a)是函数f(x)在区间上的最大(小)值，则有 f(x) f(a)(或 f(x) f(a),那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证.2、直接作差构造函数证明【例2】已知函数f(x) 1x2 ln x.求证：在区间(1)上，函数f(x)的图象在函数2，g(x) 2x3的图象的下方；3分析：函数f(x)的图象在函数g(x)的

4、图象的下方不等式f(x) g(x)问题，即1x2 ln x 2x3 ,只需证明在区间(1,)上，包有1x2 ln x 2 x3成立，设23231F(x) g(x) f(x) , x (1,),考虑到 F(1) 06要证不等式转化变为：当x 1时，F(x) F(1),这只要证明：g(x)在区间(1,)是增函数即可【绿色通道】设 F(x) g(x) f(x),即 F(x) -x3 1x2 In x ,322八21 (x 1)( 2x x 1)F (x) 2x x =-xx当 x 1 时，F (x) = (x 1)(2x一U) x1从而F(x)在(1,)上为增函数，F(x) F(1) 06.当 x

5、1 时 g(x) f (x) 0 ,即 f(x) g(x),故在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x) 2 x3的图象的下方。3【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数(可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数)，并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证 明要证的不等式。读者也可以设 F(x) f(x) g(x)做一做，深刻体会其中的思想 方法。3、换元后作差构造函数证明【例3】(2007年，山东卷)证明：对任意的正整数 n,不等式ln(11)工 口 都成立. n n n分析：本题是山东卷的第(II )问，从所证结构出发，只需令 1 x,则问题转化为： n当x

6、 0时，包有ln(x 1) x2 x3成立，现构造函数h(x) x3 x2 ln(x 1),求 导即可达到证明。【绿色通道】令h(x) x3 x2 ln(x 1),则 h (x) 3x22x , 3X3 (X 1)2 在 x (0,)上恒正,X 1 X 1所以函数h(x)在(0,)上单调递增，X (0,)时，恒有h(x) h(0) 0,即 x3 x2 ln( x 1) 0, . ln(x 1) x2 x31111对任忠正整数n,取x - (0,),则有ln(- 1) nn n n【警示启迪】我们知道，当F(x)在a,b上单调递增，则x a时，有F(x) F(a) .如 果f(a)= (a),要

7、证明当x a时，f(x)(x),那么，只要令F(x)=f(x) (x),就可以利用F(x)的单调增性来推导.也就是说，在 F(x)可导的前提下，只要证明F'(x) 0 即可.4、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf (x)>- f(x)恒成立，且常数a, b满 足 a>b,求证：.a f (a) >b f (b)【绿色通道】由已知x f (x) + f (x) >0 .二构造函数 F (x) xf (x),则F'(x) x f (x) + f(x)>0,从而F(x)在R上为增函数。a bF(a) F(b)即

8、 a f (a) >b f(b)【警示启迪】由条件移项后Xf (X) f(x),容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数F(x) xf(x),求导即可完成证明。若题目中的条件改为 xf (x) f (x),则移 项后xf (X) f(x),要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。【思维挑战】1、(2007 年，安徽卷)设 a 0,f(x) x 1 ln2 x 2alnx求证：当x 1时，包有x ln2 x 2alnx 1,2、(2007年，安徽卷)已知定义在正实数集上的函数15 22 .f (x) -x2ax, g(x) 3a In x b,其中 a>0,b a 3a 1n

9、 a ,求证：f (x) g(x)3、已知函数f(x) 1n(1 x) 工，求证：对任意的正数a、b,1 xb恒有 Ina Inb 1.a4、(2007年，陕西卷)f(x)是定义在(0, +oo)上的非负可导函数，且满足xf (x) f(x)<0,对任意正数a、b,若2< b,则必有()(A)af (b) < bf (a)(B)bf(a)<af (b)(C)af (a)<f (b)(D)bf(b)<f (a)【答案咨询】1、提示：f (x) 1 2nq至，当x 1, a 0时，不又t证明结1 x xx f (x) 0,即f(x)在(0,)内单调递增，故当x

10、1时，f(x) f (1) 0, 当 x 1 时，包有 x 1n2x 2a1nx 11 3a22、提小：设 F(x) g(x) f (x) 1x 2ax 3a In x b则 F(x) x 2a 2 x(x a)(x 3a)(x 0)a 0, 当 x a 时，F (x) 0 ,故F(x)在(0,a)上为减函数，在(a,)上为增函数，于是函数F(x)在(0,)上的最小值是F(a) f(a) g(a) 0,故当x 0时，有f(x) g(x) 0,即 f(x) g(x)3、提示：函数f (x)的定义域为(1,),f (x)11x7221 x (1 x)2(1 x)2当1 x 0时，f (x) 0,即f(x)在x ( 1,0)上为减函数当x 0时，f (x) 0,即f(x)在x (0,)上为增函数因此在x 0时，f(x)取得极小值f(0) 0,而且是最小值x 1于是 f(x) f (0) 0,从而 ln(1 x) ,即 ln(1 x) 1 1 x1 x* a1令