现代控制理论课件ch

1、现代理论Modern Control Theory第三章线性系统的运动分析Chapter 3Movement Analysis of Linear System教学内容Contents §3.1 LTI连续系统齐次状态方程的解 §3.2 状态转移矩阵 §3.3 非齐次状态方程的解 §3.4 应用的系统运动分析¾999状态空间法的主要内容建立状态空间模型系统分析（定量，定性） 系统综合¾99系统分析定量：确定系统响应和状态运动轨迹定性：分析系统的关键特性，如能控性、能观性、性等¾99定量分析系统运动的精确分析以状态空间为基础，

2、研究输入激励和初始状态作用下的状态响应和输出响应实质：求解状态方程9LTI连续系统的动态方程：ì x& (t ) = Ax(t ) + Bu(t )ïy(t ) = Cx(t ) + Du(t )íïx(0) = x(t= 0)î00线性系统的运动可以分两个的运动：（根据线性系统的叠加性）零输入响应+零状态响应x0 u(t)y(t)x(t)9零输入响应：由初始状态引起是齐次状态方程的解ìx& (t ) = Ax(t )íx(0) = x(t= 0)î009零状态响应：由输入向量引起是零初始状态下的非

3、齐次状态方程的解ìx& (t ) = Ax(t ) + Bu(t )íx(0) = 0(t= 0)î09系统响应：上述两个方程的解的叠加§3.1LTI连续系统齐次状态方程的解LTI系统的齐次状态方程：ìx& (t ) = Ax(t )íx(0) = x= 0)(tî00零输入响应1. 幂级数法在标量系统中：) =x ì( &tax(x0)tíxî(0) =方程的=t(0)0：)2!( att =(at x=( x 1+at2L) +x)e00在向量微分方程中，类似地定义矩

4、阵指数函数:Matrix exponential function(At)2At=I +At+L+e2!=eAt：()tx(0)于是，齐次状态方程的n ´ nn´1n´1上述解的正确性：2+(It(+At)At =xx(对=)L)x+teA求导，得：002!A3t 2A4t 33!A3t 33!x& (t ) = (A + A2t +L)x02!A2t 2= A(I + At +L)x02!= AeAt x= Ax(t )0 x(t ) = eAt x是齐次状态方程的解。02.x拉对(斯变换法=&)tAx t拉(氏变) 换，得：(s=) Ax (

5、)s + ( x)xIxs0s( -As( =)x( s) = ( x)0I ( s-A )-1( x)0L-1I(s -A )-1 ( x)( =)拉氏反变换，x得：tAt0t=e对x 比()x(0)= L - 1 (I s -A)- 1 因此：e A t齐次方程的初始状态的转移：§3.2 状态转移矩阵对于线性时不变系统，e AtF(t ):状态转移矩阵State transition matrixF(t ) = e At物理含义：在无外部作用的系统中，系统任意时刻 的状态x(t)由初始状态x(0)转移而来：x(t ) = e At x(0) = F(t )x(0)1. 状态转移矩

6、阵的运算性质F(0) = I(性质15与指数函数同)(1)(2)F& (t ) = AF(t ) = F(t )AF& (0) = AF(t1 ± t2 ) = F(t1 )F(±t2 ) = F(±t2 )F(t1 )F(t)和A乘法可交换(3)（状态转移矩阵乘法的可交换性）= F(kt )F(t )k(4)(5)F -1 ( t ) = F(- t ),F -1 (- t ) = F(t )(A t ) k+¥åk = 0运用转移矩阵定义证明性质(1)(5)：A tF ( t ) =ek !x(t ) = F(t - t0

7、)x(t0 )(6)证明：Qx(t) = F(t)x(0)x(t0 ) = F(t0 )x(0)Þ x(0) = F-1 (t0 )x(t0 )而 F-1 (t ) = F(-t )故x(0) = F(-t0 )x(t0 )因此，x(t ) = F(t )x(0)= F(t )F(-t0 )x(t0 )*从x(t )转移到x(t)的0状态转移矩阵是 F(t-t0)*只要知道任意时刻t0的状态，就可以得到t时刻的状态；系统的初始时刻不一定是0= F(t - t )x(t )00F(t2 - t0 ) = F(t2 - t1 )F(t1 - t0 )(7)（传递性）证明：由性质（6）：

8、x(t1 ) = F(t1x(t2 ) = F(t2x(t2 ) = F(t2- t0 )x(t0 )- t0 )x(t0 )- t1 )x(t1 )- t1 )x(t1 )- t1 )F(t1 - t0 )x(t0 )F(t2 - t0 )x(t0 ) = F(t2= F(t2一个转移过程可以分成若干个小的转移过程。xF(t2 - t0 )x(t2 )F(t - t )x(t0 )21F(t1 - t0 )t0tt 1t2状态转移矩阵的传递性(8)若F(t )为x& (t ) = Ax(t )的状态转移矩阵，则引入非奇异变换 x = Px后的状态转移矩阵为:-1= ePAtP= P-

9、1eAt PF(t ) = eAt证明：将x = Px代入x& = Ax Ü Px& = APxx(t ) = F(t )x(0) = e P1APt x(0) x& = P1APx其中：= I + P1APt + 1 (P1AP)2 t 2 + L + 1 (P1AP)k t k + L1e PAPt2k!+ L += P1IP + P1APt + 1 P1A2Pt 21+ LP1 A k Pt k2k!= P1(I + At + 1 A2t 2 + L + 1+ L)P = P1e At PAk t k2k!(A + B ) te(A +B ) te= e

10、 At e Bt= e Bt e At( AB = BA 时）(9)¹ e At e Bt¹ e Bt e At(AB ¹ BA时）与指数函数eat 的性质不同运用矩阵指数定义证明(10)两种常用的状态转移矩阵a.若A为对角阵，且元素两两相异，即：A = diagl1 , l2，L ln 则：("i ¹ j, li¹ l j )l téùúúúúûe01êl te2(t) = êêOê0l teënél0

11、ùú1 ú1lêb.若A为约当阵，即：OOA = êú =Jêê0l úëûéùút m - 2t m -1t 2则：ltltltltltêeêtee2!(m - 2)! e(m - 3)! e(m - 1)! eLúlt úút m - 3t m - 2êltltltê 0ete(m - 2)! eL= êút m -4(m - 4)!Melt0t m - 3(m

12、- 3)!MtelteltF(t ) = e At= eJtê 0elt úeltM00elt0M00LO M Lêúúúúúê Mêê 0ê 0ëû m´m为便于记忆：( le )=lt'( lf'(')= telff) leé)ùf ('lm -2( )lf(m -1( )lm -1f(m - 2( )lm -2f()!()!()!(Mê f( lêê)L (L

13、 ()ú!m -2f(m -3( )lm -31!2f ('!lú)ú)f (lê 0ê)ú!1fM!l(ú( l( lm -4)m - 3)(ff)ú= ê0eJt0)Lê)ú!m -4m -3f (' l ) 1!f( l )(M êúúúúúûmMOM LMêê0f( l00000)êêë0´m2.状态转移矩阵的计算直接计算法（根据eA

14、t 的定义）A k t kk!+¥åk =0AtF(t ) = e=例3.2-1：求下列矩阵的状态转移矩阵A = é 01ù0úûêë- 11 A2 t 21 A3 t 3= I + At + L解： e At2!3!t ù + 1 é- t2ù + 1 é 0- t3 ù +L= é10ù + é 002! êë- t2úû3! êët3úûê&

15、#235;- têë01úû0úû00éêêùt 2t 4t 3t 51 -+ - L4!t -+- Lú3!5!2=út 3t 5t 2t 4êú êë- t +-+3!5!-+- Lú2!4!û1L= é cos tsin t ùcos túûêë- sin t特征值法a.A可对角化： A的特征值两两相异，或者具有相同的特征值，但有完备的特征向量（有n个

16、线性无关的特征向量），则可通过非奇异变换，将A对角化：él1ê 00 ù000O L0 úlP-1AP = êú2ê MM úM0ê 0ún ûlëéel1tù0el2tM000O L00Mêú0M0则F(t ) = e At = PêúP-1êêëút úleûn证明：ée l1tùúél0 ù0l200O

17、 L0e l2tM000OL001设L = ê 00 ú= ê0M0则e Ltê MM úêúMMê 0úêlnt úl0ëûeëûn-1QePAPt= P-1eAt P-1 eAt= PePAPt P-1= PeLt P-1= PeLt P-1F(t) = eAt= é01ù- 3úû例3.2-2：求矩阵A的状态转移矩阵A-êë 2=l-1l +求特征值： Il-解：= 0A23l=-

18、1l=2互- (异特征根,A能转换为对角型,)12由于A为，因此变换阵P为：1ù= é2P = é11ù = é11ù- 2úû0ù-2úûP -1-ê 1- 1úlêë 1 l-êë 12úûëû在=él10 ù = é-1注：P的求解Lêë 0l2 úûêë0线性变换后讲éel1t&#

19、249;ée- tù00Lt= êú = êeúel2t ûe-2t û0ë 0ë于是，F(t) = PeLt P-11 ùée-tùé 2= é 11 ù- 1úû0- 2úûêë 0e-2t úûêë- 1êë- 1= é 2e-t - 2e-2tùe-t - e-2têë-

20、 2e-t- e-t + 2e-2t úû+ 2e-2tb.I.A可约当化若A有n重特征值，且可将A变换为约当阵：非奇异变换阵P，él1l0 ùúú1 úêOOP 1AP = ê-êéùút n-1t 2ltltltltêeêtee2(n -1)! eê0l úLëûúlt úêt n-2ltlt(t) = P ê 0ete(n - 2)! eMtelt elt

21、50; P-1Lêúúúúúûê MM00M00ê0êêë 0LLII. 若A的特征根 l1为m重，且只有一个的特征，则A能转换为如向量，其余特征根均为下形式的约当阵：él1 1ùúúú0L1L000êl1MêêMm行OMM êúJéOùú1MOAP= ê0êêú = ê-11P0 l10ú

22、;ëO1 û0 úúúln úûlm +1LO Lêêêë(约当块)OMMn-m行0-5ù2 ú4 úûé0A = ê1êë3602例3.2-5：求矩阵A的状态转移矩阵解： l = l= 1, l= 2ùú123éê11221-éet0 ùte te té0ù0úêú11103= ê 00

23、 úP = ê-ú J = ê0e Jtê ê-úúúûê2t úê02úëûë 00eû-êëF(t) = PeJtP-1é- 8e2t + 9etù+ 7tet- 22e2t + 22et + 28tet- 2et- 7tet2e2t= ê 4e2t - 4et - 3tetú- 10et - 12tet- e2t+ et+ 3tet11e2tê

24、; 8e2t - 8et - 5tet- 2e2t + 3et + 5tet ú22e2t - 22et - 20tetëû拉氏反变换例3.2-6：求矩阵A的状态转移矩阵A = éù01êë- 2- 3úû-1解：sI - A = é s0ù - éù = é sù01êë- 2 - 3úûêë2 s + 3úûêë0 súû=

25、 adj(sI - A) =1és + 3(sI - A)-11ùsúû(s + 1)(s + 2) êë - 2sI - Aéù2111-ê s + 1=s + 2 ús + 22s + 1-1êú-22ê+ú+êë s + 1s + 2 úûs + 2s + 1F(t) = L-1 (sI - A)-1 = éù2e-t- e-2t+ 2e-2te-t - e-2têë-

26、2e-t- e-t + 2e-2t úû 化为A的有限项= a0 (t)I + a1 (t)A +Lan-1 (t)An-1eAt系数a0(t), a1(t), an-1(t)的计算：(1)A无重根(2)A有重根(1)A无重特征值时（A的特征值两两相异）-1é1llùúúúúé an-1éêêêêël tùúúúúû(t) ùLL O Le110ê1ê

27、34;úa1 (t)el2tMlln-1ê1ú = ê22êúMn-1êMMlMêa(t)úl tln-1eê1úëûëûnnn证明需要借助Cayley-Hamilton定理及其推论Cayley-Hamilton 定理：对于给定的n×n矩阵A，如果其特征值多项式为：f (l) = lI - A = ln + aln-+L+ a1n-10则矩阵A满足其自身的特征方程：An-1f (A) = An + a+L+ a A + a I = 0n

28、-110证明:P50-51推论1：矩阵Ak(kn)可表示为A的(n-1)阶多项式：n-1= åak ³ nAkAmmm=0An-1= -a-L- a A - a IAn证明思路:根据n-110= AAn = -a-L-a A - a AAn +1= -aAn2n-110(-aAn-1-L- a A - a I) - an-2L-a A - a A2An-1n-1n-21010)An-1)An-2= (a2- a+ (a- a+L(a- a )A + aaa In-1n-2n-1n-2n-3n-1n-100采用归纳法推论2：矩阵指数e At可表示为A的(n-1)阶多项式：n-

29、1= åa(t ) AmeAtmm=0证明:eAt¥= I + At + 1 A2t2 +L+ 1 Aktk1k !å+L=kkA t2k !k =0根据推论1，An , An+1,L均可表示为 的n-1 阶多项式，所以矩阵指数e At 亦可表示为A的n-1阶多项式，即= a (t)I + a (t)A + a (t)A2 +L+ a(t)An-1eAtn-1012aj(t)=？其中：a0 (t),a1 (t),a 2 (t)La n -1 (t)为t的幂函数矩阵指数（无穷级数）可以化为有限项级数的和aj(t)的计算A的特征值l满足其特征方程：其中的系数aj与下式

30、相同：lan-+1ln-1a0+0 a(A+) = An + fnLAn-1=L +aI0 a+An-011且elt可表示为l 的n-1阶多项式:n-1= åe=allt( a )+tla(t)l+a(lt2e Atn-1) L+= å(+ tm)( t)n-1012mm =0¥¥11= åk =0n-1eltlkAkktk而且t由于k!k!k =0n-1= åa= åa(t ) Am 中的相同n-1m中的系数aj(t)与 eAt因此 elt(lt )mmm =0m=0aeì=la1t( l)+atl (at)+l

31、(t2 ) L+(+ t)n-1011211另外，ïíMae=ïlan t( l)+atl (at)+ln-1 n(t2 ) L+(+ t)în-101n2n矩阵形式： éel1têùa (t) ùé1lllùn-é21LL O L0111úêú êú êú êúúa (t)el2tllln-211êêú = ê1Mn-1222ú

32、4;MúMlMlMMêt úêúê(t)úalln-21ëê1ûú ëëeûûnnnn当 li¹ l("j¹j )时，i蒙矩阵非奇异，上述非齐次线性方-有唯一解：é a1é1llùúúún-1éêêêêël tùúú(t) ùLL O Le110ê1

33、êêúa1(t)el2tlln-1ê1ú = ê22úêúMMlêMMlMút úêa(t)úln-1eê1úën-1ûûënûnn= a0 (t)I + a1 (t)A +Lan-1 (t)A中的系数。n-1即可得到 eAt(2)A有重特征值时（A的特征值两两相异）当A有n重特征值时：é-1ùútn-1eltê (n -1)!é0

34、49;úúúúú00M000M12l01LL L1(n -1)lMLL LLL La (t)êúéêùúê00êtn-2elt ú1ê(t)ê(n - 2)!úúúúúúúúúûúêMêêêêêêêëêêêaa

35、ú = ê(n -1)(n - 2) l n-(t)úM0ún-ê2！(n -1)12!(t)úeltn-n-011lúúúûan-(t) úûteltelt当A同时有重特征值和特征值时：如：l1为三重特征值，l2为二重特征值， l3,ln-5为单重特征值)ùé 1t ùúúúúúúúúúúúúúû2lte

36、1úêé aêêê aê aúê2 1 !úêtel1túê1!úêel1têúê1 tel2túê1ê a!el2tel3tMeln-5túêúêúêúêúêêê aêêêëanúêë1lln- n

37、-Lëûn-n-n-例3.2-7：试用有限项法求矩阵A的状态转移矩阵éù01A = êë- 2- 3úûlI - A = l- 1l + 3解：A的特征多项式为：= l2 + 3l + 22特征值：l1= -1, l2 = -2，两两相异-1ù-1 é e-t ùéa-1ù é e-t ùé2e-t - e-2t ù(t)ùé1é20ú = êú = ê&#

38、250; = êêú êúêúëa1(t) û-2û-1û ëe-2t ûëe-2t ûë e-t - e-2të1ë1û= a0 (t)I + a1 (t)A = (2I + A)e- (I + A)e-t-2t(t) = eAt= éù2e-t - e-2te-t-e-t- e-2têú-t+ 2e-2t-2t-2e+ 2eëûA = 1

39、33;2ù ，求A100例3.2-8：已知0ê1úëû解：A的特征多项式I 为l- ：Al =l(l-) =- 2+ 1122根据Caylay-Hamilton定理，矩阵A满足的特征方程：= 2A - I= A2A = 3A - 2I= A3A = 4A - 3IA2A3A4MA= nA - (n - 1)In= 100A - 99I = é1200ùA100ê0ú1ëû§3.3 非齐次状态方程的解LTI系统的非齐次状态方程:ìx&(t ) = Ax(t )

40、 + Bu(t )íx(0) = x= 0)(tî00A=x+)x()&t(ttBu()A-x=)x()&t(ttBu()- AtA- x)=)-eAt(xe(&t(tBt u)()d(=e- BA(t ue)-At x tt()dt等式两边取tò0e ) Bu t(t d )-At-(At-t=xe)x(0因此：x(t ) =tòt )dtt )x(0) +A( t -AteeBu(0t= F(t )x(0) + òF(t - t )Bu(t )dt0对初始状态的响应对输入作用的响应若初始时刻为t0:tòF(t - t )Bu(t )dtx(t ) = F(t - t) +)x(t00t0两种表：t&