北京市2014高考二轮总复习函数第5讲导数及其应用

1、第5讲导数及其应用【高考考情解读】1.本讲主要考查导数几何意义，导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等.2.常与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查，题型多样，属中高档题目1导数的几何意义：函数yf(x)在点xx0处的导数值就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，其切线方程是(其中斜率)2导数与函数单调性的关系：(1)是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但0.(2)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性3函数的极值与最值(1

2、)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值4常见的导数公式及两个常用的运算法则 (1) （C为常数）. (2) . (3) . (4) .(5) ；. (6) ; . （7） （8） （9）. （10）. （11）.5定积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质：(是常数) (其中a<c<b)(2)微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间a，b

3、上的连续函数，并且f(x)，那么。6. 复合函数的求导法则 设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作考点一导数几何意义的应用例1(1)（朝阳区13届高三上学期期中理）曲线在处的切线方程为（）ABCD (2)（房山区13届高三上学期期末理）已知函数是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为（）ABCD 答案(1)D(2)B (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切

4、点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解 (1)直线ykxb与曲线yax22ln x相切于点P(1,4)，则b的值为()A3 B1 C1 D3(2)若曲线f(x)xsin x1在x处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数a等于 ()A2 B1 C1 D2答案(1)C(2)D考点二利用导数研究函数的性质例2(1)（2013届海淀一模理科）已知函数(其中为常数且)在处取得极值. (I) 当时，求的单调区间； (II) 若在上的最大值为，求的值.（答案：(I)的单调递增区间为,单调递减区间为；(I

5、I) 或）(2) （朝阳区13届高三上学期期中理）函数是定义域为的可导函数,且对任意实数都有成立.若当时,不等式成立,设,则的大小关系是（）AB C D(3)（2013东城二模理）已知函数是定义在上的奇函数,且当时,(其中是的导函数),若,则,的大小关系是（）ABCD(4)（海淀区13届高三5月查缺补漏理）已知函数,则,的大小关系为（）AB CD(5)（2013顺义二模数学理科试题及答案）设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数,是的导函数.当时,;当且时,.则函数在上的零点个数为_.答案(2)A(3)C (4)A (5)6 利用导数研究函数性质的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数

6、f(x)；(3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)>0或f(x)<0.若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解(4)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(5)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值 （2012北京理）18.已知函数,.(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求,的值;

7、(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.（答案：(1) (2) 当时,最大值为;当时,最大值为）（2013西城一模理）已知函数，其中(I)求的极值； (II)若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围（答案：(I)的极小值为；没有极大值(II)的取值范围是）考点三利用导数解决与方程、不等式有关的问题例3（2011北京理）已知函数 (1)求的单调区间; (2)若对任意的,都有,求的取值范围.（答案：(I) 时，的单调递增区间是和;单调递减区间是 ；时, 的单调递减区间是和;单调递增区间是 (II) 当,时,的取值范围） 研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研

8、究函数性质的一种重要工具基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考 (1)（13届北京市高考压轴卷理）已知函数在点处的切线方程为.(1)求,的值; (2)对函数定义域内的任一个实数,恒成立,求实数的取值范围.（答案：(1) (2) 的取值范围是）(2)(2013·北京理)设为曲线在点处的切线。（1）求的方程； （2）证明：除切点之外，曲线在直线下方。（答案：(1) L的方程为yx1 (2)转化g(x)x1f(x) 0(x0，x1)） (3)(2013·东城高

9、三二模理) 已知函数.(1)求的单调区间; (2)如果是曲线上的任意一点,若以 为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;(3)讨论关于的方程的实根情况. （答案：(1) 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 (2) 的最小值为(3) 时, 有两个实根；时, 有一个实根；时, 无实根）考点四定积分（理科生）例4(1) (北京101中学2014届高三上学期月考)若，则从小到大的顺序为 .(2)已知f(a)，则函数f(a)的最大值为_答案(1) (2) (1)直接使用微积分基本定理求定积分时，要根据求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出原

10、函数(2)利用定积分求所围成的阴影部分的面积时，要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分的上限与下限同时，有的定积分不易直接求出，需要借用其几何意义求出 (1)(2013·江西)若S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1<S2<S3 BS2<S1<S3 CS2<S3<S1 DS3<S2<S1(2)(2013·北京)直线l过抛物线C：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于 ()A. B2 C. D.答案(1)B(2)C1 函数单调性的应用(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f(

11、x)0在区间(a，b)上恒成立；(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f(x)0在区间(a，b)上恒成立；(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f(x)>0的必要不充分条件2 可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在xx0处的导数f(x)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点3 导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒

12、成立问题转化为求函数的最值问题；(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题；(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题1 已知函数f(x)x，g(x)x22ax4，若任意x10,1，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_答案2 设函数f(x)x2axln x(aR)(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)当a2时，讨论函数f(x)的单调性；(3)若对任意a(2,3)及任意x1，x21,2，恒有maln 2>|f(x1)f(x2)|成立，求实数m的取值范围(推荐时间：60分钟)一、选择题1 (2012·辽宁)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1

13、,1 B(0,1 C1，) D(0，)2 已知直线ykx是yln x的切线，则k的值是()Ae Be C. D3 (2013·浙江)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是 () 4 若函数yf(x)在R上可导，且满足不等式xf(x)>f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是 ()Aaf(b)>bf(a) Baf(a)>bf(b) Caf(a)<bf(b) Daf(b)<bf(a)5 函数ysin x的图象大致是() 6 (2013·湖北)已知函数f(x)x(

14、ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0) B(0，) C(0,1) D(0，)二、填空题7 已知函数f(x) (xR)满足f(1)1，且f(x)的导函数f(x)<，则f(x)<的解集为_8 设f(x)(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为_9 设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围为_10已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_三、解答题11设函数f(x)ax2，g(x)a2x2ln x2，其中aR，x>0.(1)若a2，求曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程；(2)是否存在负数a，使f(x)g(x)对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由12某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为t元(其中t为常数，且2t5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35