圆锥曲线05圆锥曲线中点弦垂直平分线知识讲解教师版

1、2014年一轮复习 圆锥曲线中点弦,垂直平分线中点弦，垂直平分线2014年高考怎么考内容明细内容要求层次了解理解掌握圆锥曲线椭圆的定义与标准方程椭圆的简单几何意义抛物线的定义及其标准方程抛物线的简单几何意义双曲线的定义及标准方程双曲线的简单几何性质直线与圆锥曲线的位置关系自检自查必考点弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）1垂直问题：一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设、是直线与曲线的两个交点，为坐标原点，(1)则，(2)若,则2.弦中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用

2、“代点作差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.(1)设椭圆或双曲线方程： 上两点，的中点为，则(2)掌握抛物线上两点连线的斜率公式3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点,弦中点为，将点坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：(1)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有。(2)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有(3)y2=2px（

3、p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.中点弦常考题型1.设,注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为的,其它点不要随便设为.为弦的中点.设直线方程为,不要设为,因为在椭圆标准方程中会出现.联立直线与椭圆方程消去,得,即设,则中的高次项是可消去的.(由求分子是可消去的)故中点的坐标为定点设为，则故，2.以为邻边的平行四边形的顶点在椭圆上易知点坐标注意:1不能把代入方程中求,因为点不在直线上. 2由求分子是可消去的.故在椭圆上.则两边同时乘以得3.弦的垂直平分线交轴分别为点中点的坐标为，垂直平分线方程为令,得到点坐标为,令,得到点坐标为例题

4、精讲【例1】 过点的直线与双曲线相交于两点，求线段中点的轨迹方程。【解析】设，则代入双曲线方程两式相减得：，即设的中点为，则又，而共线，即中点M的轨迹方程是【例2】 已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上.（）求此椭圆的离心率；（）若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.【解析】（）设两点的坐标分别为则由 得根据韦达定理，得 线段的中点坐标为（）. 代入得，故椭圆的离心率为 . （）由（）知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为则且解得 且由已知得 ，故所求的椭圆方程为 .【例3】 已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为。（）求椭圆的方程；（）设直

5、线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值【来源】2010天津【解析】（）由，得，再由，得由题意可知，即解方程组得。所以椭圆的方程为（）由（）可知，设点的坐标为,直线的斜率为，则直线的方程为,于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去并整理，得由得从而设线段是中点为，则的坐标为以下分两种情况：（1）当时，点的坐标为。线段的垂直平分线为轴，于是由得（2）当时，线段的垂直平分线方程为令，解得。由整理得故所以。综上或【例4】 已知椭圆:的左焦点为，离心率为，过点的直线与椭圆交于两点.（）求椭圆的方程；（）设过点不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交

6、于点，求点横坐标的取值范围.【来源】2011昌平二模文【解析】（）由题意可知：，解得：。故椭圆的方程为：（）设直线的方程为，联立，得整理得直线过椭圆的左焦点方程有两个不等实根. 记的中点则垂直平分线的方程为，令横坐标的取值范围.【例5】 已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交与两点，点，且，求直线的方程. 【来源】2010西城二模文【解析】（）由已知，解得，所以，所以椭圆的方程为. （）由得，直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得. 设，则，计算，所以，中点坐标为，因为，所以，所以，解得，经检验，符合题意，所以直线的方程为或.【例6】

7、 已知抛物线的焦点为（）若直线过点，且到直线的距离为，求直线的方程；（）设为抛物线上两点，且不与轴垂直，若线段中点的横坐标为.求证：线段的垂直平分线恰过定点。【来源】山东省莱芜市2012届高三上学期期末文【解析】（）由已知，不合题意。设直线的方程为，由已知，抛物线的焦点坐标为，因为点到直线的距离为，所以，解得，所以直线的斜率为.所以直线的方程为（）设坐标为，因为不垂直于轴，设直线的方程为，联立方程，消去得，因为中点的横坐标为，故，整理得.由中点的坐标为，得垂直平分线的方程为：（），将代入方程（）并化简整理得：显然定点. 线段的垂直平分线恰过定点【例7】 过点作直线与曲线：交于两点，在轴上是否存在一点，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理