必修五基本不等式讲义

1、13.4 基本不等式abba2一、基本不等式：2baab1、重要不等式：a2b22ab(a、bR)当且仅当“ab”时“”成立。注意：（1）不等式成立的条件是“ab” ，如果a、b 不相等，则“”不成立； （2）不等式的变形：ab222ba ab2)2(ba 222ba 2)2(ba ab2(a2b2)(ab)22、基本不等式：2ba ab(a、bR)当且仅当“ab”时“”成立。注意： （1）内容：a0， b0，当且仅当“ab”时“”成立； （2）其中2ba 叫做正数a、b 的算术平均数，ab叫做正数a、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。例 1：求证对于任意实数a，

2、b，c，有a2b2c2abbcca，当且仅当abc 时等号成立。【证明】 ：a2b22abc2b22bca2c22ac 2(a2b2c2) 2ab2bc2ac， a2b2c2abbcca当且仅当 abc 时等号成立。变式练习 1：若 0a1，0b1，且ab，则ab，2ab，2ab，a2b2中最大的一个是（）A：a2b2B：2abC：2abD：ab变式练习 2：下列不等式： （1）xx12； （2）xx12； （3）若 0a1b，则logablogba2； （4）若 0a1b，logablogba2。其中正确的是_。均值不等式推广：ba112ab2ba 222ba 调和平均数几何平均数算术平均数

3、平方平均数当仅且当“ab”时“”成立。2二、最值定理已知 x、y 都是正数。（1）如果积 xy 是定值 P，那么当 xy 时，和 xy 有最小值 2P，即 xy2xy；（2）如果和 xy 就定值 S，那么 xy 时，积 xy 有最大值42S，即 xy2)2(yx 。利用基本不等式必须满足三个条件： “一正” 、 “二定” 、 “三取等” 。应用一：求最值应用一：求最值例 2：已知函数 f(x)3xx12(x0)（1）当 x0 时，求函数的最值； （2）当 x0 时，求函数的最值；【解析】 ： （1）当 x0 时，f(x)3xx122xx123 12当且仅当 3xx12，即 x2 时， “”成立

4、。（2）当 x0 时，x0，f(x)3xx12(3xx12)2xx123 12，当且仅当3xx12时，即 x2 时， “”成立。变式练习：求下列函数的最值（1）y3x2221x（2）yxx1应用二：凑项应用二：凑项例 3：已知 x45，求函数 f(x)4x2541x的最大值。【解析】 ：解：因450 x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，5,5404xx ，11425434554yxxxx 231 当且仅当15454xx，即1x 时，上式等号成立，故当1x 时，max1y。变式练习 1：f(x)31xx (x3)的最小值为_。3例 4：当 0 x

5、4 时，求 f(x)x(82x)的最大值。【解析】：当，即 x2 时取等号当 x2 时，(82 )yxx的最大值为 8。变式练习 1：设230 x，求函数)23(4xxy的最大值。【解析】 ：230 x023 x2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当,232xx即23, 043x时等号成立。变式练习 2：203x，求函数 f(x)32(xx的最大值。应用三：应用三： 分离分离例 5：若 x0，求函数 f(x) 132 xxx的最值。变式练习 1：当 x0 时，则 f(x)122xx的最大值为_。变式练习 2：已知 x1，求函数 f(x)11072xxx的最小值。【解析】：

6、当,即时,421)591yxx（当且仅当 x1 时取“”号）。变式练习 3：若对任意 x0，13x2 xxa 恒成立，则 a 的取值范围为_。应用四：整体代换应用四：整体代换例 6：已知0, 0yx，且112yx，则yx 的最小值是_。4变式练习 1：已知 x0，y0，且 2xy1，则yx11的最小值为_。变式练习 2：已知0, 0yx，且212yx，则yx 的最小值是_。变式练习 3：若函数 f(x)2xa2 (a0，a1)的图象恒过点 A，若点 A 在直线 mxny10，其中 m、n 均大于 0，则nm21的最小值为_。变式练习 4：设 x0，y0 且 x2y2xy0，若 x2ym0 恒成

7、立，则实数 m 的取值范围是_。【解析】 ：x2y2xy0，y21x11， 则(x2y)(y21x1)4，故 m4变式练习 5：已知正项等比数列na满足2017a22016a32015a， 若存在不同的两项pa、ma使得mpaa 331a，则pm41的最小值是_。【解析】 ：611应用四：条件最值应用四：条件最值例 7：若实数满足2ba，则ba33 的最小值是_。【解析】 ：ba33 和都是2ba正数，ba33 632332baba当ba33 时等号成立，由2ba及ba33 得1 ba即当1 ba时，ba33 的最小值是 6。变式练习 1：若2loglog44yx，求yx11的最小值，并求 x

8、，y 的值。【解析】 ：log4xlog4ylog4(xy)2，xy16yx11xyyx 16yx 162 xy21，当且仅当 xy4 时“”成立。5变式练习 2：已知函数 f(x)4xxa(x0，a0)在 x3 时取得最小值，则a_。【解析】 ：6变式练习 3：设 x0，y0，z0，且 xyz1，若yx 1zyx m0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_。【解析】 ：yx 1zyx m0 恒成立，则yx 1zyx m 恒成立，则令 f(x)yx 1zyx yxzyxzyx 1yxzzyx 3，故 m3。应用五：换元应用五：换元例 8：求函数 f(x)4522xx的最值。【解析】 ：f (x)

9、 41422xx42x412x不能用均值不等式： 42x412x2， 当且仅当42x412x，即：x241，x21，此时 x 没有实数解。f (x) 41422xx42x412x令42xt ( t2) f (t ) tt1( t2 ) 函数 f(t )在, 2上单调递增。 当 t2 时，f(t)有最小值25即42x2，x0，f(x)min25变式练习 1：求函数 f(x)1922xx的值域。变 式 练 习 2 ：求 函 数 f(x) ), 0(,sin2sinxxx的最小值。6课 后 综 合 练 习1、设a、b 是正实数，以下不等式： （1）abbaab2； （2）aabb； （3）a2b24

10、ab3b2； （4）abab22。恒成立的序号为（）A： （1） （3） ；B： （1） （4） ；C： （2） （3） ；D： （2） （4）【解析】 ：D（1）（2）abab（3）a23b2b24aba24b24ab4ab4ab0；2、若a、b 均大于 1 的正整数，且ab100，则 lgalgb 的最大值是（）A：0B：1C：2D：25【解析】 ：B3、若 x0，则 xx4的最小值是（）A：2B：3C：22D：4【解析】 ：D4、已知 0 x1，则 x(33x)取得最大值时 x 的值为（）A：31B：21C：43D：32【解析】 ：C5、设a0，b0 若3是a3与b3的等比中项，则a1b

11、1的最小值（）A：8B：4C：1D：41【解析】 ：B6、函数 f(x)1222xxx(x1)图象的最低点坐标是_。【解析】 ：(0，2)7、 若a0， b0， 且 x1 是函数 f(x)12x22ax2b 的零点， 则ab 的最大值为_。【解析】 ：98、若正数a、b 满足abab3，求ab 的取值范围。【解析】 ：ab99、已知 x0，y0，且 x222y1，求 x21y的最大值。【解析】 ：42310、已知不等式 x2axa20 的解集为(，x1)(x2，)，其中 x10 x2，则x1x212x22x的最大值为（）7A：23B：0C：2D：23【解析】 ： x10 x2， x1x2a20

12、 x1x212x22xx1x21221)(2xxxx a22aaa224a4011、如图，在ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AD 上任一点，且BEBABC，则11的最小值为_。【解析】 ：22312、若两个正实数 x，y 满足x1y41，且不等式 x4ym23m 有解，则实数 m 的取值范围是()A：(1，4)B：(，1)(4，)C：(4，1)D：(，0)(3，)【解析】 ：选 B不等式不等式x xy y4 4 m m2 23 3m m有解有解，x xy y4 4minminm m2 23 3m m，x x0 0，y y0 0，且且1 1x x4 4y y1 1，x xy y4 4x

13、 xy y4 41 1x x4 4y y4 4x xy yy y4 4x x2 22 24 4x xy yy y4 4x x2 24 4，当且仅当当且仅当4 4x xy yy y4 4x x，即即x x2 2，y y8 8 时取等号，时取等号，x xy y4 4minmin4 4，m m2 23 3m m4 4，即，即( (m m1)(1)(m m4)4)0 0，解得，解得m m1 1 或或m m4 4，故实数故实数m m的取值范围是的取值范围是( (，1)1)(4(4，) )13、某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为400 平方米的三级污水处理池，如图所示，池外圈造价为每米 200 元， 中间两条隔墙造价为每米250 元，池底造价为每平方米 80 元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖).若使水池的总造价最低，