应用泛函分析复习小结(共84页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章 实分析概要本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些基础知识，特别是点集的勒贝格 测度与勒贝格积分理论。这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学及 其它学科中有直接的应用。第一节 集合及其运算 第二节 实数的完备性 第三节 可数集与不可数集第四节 直线上的点集与连续函数 第五节 点集的勒贝格测度与可测函数专心-专注-专业1第六节 勒贝格积分第一节 集合及其运算1） A A = A, A A = A;2） A = A, A = ；3）若 A B ，则 A B = B, A B = A, A B = ；4) 设 X 为基本集，则A AC = X , A AC

2、 = , ( AC )C = A, A B = A BC又若 A B ，则 AC BC 。集合的运算法则：2交换律A B = B A, A B = B A ；结合律( A B) C = A (B C) = A B C ；( A B) C = A (B C) = A B C ；分配律( A B) C = ( A C) (B C) ；( A B) C = ( A C) (B C) ；( A B) C = ( A C) (B C) .定理 1.1设 X 为基本集，A为任意集组，则1)( U A )C = I ( A )C(1.6)II2)( I A )C = U ( A )C(1.7)IIA ( A

3、 B) = A I B3第二节 实数的完备性2.1 有理数的稠密性2.2 实数的完备性定理定义 2.1 (闭区间套)设an ,bn (n = 1,2,L, ) 是一列闭区间， an < bn ，如果它满足两个条件：1）渐缩性，即a1 ,b1 a2 ,b2 L an ,bn L;2) 区间长度数列bn an 趋于零，即 lim(bn an ) = 0n4定理 2.1 (区间套定理)设an ,bn 为实数轴上的任一闭区间套，其中 an 与 bn 都是实数，那么存在唯一的一个实数 属于一切闭区间an ,bn (n = 1,2,L) ， 即 an ,bn ，并且n=1lim an = lim b

4、n = nn利用区间套定理，可以直接推出所谓的列紧性定理（定理 2.2），这个定理的名称的含义在第二章中解释。我们先介绍一个有关的概念。命题 2.1 设xn 是一个数列，则 lim xn = a 的充分必要条件是：nxn 的每一个子列都收敛而且有相同的极限值 a .5定理 2.2 （列紧性定理）任何有界数列必有收敛子列定义 2.3 设xn 是一个数列，如果当 m, n 时，有 xm xn 0 ，那么就说xn 是一个基本数列或柯西数列。定理 2.3 柯西（Cauchy）收敛原理 (完备性定理) 数列xn 收敛的充分必要条件是，它是一个基本数列。定理 2.4 (单调收敛定理)单调有界数列（即单调增

5、有上界数列或单调减有下界数列）必然收敛定义 2.4 (确界) 设 A 是一个数集， M 是 A 的一个上（下）界。如果对任意的 > 0 ，必存在6A 中的数 x ，使得 x > M (x < M + ) ，那么就称 M 为数集 A 的上（下）确界。 定理 2.5 确界存在定理 (不讲)由上（下）界的数集必有上（下）确界。定义 2.5 (覆盖) 设 a , b 是一个闭区间， = a | a I是一个区间族，其中区间 a 可以是开的，闭的或者半开半闭的， 而指标集 I 可以是有限集，也可以是无限集。如果 a , b 中的每一点必含于区间族 的某一区间 a 之中，那么就称 覆盖区

6、间 a , b ，或者区间 a , b 被 覆盖。定理 2.6 （有限覆盖定理）(不讲)若闭区间 a , b 被区间族 覆盖，则能从 中选出有限个开区间覆盖 a , b 。7上面我们介绍了刻画实数完备性的六个定理，它们是按这样的逻辑顺序进行的：从定理2.1 (区间套定理)出发，推出定理 2.2 （列紧性定理），又从定理 2.2 推出定理 2.3 柯西（Cauchy）收敛原理 (完备性定理)，又从定理 2.3 推出定理 2.4 (单调收敛定理)，又从定理 2.4 推出定理 2.5 确界存在定理)，最后，从定理 2.5 推出定理 2.6 （有限覆盖定理）第三节 可数集与不可数集3.1 映射定义 3

7、.1 设 A 与 B 是两个非空集合，如果按照一定的法则 f ，对于 A 中的每个元8x ，都存在 B 中的一个确定的元 y 与 x 相对应，那么我们称 f 为定义 A 上取值于 B 中的一个映射，记作 y = f (x) 。 y 称为 x 在映射 f 下的象，对于固定的 y ， A 中适合关系式y = f (x) 的 x 的全体称为 y 的原象。集 A 称为映射 f 的定义域， f ( A) = f (x) | x A 称为映射 f 的值域，一般 f ( A) B 。为方便起见，今后常将把从集 A 到 f ( A) B 的映射写成f : A B特别，若 B 是一个数集，此时映射 f 称为泛函

8、；若 A 与 B 都是数集， f 就是通常的函数。93.2 可数集与不可数集，集合的势定理 3.1 有理数集是可数集。定理 3.3 可数个可数集的并是可数集。定理 3.4 区间0, 1中的点是不可数的。第四节 直线上的点集与连续函数本节先讨论直线上的点集的基本性质，然后，在此基础上研究4.1 开集、闭集及其性质104.2 开集的构造4.3 点集上的连续函数，函数的一致连续性4.4 函数列的一致收敛性4.1 开集、闭集及其性质定义 4.1 设 E 是直线 R 上的任一点集， a 是直线上的任意一点，我们把直线上包 含 a 的任一区间 ( , ) 称为点 a 的邻域；设 a 是 E 中的点，如果存

9、在着 a 的一个邻域( , ) 整个包含于 E 内，则称 a 是 E 的内点；如果点集 E 的每一点都是它的内点，则称E 是一个开集。定理 4.1 开集具有下列的性质：1） 空集 与直线 R 的本身都是开集；112） 任意多个开集的并是开集；3） 有限多个开集的交是开集.定义 4.2 设 E 是直线 R 上的任一点集， a 是直线上的任意一点(不一定属于 E )。如 果 a 的任一邻域 ( , ) 中含有 E 中不同于 a 的点，则称 a 为 E 的极限点（或聚点）。定理 4.2 点 a 是集 E 的极限点的充要条件是存在 E 中的点列an (an a) ，使lim an = an定义 4.3

10、 设 E 为直线上的点集，由 E 的所有极限点构成的集称为 E 的导集，记作 E ' ，称集 E U E ' 为 E 的闭包, 记作 E 。若集 E 的余集 E C = R E 为开集，则称 E 为闭集.定理 4.3 非空集 E 是闭集的充要条件是 E ' E定理 4.4 集合 E 为闭集的充要条件是 E = E 。12定理 4.5 闭集具有下列基本性质1） 空集 与全直线 R 是闭集；2） 任意多个闭集的交是闭集；3） 有限多个闭集的并是闭集.4.2 开集的构造定义 4.4 设 G 是直线 R 上的一个有界开集，如果开区间 ( , ) 满足条件：1) (,) G2)

11、G, G则称 ( , ) 为开集G 的一个构成区间。定理 4.6 （开集的构造原理） 设 G 为直线上的任意非空有界开集，则G 可以表13示为至多可数个互不相交的构成区间之并，即G = U ( k , k )kI其中 I 为有限的或可数的指标集.4.3 点集上的连续函数，函数的一致连续性定义在区间上的连续函数的概念几乎可以逐字逐句的推广到直线的点集上去。定义 4.5 设 E 是直线 R 上的点集 ， f (x) 是定义在 E 上的一个函数(即映射f : E R )， x0 是 E 中的任意一点。如果对于 E 中任何收敛于 x0 的点列xn ，都有lim f (xn ) = f (x0 )xn

12、x0那么称函数 f (x) 在点 x0 连续。如果 f (x) 在 E 中每点都连续，那么称 f (x) 在集 E 上连续。 定理 4.7 设 F 是直线 R 上的有界闭集， f (x) 是定义在 F 上的连续函数，则14(1) f (x) 在集 F 上必有界，(2) 并且能取得它的最大值（上确界）与最小值（下确界）。定义 4.6设 f (x) 定义在点集 E R 上，如果对于任意的 > 0 ，都能找到 ( ) > 0（注意 ( ) 与点 x 无关），使得对于 E 中的任意两点 x1 与 x2 ，只要x1 x2< ，就有f (x1 ) f (x2 )< （1.13）成立

13、，则称函数 f (x) 在集 E 上一致连续。定理 4.8设 f (x) 在有界闭集 F R 上连续，那么 f (x) 在 F 上必一致连续。4.4 函数列的一致收敛性定义 4.7 设 fn (x) 是定义在点集 E R 上的函数列。如果存在 E 上的函数 f (x) ，15对于任意给定的 > 0 ，都能找到正整数 N ( ) ，使得当 n > N ( ) 时，不等式fn (x) f (x) < 对于所有 x E 的成立，那么就称 fn (x) 在集 E 上的一致收敛于 f (x) 。定理 4.9 定义在点集 E R 上的函数列 fn (x) 一致收敛于 f (x) 的充要条

14、件是：对于任给的 > 0 ，存在正整数 N ( ) ，使得当 m, n > N ( ) 时，不等式fm (x) fn (x)< （1.17）对于所有 x E 的成立.定理 4.10 设 fn (x) 是 E 上的一个连续函数列，如果在 E 上它一致收敛于函数 f (x) ，那么极限函数 f (x) 也在集 E 上连续。定理 4.11 设 fn (x) 是区间a,b 上的连续函数列，若 fn (x) 在a,b 上一致收敛于 f (x) ，则极限函数 f (x) 在a,b 上可积，并且16b f (x)dx = lim bfn (x)dx(1.18)an a或写成bba limn

15、 fn (x)dx = limn a fn (x)dx第五节 点集的勒贝格测度与可测函数本节将简要地介绍点集的勒贝格测度与可测函数的基本理论，它不但是建立勒贝格积分的必要准备，而且在其他的学科（如概率论与随机过程）中也经常用到。5.1 从黎曼积分到勒贝格测度17命题5.1 如果 f (x) 在区间a,b 上连续，那么 f (x) 在a,b 上必R可积。5.2 点集的勒贝格测度定义 5.1 设G 为直线上的有界开集，定义 G 的测度为它的一切构成区间的长度之和，也就是说，若 G = U(k , k ) ，其中 ( , k ) 是 G 的构成区间，则kmG = ( k k )（1.23）k定义 5

16、.2设 F 为直线上的有界闭集，F (a,b) ，则 G = (a,b) F 是有界开集，定义F 的测度为18mF = (b a) mG（1.24）定义 5.3 设 E 为直线上的任一有界点集，我们称所有包含 E 的开集的测度的下确界为集 E 的外测度，记作 m E ：m E = infmG | G E,G为开集而把所有含于 E 中的闭集的测度的上确界称为集 E 的内侧度，记作 m E ：m E = supmF | F E, F为闭集定义 5.4 设 E 直线上的有界点集，若 m E = m E ，则称 E 为勒贝格可测集，简称为 L 可测集，它的外测度与内侧度的共同值称为 E 的勒贝格测度，

17、简称为 L 测度，19记作 mEmE = m E = m E定理 5.1 设 X = (a,b) 为基本集， E , E1 与 E2 为 X 的子集。1） 若 E 可测，则其余集 E C 也可测；2） 若 E1 , E2 可测，则 E1 U E2 , E1 I E2 , E1 E2 均可测；又若 E1 I E2 = ，则m(E1 U E2 ) = mE1 + mE2205.3 可测函数定义 5.5 设 E 为直线上的可测集（有界或无界）， f (x) 是定义在 E 上的实值函数，如果对于任何实数 ，集合E( f ) = x | f (x) , x E都是勒贝格可测的，那么称 f (x) 是 E

18、 上的勒贝格可测函数，简称为可测函数。定理 5.4 函数 f (x) 在可测集上可测的充要条件是对于任何实数 与 ，集合E( f < ) = x | f (x) < , x E是 L 可测的。21定理 5.5 函数 f (x) 在可测集 E 上的可测的充要条件是下列条件之一成立：1） E( f > ) = x | f (x) > , x E是可测集；2） E( f ) = x | f (x) , x E 是可测集：3） E( f < ) = x | f (x) < , x E 是可测集：4） 对于直线上的任何开集 G ，它的原象 f 1 (G) 是可测集，其

19、中 是任意实数。22第二章 距离空间第一节距离空间的基本概念定义 1.1 设 X 是任一集合。如果对于 X 中任意两个元素 x 与 y ，都对应一个实数(x, y) ，并且满足条件：1）非负性， (x, y) 0 且 (x, y) = 0 当且仅当 x = y ；2）对称性， (x, y) = ( y, x) ；3）三角不等式，对任意的 x, y, z X ，有(x, y) (x, z) + (z, y)则称 (x, y) 为 x 与 y 之间的距离，而称 X 为以 (x, y) 为距离的距离空间或度量空间。23例 1.1 n 维欧氏空间 Rn设 Rn 表示 n 维向量x = x1 , x2

20、,L, xn 的 全体所组成的集合， 其中 xi ,i = 1,2,L, n 都是实数， 如果 x = (x1 , x2 ,L, xn ) ，y = ( y1 , y2 ,L, yn ) R n ，定义n12(x, y) = (xi yi )2(2.4)i=1条件 1）与 2）显然成立。为了证明条件 3）成立，现证明重要的 Cauchy 不等式：n2nn(2.5)ai bi ai2bi2i=1i=1i=1其中 ai ,bi ,i = 1,2,L, n 都是实数。24例 1.2 连续函数空间 Ca,b令Ca,b = x(t) | x(t)为a,b连续函数在 Ca,b 上定义(x, y) = ma

21、xx(t) y(t)(2.6)ta,b现在我们来证明 (x, y) 是距离。例 1.3 有界数列空间 m 。设 m 表示所有的有界数列x = (1 ,2 ,L,n ,L)（其中 i kx ,i = 1,2,L， k x 是常数）所构成的集合。如果 x = (1 ,2 ,L,n ) m ，y = (1 ,2 ,L,n ) m ，定义25(x, y) = supi i(2.7)i类似于例 1.2，容易验证 (x, y) 是距离，从而 m 按这个距离构成距离空间。例 1.4 离散距离空间。设 X 为任一非空集合，定义0,x = y(2.8)(x, y) =x y1,容易验证 (x, y) 满足距离的

22、三个条件，于是 X 按照 (x, y) 成为距离空间。由于 X 中任 两个不同点间的距离均等于 1，因此常称 X 为离散距离空间。定义 1.2 设 X 是一个距离空间，xn , x X , (n = 1,2,L) ，如果当 n 时，(xn , x) 0 ，则称点列xn 按距离 收敛于 x ，而 x 叫做点列xn 的极限，记作lim xn = x 或 xn x, (n )n26定理 1.1 设 X 是距离空间1） X 中任何收敛点列xn 的极限是唯一的；2） 若点列 xn x, (n ) ，则xn 的任何子列 xnk x, (k )定义 1.3 设 X 是距离空间1） 如果 x0 X , r &

23、gt; 0 ，则称集合S(x0 , r) = x | x X , (x, x0 ) < r是以 x0 为中心， r 为半径的开球，或 x0 的一个邻域；称集合S (x0 , r) = x | x X , (x, x0 ) r是以 x0 为中心， r 为半径的闭球。272） 设 A X ，如存在一个开球 S(x0 , r) ，使得A S(x0 , r)则称 A 是 X 中的有界集。定理 1.2 设 X 是距离空间，则 X 的任何收敛点列必是有界的。28第二节距离空间中的开集、闭集与连续映射本节将直线上点集的有关概念以及定一在直线上的连续函数的概念推广到距离空间中去。由于许多概念的定义及定理

24、的证明几乎可以逐字逐句地移植，因此，我们省略了某些定理的证明，留给读者作为练习自行补足。2.1 距离空间中的开集和闭集定义 2.1 设 X 为距离空间。G X , x0 X ，如果存在 x0 的邻域 S(x0 , r) G ，则称 x0为 G 的内点。如 G 的每个点都是内点，则称 G 为开集。例 2.1 任一开球 S(x0 , r) 是开集。29定理 2.1 距离空间 X 中的开集具有下列性质：1） 空集 于全空间 X 是开集；2） 任意多个开集的并集是开集；3） 有限个开集的交是开集.定理 2.3 设 X 是距离空间，则 F X 是闭集的充要条件是F = X F 是开集。定理 2.4 距离

25、空间 X 中的闭集具有下列性质：1） 空集 与全空间 X 都是闭集；2） 任意多个闭集的交是闭集；3） 有限个闭集的并集是闭集.302.2 距离空间上的连续映射定义 2.3 设 X 与Y 都是距离空间，分别以 与 1 为距离，T : X Y , x0 X ，如果对 任意的 > 0 ，存在 > 0 ，使得当 (x, x0 ) < 时，有1 (Tx,Tx0 ) < 则称映射T 在 x0 连续。若T 在 X 中每一点都连续，则称T 为 X 上连续映射。如果Y = R ，则称T 为连续函数。此时，常将T 为记作 f 或 g 。例 2.4 设 X 是距离空间， x0 为 X 中一

26、个固定点，则f (x) = (x, x0 )是连续函数。定理 2.5 设 X ,Y 都是距离空间，T : X Y ，则下列命题是等价的。311）T 在 x0 X 连续；2）对于Tx0 的任一邻域 S(Tx0 , ) ，必存在 x0 的邻域 S(x0 , ) ，使得T (S(x0 , ) S(Tx0 , )3）对于 X 中任一点列xn ，若 xn x0 ，则必有Txn Tx0第三节距离空间的可分性与完备性我们知道，有理数在实数中的稠密性以及实数的完备性在数学分析中起着重要的作用，本节将这两个概念推广到一般的距离空间中去。3.1 距离空间的可分性32定义 3.1 设 X 为距离空间， A 与 B

27、都是 X 的子集，如对于任意的 x A ，存在x n B 使 xn x ，则称 B 在 A 中稠密。如果 A = X ，则称 B 在 X 中处处稠密。显然， B 在 A 中稠密与下面两个命题之一是等价的：1) 对任意的 x A ， x 的任何邻域中都含有 B 中的点。2) A B ，特别地如 A = X ，则 B = X 。定义 3.2 设 X 为距离空间，如 X 中存在一个处处稠密的可数子集，则称 X 是可分的距离空间。定义 3.3 设 X 为距离空间1） 如点列x n X ，满足 lim (xm , xn ) = 0 ，即任取 > 0 ，存在正整数 N ，使得当m,nm, n >

28、; N 时，有 (xm , xn ) < ，则称xn 为基本列或柯西列。332） 若 X 中的每个基本列都收敛，则称 X 为完备的距离空间。定理 3.1 设 X 为距离空间1） X 中任何收敛点列都是基本列；2）若 X 是完备距离空间，则x n X 是基本列的充要条件是xn 收敛点列；3）在完备距离空间 X 中， X 的任何闭子空间 F 都是完备的。例 3.4 Ca,b 是完备的距离空间。设 x n Ca,b是基本列。故任取 > 0 ，必存在正整数 N ，使得当 m > N , n > N 时有(xn , xm ) = max xn (t) xm (t) < ta

29、,b即当 m > N , n > N ，对每一个 t a,b 有xn (t) xm (t) < 34由第一章定理 4.9，存在 x(t) ，使 xn (t) 一致收敛于 x(t) ，又由第一章定理 4.10，得x(t) Ca,b，即存在 x Ca,b ，使 xn x ，故 Ca,b 是完备的。第四节 压缩映射原理及其应用定义 4.1 （压缩映射）设 X 是距离空间，T : X X （从 X 到 X 的自身映射），如存在常数 ， 0 < 1，对于任何 x, y X ，都有(Tx,Ty) (x, y)称T 是 X 上的一个压缩映射。定理 4.1 设 X 是完备的距离空间，T

30、 : X X 是压缩映射。则T 在 X 中存在唯一的不动点 x ，即有 = x Tx35推论 4.1 设 X 是完备的距离空间，T : X X ，如T 在闭球 S (x0 , r) 上是压缩映射，并且 (Tx0 , x0 ) (1 )r ，则T 在 S 中存在唯一的不动点。推论 4.2 设 X 是完备的距离空间，T : X X 。如存在常数 (0 < 1) 及正整数 n0 ，使对任何 x, y X 都有(T n0 x,T n0 y) (x, y)则 T 存在唯一的不动点。（其中T n0 可以归纳定义如下：T 2 x = T (Tx) ，T 3 x = T (T 2 x) ，）。36第三章

31、 巴拿赫空间、希尔伯特空间及其线性算子第一节线性赋范空间与巴拿赫空间在线性代数中学过 n 维欧氏空间 Rn ，在 Rn 中有两种基本的代数运算，即向量的 加法和向量与数的乘法，而且对这两种运算分别满足对加法的交换律、结合律、存 在零向量、逆向量和对数乘满足结合律、分配律，存在单位元等。这些基本的运算 法则对 Rn 空间是不可缺少的，因而在定义抽象的线性空间的运算法则时，必须保留 上述性质。在 Rn 中，除了上述线性结构外，还有一种拓扑结构，而这种结构是通过对 Rn 中的 任意一点，确定它与原点之间的距离（向量长度）来实现的，其实现过程如下：37§1.1 线性空间定义 1.1 设 X

32、为任一非空集合，若在 X 中规定了线性运算元素的加法和元 素与数（实数或复数，实数域记为 R ，复数域记为 C ）的乘法，并满足下列条件：4）由子集张成的子空间设 M 为线性空间 X 的子集, L 表示 M 中元素所有可能的线性组合构成的集合，即L =nx M , 为数，n为任意自然数 x i iiii=1容易验证， L 为 X 的线性子空间，称 L 为由子集 M 张成的线性子空间，记作LspanM6）线性同构设 X 和Y 为两个线性空间（同为实的或复的），如果存在从 X 到Y 上的某个 1-1 映38射 ，使对任意 x1 , x2 X ，及任意 ，成立(x1 + x2 ) = (x1 ) +

33、 (x2 )（3.13）(x1 ) = (x1 )（3.14）则称 X 与Y 是线性同构的，映射 称为 X 到Y 的线性同构映射。定义 1.2 设 X 为线性空间，A 为 X 的一个子集，若对任意 x, y A 及数 (0 1) ，x + (1 ) y A ，则称 A 为 X 中的凸集。x + (1 ) y 称为 x 与 y 的凸组合。显然，线性空间的任意线性子空间都是凸集。§1.2 线性赋范空间与巴拿赫空间定义 1.3 设 X 为（实的或复的）线性空间，如对任意 x X ，有一个确定的非负实数 x 与它对应，并满足1） 对任意 x X ， x 0 。当且仅当 x = 时 x = 0

34、（3.15）392）对任意 x X 及数 ，x=x（3.16）3）对任意 x, y X ，x + yx+y（3.17）则称 X 为线性赋范空间。 x 称为 x 的范数。 正如本节开始时分析的那样，有了范数就可以引入任意两点之间的距离。令(x, y) =y x（3.18）易证 (x, y) 满足距离空间距离的三个条件，因而线性赋范空间按式（3.18）定义的距离成为距离空间。式（3.18）定义的距离空间称为由范数诱导的距离。从这个意义上说，线性赋范空间是一种特殊的度量空间。元素序列xn 按距离收敛于 x ，就是当n 时， xn x 0 。这样定义的收敛称为按范数收敛。定义 1.4 完备的线性赋范空

35、间称为巴拿赫空间。40§1.3 线性赋范空间的基本性质定理 1.1 设 X 为线性赋范空间. xn 、x y 、x 、y X ,若数列 n 及 xn x , yn y 则xn xn x xx n + yn x + y定理 1.2 设 X 为线性赋范空间， xn , x X ，1） 若 xn x ，则xn 有界；2） 若 xn x ，则 xn x （范数的连续性）。 x = f (x)定理 1.3 线性赋范空间 X 中的球是凸集。第二节有界线性算子与有界线性泛函412.1 有界线性算子的定义及性质定义 2.1 设 X 与 Y 都是线性赋范空间，D 为 X 的线性子空间。T : D Y

36、，1）若对任意 x1 , x2 D 及数 ，有T (x1 + x2 ) = Tx1 + Tx2T (x1 ) = Tx1则称 T 为线性算子。2）若对任意 xn , x D ， xn x ，有Txn Tx ，则称T 为连续算子。3）若对任意 x D ，存在正数 M，使Tx M x则称 T 为有界算子。42当 Y 为数域（R 或 C）时，分别称 T 为线性泛函、连续泛函和有界泛函，常记为 f , g 等。定理 2.1 设 X，Y 为线性赋范空间，D 为 X 的线性子空间。T : D Y 是线性 算子，则 T 有界的充要条件是: 对任意有界集 A D ，T 把 A 映为 Y 中的有界集。定理 2.

37、2 设 X，Y 为线性赋范空间，D 为 X 的线性子空间，T : D Y 为线性算子，则1） T 为连续算子的充要条件是在某一点 x0 D 处连续；2） T 为连续算子的充要条件是 T 为有界算子。定义 2.2 设T : D Y 为有界线性算子，则T= inf M |Tx Mx,x D(3.25)43称为的范数。对于算子的范数有下面的定理：定理 2.3 有界线性算子的范数有下列性质：）TxTxx D(3.26)2)T= supTx= supTx= supTx(3.27)xx1x=1xDxDxD例 2.3 设算子T 的定义如下Tx(s) = ab K (s,t)x(t)dt = y(s)其中 K

38、 (s,t) 在 a s, t b 上连续元函数，T 称为以 K (s,t) 为核的弗莱德霍姆(Fledholm)算子。证明 T 是线性有界算子的。44§ 2.2 线性算子空间设 X ,Y 为两个线性赋范空间，可将 X 映到Y 的有界线性算子看成一个元素，把所有这些元素组成的集合记作 B ( X ,Y ) 。在这个空间中可适当定义线性运算使之成为线性空间，再将算子的范数作为 B ( X ,Y ) 中元素的范数，B ( X ,Y ) 就将成为线性赋范空间。叫做线性算子空间。这样，B ( X ,Y ) 中的元素（即 X 到Y 的有界线性算于)之间就有了联系。用这种观点来考虑与研究问题是很

39、有意义的。后面的共轭空间，作为线性算子空间的特例，是所有有界线性泛函的集合。定理 2.4 若Y 是巴拿赫空间，则 B ( X ,Y ) 也为巴拿赫空间。设T ,Tn B ( X ,Y ) (n = 1,2,L) ，若对任意 x X ，Tn x Tx 0 ，则称Tn 强收敛于T 或Tn 按点收敛于T 。容易看出，Tn 一致收敛于T 必强收敛于T ，反之则不然。45§2.3 有界线性泛函与共轭空间设 X 为以 R (或 C )为数域的线性赋范空间，以 R (或 C )为值域的算子称为 X 的泛函。若 f：X R (或 C )是有界、线性的，称 f 为有界线性泛函。这是一种极为重要而特殊的有界线性算子。与有界线性算子一样 f = inf M f (x) M x, x X = sup f (x) = sup f (x)x =1x 1称为泛函 f 的范数