方程的根与函数的零点

1、兴趣导入：兴趣导入：n解方程：(1) 6x-1=0 01632 xx01635 xx(2)(3)一元二次方程一元二次方程) 0( 02acbxax的的根根与二次函数与二次函数)0(2acbxaxy的的图像图像有什么关系？有什么关系？思考：思考：判别式判别式 0 0 0)的根与二次函数的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a0)的图象有如下关系：的图象有如下关系：xyx1x20 xy0 x1xy0函数的图象与函数的图象与 x 轴的交点轴的交点(x1,0) , (x2,0)没有交点没有交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根两个不相等的两个不相等的实数根实数根x

2、1 、x2 0 ,2ab(x1,0)即即x,把使把使0)(xf的实数的实数对于函数对于函数)(xfy 叫做函数叫做函数)(xfy 的的零点零点.一、函数零点的定义：一、函数零点的定义：思考思考:零点是不是点？零点是不是点？ 零点指的是一个实数零点指的是一个实数. .的零点函数)(xfy 的实数根方程0)(xf轴交点的横坐标图象与函数xxfy)(求下列函数的零点求下列函数的零点: 1log)(442)(334)(21)(122 xxfxfxxxfxxfx变式变式1: 1: 函数函数f(x)=Lnf(x)=Lnx x+2x-6+2x-6在在2 2，66上是否有零点？上是否有零点？1)1( x答案：

3、答案：31)2( xx，2)3( x2)4( xx1. f(-2)= ，f(1) = f(-2) f(1) 0 (填填“”或或“”或或“”)发现在区间发现在区间(2，4)上有零点上有零点 观察二次函数观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象图象 5-4-1 3-352xy0132112123441. 1. 在区间在区间(a,b)(a,b)上上_( (有有/ /无无) )零点；零点； f(a)f(a)f(b) f(b) _ 0 0（填或）（填或）2 .2 .在区间在区间(b,c)(b,c)上上_( (有有/ /无无) )零点；零点； f(b)f(b) f(c) f(c)_ 0 0（填或）（填或）

4、思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？函数零点是否存在某种关系？ 猜想：猜想：若函数在区间若函数在区间a,ba,b上图象是连续的，如果有上图象是连续的，如果有 成立，那么函数在区间成立，那么函数在区间(a,b)(a,b)上有零点。上有零点。观察函数观察函数f(x)f(x)的图像的图像0yx有有有有f(a) f(b)0二、函数零点存在性定理：二、函数零点存在性定理： 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的上的图象是连续不断的一条曲线图象是连续不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0，那么，函数，那么，

5、函数y=f(x)在区间在区间(a,b) 内有零点。内有零点。 即存在即存在 c(a,b) ，使得，使得 f(c) =0， 这个这个c也就是方程也就是方程 f(x)=0 的根。的根。（1 1） f(a)f(a)f(b)0f(b)0则函数则函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点。内有零点。（2 2） 函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内零点，则内零点，则f(a)f(a)f(b)0f(b)0。（3 3） f(a) f(a)f(b)0f(b)0，则函数，则函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内只有一个零点。内只有一个零

6、点。定理理解：判断正误定理理解：判断正误2-2-4-6-8-15-10-5x1g x 2-2abab000yxxyyx错错错错错错函数零点存在性定理的几个注意点：函数零点存在性定理的几个注意点：1 1、函数是连续的；、函数是连续的；2 2、定理不可逆；、定理不可逆；3 3、至少存在一个零点；、至少存在一个零点；4 4、可以判断函数有无零点，不能判断、可以判断函数有无零点，不能判断零点的个数。零点的个数。 函数函数 在下列哪个区间在下列哪个区间上有零点上有零点( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 032024ln403ln3022ln241ffffff62ln)

7、( xxxfC 解析解析: 变式变式2:函数函数 在在(2,3)上有多少个零点？上有多少个零点？62ln)( xxxf例例 1 1：求函数求函数62ln)(xxxf的零点个数的零点个数 解：用计算器作出解：用计算器作出 x x、f(x)f(x)的对应值表的对应值表 x x 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 f(x)f(x) 由 表 格 可 知由 表 格 可 知 f(2)0f(2)0 ， 即， 即f(2)f(2)f(3)0f(3)0， 说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)(2,3)内有零点由内有零点由于函数于函数 f(x)f(x)在定义域在定义域(0,+(0,+) )内是增函内是

8、增函数，所以它仅有一个零点数，所以它仅有一个零点 例例1：求函数求函数 的零点个数？的零点个数？62ln)( xxxf 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a, b上的上的图像是连续且单调的图像是连续且单调的，并且有，并且有f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)在在区间区间(a,b) 内必有唯一的零点。内必有唯一的零点。 例例1:求函数求函数 的零点个数的零点个数.62ln)( xxxf解法解法2：的的根根个个数数的的零零点点个个数数等等于于方方程程函函数数062ln)( xxxfy的的交交点点个个数数，如如图图与与数数该该方方程程的的解解个个数数等等于于函函62ln xy

9、xy有一个零点有一个零点故函数故函数62ln)( xxxf62ln xx则则21-1-21240yx30 x练习练习2:方程方程 在下列哪个区间在下列哪个区间上有零点上有零点( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) C 解法二解法二:62lnxx 62lnxxgxxf21-1-21240yx3062ln xx0 x三、求函数零点或零点个数的方法：三、求函数零点或零点个数的方法：(1)定义法定义法：解方程：解方程 f(x)=0，得出函数的零点。得出函数的零点。(2)图象法图象法：画出：画出y= f(x)的图象，其图象的图象，其图象与与x轴轴交点的横坐标。交点的横坐标。(3)定理法定理法：函数零点存在性定理。：函数零点存在性定理。练习练习3:下列函数在区间（下列函数在区间（1，2）上有零上有零点的是点的是( )(A)