换元积分详解

1、高等数学电子教案高等数学电子教案第二节第二节 换元积分法换元积分法一、第一类换元法一、第一类换元法 通常一个函数的导数是容易求出的,但是要求一个函数的原函数是很困难的.直到现在只能求出绝少部分的原函数.为了求解原函数，现在介绍几种常用的积分方法. 第一换元积分法也称为凑元法。高等数学电子教案高等数学电子教案定理1 设u =(x)在区间a, b上可导, ,)(xCxGduugdxxxgxu)(|)()()()(g(u)在.上有原函数G(u), 则不定积分存在, 且证明: 用复合函数的求导法则，验证)()()()()()()(xxgxugxuGCxG高等数学电子教案高等数学电子教案 第一换元积分法

2、(凑元法)的关键是把f(x)dx凑成g(x)(x)dx如何凑?这是一个技巧性很强的工作，要求我们熟练掌握基本积分公式。在解题前需要一些三角函数的恒等变换,分子分母的有理化, 分子加减某项等方法.但不同的方法得到积分的结果往往不相同, 我们可通过求导可知道它们是否同一被积函数. “凑”的方法：通常把较复杂的函数看成g(x)高等数学电子教案高等数学电子教案例1sin(cos )coscosxdxtgxdxdxxx CxxxdxdxxCuduuux661sin55sin61sinsincossin65例2的积分，xdxxnmcossincoslnln cosuxduuCxCu 对于形如当m, n中有

3、一个为奇数时，总可以用这个方法处理.高等数学电子教案高等数学电子教案例32222( / )11 ( / ) (1)xuadxd x aduxarctgCaxax aauaa例42222( / )arcsin(0)1 ( / )1xuadxd x aduxC aaaxx au 例533222222211() 1(1) 1(1)(1)22xxx dxxx dxxdx235512222211 21(1)(1)22 55xuu duxCxC 高等数学电子教案高等数学电子教案(1)关于自变量是线性形式,例如)0()()(1)(abaxdbaxfadxbaxf(2)被积函数可写成)()(xgxg(ln )

4、(lnln )(ln );lnlnlnln lnlnlnlndxxxdxdxxxxxxx常见的凑元法有以下几种情况:的形式，例如sincos( cossin )cossincossincossinaxdxbxdxaxbxdxaxbxaxbxaxbx 高等数学电子教案高等数学电子教案(3)被积函数可写成 f (xn)xn-1 的形式,例如nnnnnnxxdnxdxdxxxxxxdxxxdx1) 1(111)1 (11(4)被积函数可写成 g(xn) x2n-1 的形式,例如9912)9(1)9(nnnnnxdxxndxxx(5)被积函数可写成 f (sinx)cosx或 f (cosx)sinx

5、的形式, 例如(sin )cos(sin ) sinfxxdxfx dx(cos )sin(cos ) cosfxxdxfx dx 高等数学电子教案高等数学电子教案(6)被积函数可写成21)1(xxf)11 ()11 ()11ln()11 ()11ln() 1()11ln(2xdxxxxdxxxxdxx(7)利用三角函数公式,常用的三角形式: 倍角公式积化和差公式的形式,例如高等数学电子教案高等数学电子教案此外，常用的三角公式还有sec2x=1+tg2 x等例如xdxxdxxdxxxxdxx2cos21212)2cos1 (cos333232222220,cossin(cossin )dxdx

6、ababaxbxabxxabab222211()sincoscos sinsin()dxd xxxxabab高等数学电子教案高等数学电子教案11sin2cos(2 )sin cos22211sincos2(sincos )2sin()422xxxxdxdxdxxxxxx21sin ()1142sin()422 22sin()sin()44xdxdxx dxxx高等数学电子教案高等数学电子教案221111()1()22dxd xadxd xaxaaxaxaaxaxa例611(lnln)ln22xaxaxaCCaaxa高等数学电子教案高等数学电子教案例7sin222cos(sin )111sec(

7、)cos1 sin1211xtxdxdtxdxdxdtxxttt 例82( /2)( /2)cscsinsin( /2)cos( /2)( /2)cos ( /2)dxd xd xxdxxxxtg xx111 sinln(1)ln(1)ln221 sinxttCCx高等数学电子教案高等数学电子教案Ceudueedeedxexuexxxxxx) 1arcsin(1) 1(1) 1(22122Cxxxdxxdxxdx| 1ln2|ln21ln21) 1ln2(21ln21ln)ln21 (例9例10高等数学电子教案高等数学电子教案Cxxdxdxx313030) 18(2481) 18() 18(8

8、1) 18(例11例121sin3 sin2(cos5cos )2xxdxxx dx 421cos 211cos 4sin()(12cos 2)242xxxdxdxxdx例1311sinsin5 25dxdx11sinsin5210 xxC131311(2cos2cos4 )sin2sin44228432xx dxxxxC高等数学电子教案高等数学电子教案2132222222211 1112121xdxdxx dxxdxdxdxxxx 例14例152cossin22sin cossincos222sin2coscos21 cos1 cosxuxxxxdxdxudu duxxdxdxxx 221l

9、n 12xxC22cos1cos2ln| |22cosln 1 cos1 cosxudu dxduuCudxxCx 高等数学电子教案高等数学电子教案例1622331() ()()bxaxb dxaxbaxbdxaa525233332211()()u ax bdu adxbbaxb dxaxbdxu duu duaaaa85332233()()85baxbaxbCaa高等数学电子教案高等数学电子教案二、第二换元法二、第二换元法 定理 设x=(t)是单调, 可导的函数, 并且 (t)0, 又设f (t)(t)具有原函数(t), 则有换元公式11( )( )( )( ( )( )|( )|txtxf

10、 x dxftt dttC 成立，其中)(1x是x =(t)的反函数.dttdx)(高等数学电子教案高等数学电子教案证明: 11( )( )( )( )( )|txf x dxF xCxCtC 11( ).( ).( )( )dtxtdxt dttxdxt1( ( )( )( )( )( )( )ftt dttF xtx 记1( )( ( )( )( ( )( )( )ddtF xfttftf xdt dxt高等数学电子教案高等数学电子教案公式成立是有条件的. 1)等号右边的不定积分或原函数要存在, 且容易积分. 2)求出后要用反函数代回原变量.单调性是保证反函数的存在. 常用的变量代换有下列

11、四种类型：高等数学电子教案高等数学电子教案 利用三角函数进行代换,可以使被积函数简单 当被积函数含有平方和或平方差的二次根式时,根据恰当的三角恒等式作三角代换. 例如对atgtxtaxxaxa,sin,2222可设1 1、 三角代三角代换换高等数学电子教案高等数学电子教案例1 求)0(22adxxa解:2221sin22xaxaxCa1sin (),sin,22xxattta 22222sincos ,cosaxaatat dxatdt2cos22cos1222221 cos2cos2tttax dxatdtadt 222222cossin2sin cos2422ataxa taa tatCt

12、tC 高等数学电子教案高等数学电子教案例2 求)0(22axadx解:1tan (),tan,22xxattta 222222222sincostan1tansec ,costtaxaatataatt2secdxatdt高等数学电子教案高等数学电子教案22221lnln()xaxCxaxCaa222secsec (sectan )secsecsectandxattttdtatdtdtatttax2sec tansec(sectan )ln sectansectansectantttdttdtttCtttt高等数学电子教案高等数学电子教案例3 求)0(22aaxdxsec (sectan )se

13、csectanttttdtdttt1,sec(0),2xaxatt （）22222221 cossectan ,costxaataaatt2( sin )(sec )sec tancostdxat dtaattdtt 22sec tantandxattdtatxa221ln()xxaC22)xaCaln(xaln(sectan )ttC高等数学电子教案高等数学电子教案2222ln()dxxxaCxa把x a及 x -a的结合起来, 我们得到12222|lnCaxxaxdx(2),xaxuua 222222ln()dxduxaxCxaua 2222ln(ln)aCaxax2222222()ln(

14、)()axaxCxaxxax22ln ()xxaC高等数学电子教案高等数学电子教案从上面的例子可看出:22xa 可作代换 x = a sin t化去根式;，如果被积函数含有22xa ，可作代换 x=a tan t化去根式;如果被积函数含有如果被积函数含有22ax ，可作代换x=a sect化去根式;但具体解题时要分析被积函数的具体情况,选取尽可能简捷的代换.例如Caxaxaxdaxdxaxadxarcsin)(1)()(112222高等数学电子教案高等数学电子教案 当被积函数是三角有理式时,作“万能”代换,将被积函数有理化.txtdtdxttxttxtxtan)12,12sin,11(cos2

15、tan2222或21cot.2txt2tan,sec( ),222xxxtdtd222(1) ( ).,21xdtdttddxt222(1) ( ).,21xdtdttddxt222tan22tan,11tan2xtxxt高等数学电子教案高等数学电子教案例4 求xdxsinCxtgCttdtdttttxdx|2|ln|ln12121sin22222211 cos111111.,22sinsinsin222sintxxtttctgxttgctgxttxxxtttx222222222,sec( ).(1) ( ).,22221112xtgxxxxdtttgtdtddttddxtgxxtttg222

16、21sin,cos11ttxxtt高等数学电子教案高等数学电子教案还有一部分采用反三角函数代换，例如22cossin()sin secseccost arctgxx tgtdtIarctgx dxttdttCt 21xtx1cossin2222cossincossincos1xtdxtdtarcxdxttdttdtxtttx 21xC高等数学电子教案高等数学电子教案例5 求3xxdx323666ln(1)2366ln(1)32ttttCxxxxC 2 2、根式代换、根式代换目的是将无理数变成有理数,便于积分32563,6txxtxtdxt dt533232361 11666 (1)111dxt

17、 dtttdtdtttdttttttxx 高等数学电子教案高等数学电子教案例6求dxxxa42213222 22 22 222422110,(1)(1)(1)23axxdxa td a ta tCxaa3 3、倒数代换、倒数代换22422 2242211,()1dtaxdtxdxdxtata tdtttxtt 3122223()3txaxCa x高等数学电子教案高等数学电子教案13222 22 22 222422110,(1)(1)(1)23axxttdxa td a ta tCxaa 3122223()3txaxCa x高等数学电子教案高等数学电子教案，应用双曲代换22ax 例7 求4 4、

18、双曲代换、双曲代换当被积函数含有根号22(0)dxaxa2221x ashtdxachtdtchdtxtCashCchtaxaa sh t 2221ln( )1lnxxCxxaCaa0 xa高等数学电子教案高等数学电子教案2221x achtdxashtdtshdtxtCarchCshtaxaa ch t 2221ln( )1lnxxCxxaCaa0 xa 时有类似的结果,综合得到22122lndxxxaCxa高等数学电子教案高等数学电子教案 下面的积分在今后的计算中常会遇到,我们可把它们作为积分公式处理.22229,lndxxxaCxa1,ln cos,tgxdxxC 2, cotln sin,dxxC3, secln sec,xdx