元积分学的几何应用全程版

1、一元积分学的几何应用(公共)一、考试内容(一)一元积分学的几何应用1平面图形的面积X型区域 D =(x, y) a Wx Wb, g(x)兰 y 兰 f (x)的面积为 S = f f (x) g(x)dxL a .,b由曲线y = f (x), y =g(x)与直线x =a,x = b a所围图型的面积为 S = ( | f (x) g(x) dx；Y型区域 D =( x, y) g(y) Wx 兰 f (y),c 兰y 兰d的面积为 S = j f (y) -g( y)dy；J c,d由曲线x = f (y),x = g(y)与直线y =c,y =dc所围图型的面积为 S f(y)-g(y

2、)dy；1 Rt型区域 D =( -) v -，g(r) _ ： - f (的面积为 S f2( -g2(RdK12 a2、旋转体体积X 型区域 D 二(x,y) a _x _b,0 _ g(x) _ y _ f(x)绕 x 轴旋转一周的 Vx= ! f (x)-g(x)dxy = f (x) KO, y =g(x) ZO,x =a,x = b Ha所围图形绕 x轴旋转一周的 Vx“ f (x)-g (x) dx;a、d 22Y 型区域 D =( x, y) 0 _g(y) _ x _ f (y), c _ y _ d绕 y 轴旋转一周的 Vy=i f (y)-g (y)dy；x = f (y

3、) K0,x =g(y) H0, y =c, y =d He所围图形绕 y轴旋转一周的 Vy=兀f 2(yg2(y) dy;y* c、bX型区域 D =(x,y) 0 _a _x _b,g(x) _ y _ f(x)绕y轴旋转一周的 Vy=2 ! x f (x) - g(x)dx、by = f (x), y =g(x), x =a, x =b Aa HO所围图形绕 y轴旋转一周生成的 Vy=2兀 J x f (x)-g(x) dx； a、dY型区域 D =(x, y) g(y)兰x 兰 f (y),0 兰c 兰 y 兰d绕x轴旋转一周的 Vx=2兀 Jc y f (y) -g(y)dy；、dx

4、 = f(y),x =g(y), y =c, y =dHO所围图形绕 x轴旋转一周的 Vx=2xJc y f (yg(y) dy；D =( x, y) a _ x _b, k 一 g(x) 一 y 一 f (x)绕y = k旋转一周的 V =： f (x) - k2 - g(x) - k2dx； a、b22y = f(x) Xk,y =g(x) Ak,x =a,x =b 3a所围图形绕 y=k旋转一周的 V= J f(x)k -g(x) k dx；L a、bD =( x, y) k 兰a兰b, g(x)兰y 兰 f (x)绕x = k旋转一周的 V=2兀 Ja (x k) f (x) g(x)

5、dx；注：利用 平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程或极坐标表示x, y3、曲线的弧长(数三不要求)bi?2L:x = f (t),y =g(t),Wa,b的弧长 Lt = (ds=Jf (t)+g (t)dt；LaB ,L:(，：的弧长ids = . _ ; f2(R * f2(RdH4、旋转体的侧面积(数三不要求)L: y 二 f (x) 0,x，a,b绕x轴旋转一周的侧面积 Sx=2二f(x)ds = 2二f (x J f2(x)dx； L aD =( x, y) a _x _b,0 _g(x) _y _ f (x)绕 x轴旋转一周的 Sx=2二.心以)f (x)ds y

6、(x)g(x)ds =2兀 f f (x) Ji + f 2(x) +g(x) Jl + g 2(x) dx二、典型例题(一)一元积分学的几何应用例1、如图，连续函数y = f(x)在一3,-2, 2,3 上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，X在1-2,0 , 0,2 的图形分别是直径为 2的下、上半圆周，设F(x) f (t)dt，则有(C)、3535(A)F(3)=F(-2) (B) F(3) =F(2)(C)F(3)=F(2)(D)F(3)=- F(-2)4444提示：F(3) =3F(2) 4=3F(-2).4，故选(C).例2、求由曲线y3 =x2及y =；2-X2在上半平面围成

7、图形的面积A及周长S.解： A =2 ；、2匚x2 -x23dx，或 A = 2;. 4- ；(x23-x)dx=(5：+2).1OS=2 1 (3. y 2)2dy .2,2 =2(13.13-8). 27 2二.2例3、设D是由曲线y=3x，直线x=a(a 0)及x轴所转成的平面图形，JV分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10Vx =Vy，则a =7 ； 7 .aa提示：Vx二叮。y2dx=3na53/5,Vy=2兀匚 xf (x)dx =6兀a7,3/7.例4、求曲线r =4(1 co)和直线“ =0门-爲2所围成图形绕极轴旋转一周的Vx.解:Vxy2dxr2sinldr

8、cos：- ：；(1 t)2(1-t2)(1 2t)dt =160二.0TE20例5、f(x)二2_舗3一1dt位于第一象限的图像与 x轴、y轴所围区域的面积为 52 9.寸X提示：面积 A = ( f (x)dx =xf (x) 0 - * xf (x)dx =打 Jx32 +1xdx/2 . 例 6、曲线 y = o tantdt (0 乞 x 乞二.4)的弧长 s = In(1、. 2).提示：s= 01 y2dx = o T tan2 xdx = jsecxdx = I n(ta nx secx)04 .例7、过y =x2上一点(a,a2)做切线，问a为何值时所作切线与抛物线 y -

9、-x2 4x-1所 围区域的面积最小？解：易得两曲线交点 为=(a - 2) - , 2a2 - 4a 3, x2 二-(a - 2) - 2a4a 3S(X2 4x-1)(2axx2)dx 4(2a24a - 3)32,易知 a=1 时 Smm =43 .X3例&设D是位于曲线y.xaXa(a 1, x - 0)下方、x轴上方的无界区域，(1)求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)； (2)当a为何值时，V(a)最小？-be 2-be .2 f 2提示：(1)V(a)=t y(x)dx = t xaada /ln a(2 ) V(a) =2兀 a (I n a_1)/l n3a=a

10、= e时V (a)取最小值 V (e)二二 e2.三、课后练习(一)一元积分学的几何应用1 (A)、曲线y =x(x1)(2x)与x轴所围成图形的面积可表为(C)2 1 2(A) 0 x(x 1)(2 - x)dx( B) 0 x(x-1)(2-x)dx - 1 x(x-1)(2 - x)dx1 2(C) _ x(x 一1)(2-x)dx 1 x(x 一1)(2 - x)dx2(D) 0 x(x_1)(2_ x)dx2(A)、设g(x) c f(x) cm在区间a,b上连续，则曲线 f (x), g(x)夹在a,b之间的平面 图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为(B)bbA 兀2m-f(x)

11、+g(x)f (x) g(x)dx B J 兀2m f (x) g(x) f (x) g(x)dxa-abbc a 二m - f(x) g(x)f(x)-g(x)dx D a 二m - f (x) - g(x) f (x) - g(x)dx0, a上有连续的导数，则定积分ao xf (x)dx 等于(C)(A)曲边梯形 ABOD面积(B)梯形ABOD面积(C)曲边三角形ACD面积(D)三角形ACD面积4( A)、由曲线y=4/x和直线y = x及y=4x在第一象限中所围图形的面积为41 n2 .5 (A)、假设曲线 J:y=1x2 (0兰x兰1) , x轴和y轴所围成区域被曲线 L2：y =

12、ax2分为面积相等的两部分，a 0则a = 3.6( A)、过原点作y=l nx的切线，其与y=l nx及x轴所围区域为D，则D的面积为e2-1 , D绕x = e旋转一周所得的旋转体的体积为(5e2 - 12e 3)二.6 .7 (A)、已知曲线y=aJx (a a 0)与曲线y = ln JI在点(xy。)处有公切线，求常数 a及切点(xy。)；两曲线与x轴所围平面区域的面积 A ；该区域绕x轴旋转一周所得 旋转体体积 Vx . a=1e,(e2,1) A=e2;6-1.2 =曲228 (A)、求曲线y=x -2x, y = 0,x = 1, x = 3所围图形的面积 A，并求该平面图形绕

13、y轴旋转一周所得的旋转体体积Vy . ( A= 2,Vy =9二)9 (A)、设 y =- x2 -1 , x = 2及x轴所围成的平面区域为 D，则D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为 4二.：3, D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积为2(3.3 -1)二3 .10 (A)、设有曲线y = Jx T，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x轴围成的平面图形绕x轴一周所得到的旋转体的表面积S=(11、5-1)二；611 (A)、求y=si nx (0兰x兰兀)，y=0围成的平面图形绕 x轴旋转所得的曲面面积Sx,并求其绕y轴旋转所得的旋转体体积 Vy. ( 2 .2 In(1 r 2) , 2二2

14、)12 (A)、设位于曲线y=1 . x(1 In2 x)(e巴x ： ：)下方，x轴上方的无界区域为 G ,则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是二2.14 ( A)、设曲线的极坐标方程为 段弧与极轴所围成的图形面积为J二ear (a 0)，则该曲线上相应于 二从0边到2二的一 (e47) (4a).1 215 (A)、f(x) = J3xdx与X轴、y轴围成图形的面积为1/ln3 1t216 (B)、设f(x)=Le dt，则其所示曲线与直线x=1及x轴，y轴围成的区域绕 y轴1 彳 旋转一周生成的旋转体体积V =2二0 xf (x)dx二(1_e )打2 .17(A)、18(A)、192

15、0(B)、(A)、(A)、 积最小.21x =1 - cost, y = t -sin t一拱(0 _ t _ 2二)的弧长 S = 8 t2_.1 udu_：2确定，则该曲线对应于 0兰t兰1的弧长为J2 .y = ( J1 -udu求心形线r = a(1 cost)的全长，其中a 0 .( S = 8a )已知曲线的斜率为 cosx，则该曲线在0,二.；2中的弧长为2 .求曲线y二x的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x = 0, x = 2所围成图形面(I: y =(x 1)2 )设曲线y = ax2 (a 0, x狂0)与y = 1 - ax2交于点A，过坐标原点O和点A的x轴旋转一周

16、所得的旋转体求摆线设曲线22 (A)、直线与曲线y二ax2围成一平面区域，问 a为何值时，该图形绕 体积最大？最大体积是多少？ ( a = 4,Vmax =32、. 5二/1875)23 (A)、设y=ax与抛物线y=x2所围面积为3，它们与x=1所围面积为, (ac1) 试确定a，使达到最小 S| S2，并求出最小值；a =1、2,Smin =(2- .2)；6 求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积Vx . 2 1. 30% ,xU , s表示夹在x轴与曲线y = F(x)之间的面积.对任何t 0 , ex , x a024 ( B)、设 F(X)=S(t)表示矩形4 lt, 0 226 ( B)、曲线y = (