抛物线的焦点弦问题

1、v 抛物线的定义：平面内与一个定点抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线l的距的距离相等的点的轨迹叫做抛物线离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点定点F叫做抛物线的焦点叫做抛物线的焦点;定直线定直线l叫做抛物线准线叫做抛物线准线.v 抛物线方程的四种形式：抛物线方程的四种形式：F xoFxoyFxoyFxoy图形图形方程方程焦点焦点准线准线y2=2px (p0)y),(02pF2pxy2=- -2px (p0),(02pF 2px x2=2py (p0),(20pF2pyx2=- -2py (p0),(20pF2py (1) 范围：范围：x0，yR(2)对称性：关于对称性：关于x

2、轴对称轴对称(3)顶点：原点顶点：原点(4)离心率：离心率：e=1xyv基本点：顶点，焦点基本点：顶点，焦点v基本线：准线，对称轴基本线：准线，对称轴v基本量：基本量：p(有何作用有何作用?) 确定抛物线开口方向与大小课本课本69页例页例4斜率为斜率为1的直线经过抛物线的直线经过抛物线y2=4x的焦的焦点，与抛物线相交于两点点，与抛物线相交于两点A、B，求线段，求线段AB的长的长.;.22222122pyFPpyxpxFPpxy，焦焦半半径径抛抛物物线线，焦焦半半径径抛抛物物线线弦弦长长公公式式是是通通用用的的；v过抛物线过抛物线 y2 = 2px 的焦点的焦点F，作与，作与ox轴的正向夹轴的

3、正向夹角为角为的弦的弦AB，C为为AB 中点，过中点，过A、B、C作准作准线线l的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为A1、B1、C1，如图，如图方向方向1：坐标关系坐标关系. 若若A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x0, y0)方向方向2：长度关系长度关系. |AA1|、|AF|、|AB|、|CC1|方向方向3：几何关系几何关系. 垂直、平行、垂直、平行、共圆、共线共圆、共线AA1C1CFB1BOv 过抛物线过抛物线 y2 = 2px 的焦点的焦点F，作与，作与ox轴的正向夹角为轴的正向夹角为的弦的弦AB，C为为AB 中点，过中点，过A(x1,y1) 、 B(x2,y2) 、 C(x0,

4、 y0)作准线作准线l的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为A1、B1、C1AA1C1CFB1BO常规思路：设出直线方程，联立方程，韦达定理注意：讨论斜率不存在的情况2212214pyypxx,v 过抛物线过抛物线 y2 = 2px 的焦点的焦点F，作与，作与ox轴的正向夹角为轴的正向夹角为的弦的弦AB，C为为AB 中点，过中点，过A、B、C作准线作准线l的垂线，的垂线，垂足分别为垂足分别为A1、B1、C1.AA1C1CFB1BOpxxABpxBFpxAF212122,p2通通径径长长最最短短的的焦焦点点弦弦 22sinpAB 引入倾斜角引入倾斜角pBFAF211焦半径焦半径韦达定理韦达定理;s

5、inS 22pAOBABBFAFBBAACC212121111v 过抛物线过抛物线 y2 = 2px 的焦点的焦点F，作与，作与ox轴的正向夹角为轴的正向夹角为的弦的弦AB，C为为AB 中点，过中点，过A、B、C作准线作准线l的垂线，的垂线，垂足分别为垂足分别为A1、B1、C1.AA1C1CFB1BOABBFAFBBAACC212121111抛物线准线相切抛物线准线相切以焦点弦为直径的圆与以焦点弦为直径的圆与BFBBCAFAAC1111平分平分平分平分11BCAC 111111BFCBCBAFCACA相切相切为直径的圆与为直径的圆与为圆心为圆心以以ABBAC111,111111BCACFCAB

6、FC课本课本81页页B7共线共线、共线共线、11AOBBOA2001全国高考文全国高考文20、理、理19FBFA11AFB1BOl共共线线、三三点点连连线线交交抛抛物物线线于于轴轴111BOAABFoxBBCBlB/,刚才的几何关系探究刚才的几何关系探究，可以写成：，可以写成：调换条件和结果，可以得到：调换条件和结果，可以得到：轴轴于于连连线线交交准准线线过过抛抛物物线线焦焦点点直直线线oxBBBlAOFABCBlB/,111课本70页例5FABAOBoxBBCBlB过过抛抛物物线线焦焦点点直直线线连连线线交交抛抛物物线线于于轴轴111/,v课本课本81页页B7过抛物线过抛物线y2=2px(p

7、0)的焦点作直线的焦点作直线与抛物线交于与抛物线交于A、B两点，以两点，以AB为直径画圆，判为直径画圆，判断它与抛物线准线断它与抛物线准线l的关系的关系. 相应于椭圆、双曲线相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？如何？你能证明你的结论吗？猜想：以焦点弦为直径作圆，猜想：以焦点弦为直径作圆，抛物线时，圆与准线相切抛物线时，圆与准线相切椭圆时，圆与准线相离椭圆时，圆与准线相离双曲线时，圆与准线相交双曲线时，圆与准线相交证明方法：由抛物线类比到椭圆与双曲线证明方法：由抛物线类比到椭圆与双曲线共共线线、三三点点连连线线交交抛抛物物线线于于轴轴111BOAABFoxBBCBlB/,对于双曲线，对于

8、双曲线，O既是顶点，又是既是顶点，又是EF的中点的中点类比到椭圆和双曲线，直线类比到椭圆和双曲线，直线AB1过哪个点？过哪个点？AFB1BOlE已知椭圆已知椭圆 +y2=1的右准线的右准线l与与x轴相交于点轴相交于点E，过椭圆右，过椭圆右焦点焦点F的直线与椭圆相交于的直线与椭圆相交于A、B两点，点两点，点C在右准线在右准线l上，上，且且BCx轴，求证直线轴，求证直线AC经过线段经过线段EF的中点的中点. 22x2001广东高考.)(,)(,.,.).(sin)()(,)(.,)(),(),(.ABFNCOBDOANDCMBAMABpxyxABpABnmnmFABFppxyyyxxppxyyxB

9、yxA21248135322111022021222212122211三三点点共共线线；三三点点共共线线求求证证：上上的的射射影影依依次次为为在在准准线线点点的的中中点点的的焦焦点点弦弦抛抛物物线线求求抛抛物物线线方方程程为为被被抛抛物物线线所所截截得得的的弦弦长长的的直直线线经经过过焦焦点点且且倾倾斜斜角角为为轴轴为为对对称称轴轴以以抛抛物物线线的的顶顶点点在在原原点点的的倾倾斜斜角角为为弦弦为为定定值值；求求证证：的的两两部部分分分分成成长长度度为为被被焦焦点点的的弦弦的的一一条条过过焦焦点点已已知知抛抛物物线线求求此此定定值值均均为为定定值值和和则则点点的的直直线线与与抛抛物物线线的的两两交交的的焦焦点点是是过过抛抛物物线线、若若 v数形结合数形结合v直线与圆锥曲线，联立方程，韦达定理，坐标运算直线与圆锥曲线，联立方程