理论力学第五章

1、关于学术诚信我以诚信的态度参加比赛，不造假、不抄我以诚信的态度参加比赛，不造假、不抄袭，尊重对手和裁判，遵守比赛规则。举袭，尊重对手和裁判，遵守比赛规则。举止得体，语言文明。探讨真知，交流学术，止得体，语言文明。探讨真知，交流学术，精诚合作，发展友谊。维护自己和学校的精诚合作，发展友谊。维护自己和学校的荣誉，以青年物理学家的称号为骄傲。荣誉，以青年物理学家的称号为骄傲。 第五章 质点组动力学的 运动定理 Physics is as simple as center of mass. Center of mass makes physics laws simpler. 第五章 质点组动力学的运动

2、定理 质点组动力学问题 两体问题质心质心的运动相对的运动 质心运动定理(动量定理) 碰撞 动量矩定理 动能定理质点组以外的物体对质点组内各质点的相互作用力 质点组动力学质点组动力学问题问题质点组运动的总趋向及其某些特征 质点组动力学问题的困难 运动方程的解算内力，外力，惯性力（外力）质点组内各质点的相互作用力质点 质点组组 刚体 两体问题两体问题质点组动力学的一个特殊问题两个质点组成的质点组彼此以内力相互作用，不受外力作用彼此以内力相互作用，不受外力作用mass 1 mass 2 211221FFrr 211221221211FFFrmFrm 0)(2112221122FFrmrmdtd0)(

3、)(2122112221mmrmrmdtdmm质心的运动（质心的运动（CM） Motion of the center of mass0)()(2122112221mmrmrmdtdmm210mmm2122110mmrmrmr00orm “权权重 weight”“质点”的质量质量Total mass质量中心 在两质点联线上r2r1m2r0m1m0o即系统动量守恒SunEarthCMcenter of mass直角坐标系：0211202121,lmmmllmmml.,212211212211212211mmzmzmzmmymymymmxmxmxooo质心坐标系CM frame 实验室系 lab

4、frame质心系是惯性系吗? CM frame Inertial frame?相对的运动相对的运动 Relative motion 以质点2作为平动参考系（非惯性） 研究质点1相对运动2112rrr2112121rmFrm 12221122112212112121FmmmFmmFFmmFrm 12122121Frmmmm 212121111,mmmmmmmm或约化质量Reduced mass122122)(Frrdtdm例(p241)：两个完全相同的滑块a和b，其质量均为m,用轻弹簧将它们连接，弹簧的原长为l,劲度系数为k。将整个系统放在光滑桌面上，并保持静止。在某个时刻（记t=0),突然给滑

5、块a一个冲量，使它获得向右的初速度v0, 求解它们的运动。axv0ob分析：分析：)(),(lxxkxmlxxkxmbabbaa 0)(),(0021210210 xvxxxxxxbaba 两体问题质心运动方程相对运动方程lxxxbaa:记)(.,21mmxmxkxkFaaa . 0amkaxx .sin)2/cos()cos(00tttAxvvaa与b相对于质心各作简谐振动，它们的位相正好相反。.cos,00tvxxvxxbaba).cos1 (),cos1 (2200txtxvbva练习：练习：飞船环绕地球飞行时，处于失重状态，因此不能用常飞船环绕地球飞行时，处于失重状态，因此不能用常规仪

6、器测量重量，以导出宇航员的质量。太空实验室规仪器测量重量，以导出宇航员的质量。太空实验室2号等飞船号等飞船配备有身体质量测量装置，其结构是一根弹簧，一端连接椅子，配备有身体质量测量装置，其结构是一根弹簧，一端连接椅子，另一端连在飞船上的固定点。弹簧的轴线通过飞船的质心，弹簧另一端连在飞船上的固定点。弹簧的轴线通过飞船的质心，弹簧的倔强系数为的倔强系数为k=605.6N/m。(1) 当飞船固定在发射台上时，椅子（无人乘坐）的振动周期当飞船固定在发射台上时，椅子（无人乘坐）的振动周期是是T0=1.28195s。计算椅子的质量计算椅子的质量m0 (2) 当飞船环绕地球飞行时，宇航员束缚在椅子上，再次

7、测量当飞船环绕地球飞行时，宇航员束缚在椅子上，再次测量椅子的振动周期椅子的振动周期T，测得，测得T=2.33044s , 于是宇航员粗略地估算自于是宇航员粗略地估算自己的质量。他对结果感到疑惑。为了得到自己的真实质量，他再己的质量。他对结果感到疑惑。为了得到自己的真实质量，他再次测量了椅子（无人乘坐）的振动周期，得到次测量了椅子（无人乘坐）的振动周期，得到T0=1.27395s。问宇航员的真实质量是多少？飞船的质量是多少？问宇航员的真实质量是多少？飞船的质量是多少？注：弹簧的质量可以忽略，而宇航员是飘浮着。注：弹簧的质量可以忽略，而宇航员是飘浮着。kgMTTmmMmMmmkgmkmT2001

8、)2(21.252 ) 1 (20000000000kgmmkgmkgmTTmmMmmMm72.6121.2593.8693.8631.83 0200开普勒第三定律的修正F1 = m1v12 / r1 = 4 2 m1r1 / T2F2 = m2v22 / r2 = 4 2 m2r2 / T2.Newtons third law tells us that F1 = F2, and so we obtainr1 / r2 = m2 / m1This tells us that the more massive body orbits closer to the centre of mass t

9、han the less massive body.The total separation of the two bodies is given by a = r1 + r2 which gives r1 = m2a / (m1 + m2) Combining this equation with the equation for F1 derived above and Newtons law of gravitation gives Newtons form of Keplers third law:42m1r1 /T2 = Gm1m2/a2T2 = 42 a3/G(m1 + m2).m

10、v2 / a = Gm1m2 / a2v=2a/Tm=m1m2 / (m1 + m2) T2 = 4 2 a3 / G(m1 + m2).Solution II: 碰 撞 Collisions（1-D）对心碰撞（正碰）（两球的相对速度沿球心联线） m1u1m2u2(u1u2)22112211vmvmumum 动量守恒原理碰撞前碰撞后 碰撞过程压缩阶段恢复阶段)()11()(212121uumImmIuu)()11(21121121vvmImmIvvIumvmIumvm22211112221111IvmvmIvmvm)(:21121uuevveII 常数 恢复系数 0 = e = 1完全弹性碰撞

11、完全非弹性碰撞约化质量 动能 相等 不相等 动量守恒原理+恢复系数的定义研究对心碰撞问题的两个基本方程式.)(,)(212112122112212122122111mmuumemmumumvmmuumemmumumv. 0,211211212122111mumemumveumumemumv0212umm质心的速度0212umm请考虑情况：m1=m2的完全弹性碰撞交换速度练习：试在质心系中求解对心碰撞从特殊到一般的思路！ 两体问题两体问题的动能的动能 About kinetic energy Before collision：2212)(2121uumvmTAfter collision：221

12、22)(2121uumevmT)(21uue Relative velocity, after collisionTherefore：2212)(21) 1(uumeTTe=1, T=0; e1, T0；释放质量时dm0.mvdmuvdvvdmm)()(udmmdvm+dmmvv+dvv-u-dm0)()()(dmuvvdmmdvd(mv)火箭动量的增量燃料的动量（dm0）mudtdmmudtdv火箭的加速度：火箭的加速度：udmmdv火箭的推力：火箭的推力：udtdvm火箭的速度：火箭的速度：mudmdv/mmvmdmudv00mmuv0ln 齐奥科夫斯基公式结构系数火箭运动的速度决定于：结

13、构系数，排气速度。例(p190/245)：长为l质量为m的软绳，自静止下落。开始（t=0)时，绳的下端与桌面恰相接触，求下落过程中桌面对绳的反作用力。Zolzl-z 具体分析 （变质量问题） 运动方程 （动量定理）. )(2zlgvdtgdmmglzlNvdm)(0dm系统：“已落在桌上的绳子” 与“即将落下的一段小绳”dzldmdtvmv mvldmmglzlNvdm)()/1 (3)(32lzmgzllmgmglzllmvN答案与前面一致例(p190/243)：长为l质量为m的软绳，自静止下落。开始（t=0)时，绳的下端与桌面恰相接触，求下落过程中桌面对绳的反作用力。lzgmgzmgzzl

14、a/)(0)(0lzmzmzzzlz2/2/ 2/0)(:220质心坐标./ )(/200lzzzalzzv lgzla/)32(0Zolzl-z 动能定理（1）动能定理（2）质点组的动能与质心的动能（3）机械能守恒原理与功能原理（4）参考系的选择 质心运动定理质心运动定理动量定理动量定理质点组的动量守恒 质心的动量守恒 质点组的动量 质心的动量。内力不可能改变质点组的动量。（注意：各分量的守恒问题！） 质点的动能定理), 3 , 2 , 1(,1,1,2112NiWWWWWWTTiNiiiiiiittitti外ikikiiittiittiiWWTT外12外内WWTTtttt12 质点组的动能

15、定理FikFkidridrk质点i质点k内力可以改变 质点组的动能 （1）动能定理（2）质点组的动能与质心的动能iiiiiiiNiirrmvmTT212121iiiiiiiiiiiiiiiiirrmrrmrrmrrmrmrmrrrrrrmT 21212121)()(2100000000000r0r1ri=ri-r0质心质心质点质点i=OTTvmvmTiii022002121柯尼希定理质点组的动能质点组的动能=质心的动能质心的动能+质点组相对于质心的动能质点组相对于质心的动能 两体问题两体问题的动能的动能碰撞前的相对运动动能：2212)(2121uumvmT碰撞后的相对运动动能：22122)(2

16、121uumevmT碰撞前后的动能改变：2212)(21) 1(uumeTTe=1, T=0; e1, T0220002121vmvmTTT2222121121vmvmT碰撞后的相对速度)(21uue（3）机械能守恒原理与功能原理)(1212ttttttttVVTT12)()(ttttVTVT 保守力下的质点组机械能守恒原理在保守力作用下，质点组的机械能保持不变。（机械能包括内力的势能） 质点组的功能原理 dttttttttWVVTT)(1212dttttWVTVT12)()(dcWWWW外内Case study : Work done by gravitation rderGMmrdFWba

17、rba2rdrrdrdercos)11(2babarrGMmdrrGMmWBut if Mm, what is the work? 势能：属于质点组（整个系统） Example: 质量为M、m的两球原来相距为a，在万有引力作用下逐渐靠近至相距为b，求在此过程中引力所作的功。ab)11(2baGMmdrrGMmWbaSolution I: In Frame MMmabCr1r21r2r12211121)(drrrMmGrdFdWSolution II: Re. center of massM: m: 1r2r122211221212)(rrerrGMmerGMmFM:m:22212212)(dr

18、rrMmGrdFdW21mr Mr 1212)1 (drrmMMmG2222)1 (drrMmMmG21121110)1 (rrrdrmMMmGW)11()1 (1102rrmMMmGbmMmramMmr ,110)11(baMmmMGm)11(2baMmmMGMWWbaGmMWW)11(21MmWW/21各个力的功与参考系有关，但一对力的功与参考系的选择无关。质心系里，内力的功与质量成反比。对小质量物体作功占主要地位。引力的功只与物体系统的初始和最终相对位置有关，与路径无关。所以在质心系，近似认为M不参与动能分配，一直保持静止。离开质心系则不然。例例(p207/267)(p207/267)：

19、讨论：讨论（4）参考系的选择 为了避免计算惯性力所作的功，通常选取（1）惯性参考系原因：F=0（惯性力为零） （2）质心坐标系原因： dX=0 （惯性力作用下的位移为零）1,32121,223212211,1131211.NNNNNNNNNNNMMMMMLMMMMMLMMMMMLNNMMMLLLdtd.).(2121 i) 质点组动量矩定理 质点组动量矩定理NMMML.21 质点组动量矩定理的微分形式：2121221112ttNttttttttdtMdtMdtMLL 质点组动量矩定理的积分形式：质点组对于某点的动量矩的时间变化率就等于质点组的各质点所受外力对该点的力矩的和。 ii) 质点组的动

20、量矩与质心的动量矩yzzyxxOrimir0ri质心 质点组对于z轴的动量矩NiiiiiiNiiiiiizxyyxmxyyxmxyyxmL1000001)()()(LLL0质点组对于O点的动量矩L=质心对于O点的动量矩L0+质点组对于质心的动量矩L。 iii) 质点组动量矩守恒原理0, 00121ttttNiiLLLMM或当外 质点组对于某点的动量矩守恒动量矩守恒面包为什么涂黄油的一面着地？Angular momentum conservation iv) 参考系的选择 为了避免计算惯性力的力矩，通常选取（1）惯性参考系原因：F=0（惯性力为零） （2）质心坐标系原因： 惯性力作用于质心，力臂

21、为零作业：11.4，11.8， 11.9，11.1211.16，11.17，11.18，11.20习题：习题：光滑球悬在不可伸长的轻绳上，一光滑球光滑球悬在不可伸长的轻绳上，一光滑球以竖直向下的速度以竖直向下的速度u u与这球碰撞，碰撞时两球联与这球碰撞，碰撞时两球联心线与竖直方向作心线与竖直方向作 角。求两球碰撞后的速度。角。求两球碰撞后的速度。u碰撞前Mmu1x碰撞后vMmu1y压缩阶段uMm 具体分析 （特殊两体碰撞）动量守恒动量守恒: 碰撞处的水平方向碰撞处的水平方向恢复系数恢复系数: 碰撞处联心线碰撞处联心线01MVmux动量守恒动量守恒: 碰撞处的水平方向碰撞处的水平方向恢复系数恢复系数: 碰撞处联心线碰撞处联心线sincoscossin11/1/1xyuuueuuV恢复阶段恢复阶段MmVu1xu1yxy)sin/(cossin)1 (21mMeuMux)sin/(cos)1 (1221mMeMuuy碰撞沿联心线方向:(m的动量增量方向)X方向：mu1xY方向：m(u1y-u)u1xu1y-uI(u-u1y)/u1x=ctg N个相同的小球在光滑