圆形薄板在均布载荷作用下的挠度

1、第四节 平板应力分析3. 4平板应力分析概述圆平板对称弯曲微分方程3. 4.3圆平板中的应力3. 4.4承受对称载荷时环板中的应力3.4. 1概述1、应用：平封头：常压容器、高压容器；贮槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板; 反应器触媒床支承板等。2、平板的几何特征及平板分类几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸 分 类：厚板与薄板、大挠度板和小挠度板。图2-28薄板w/t < 1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算3、载荷与力载荷：平面载荷：作用于板中面的载荷 横向载荷垂直于板中面的载荷 复合载荷力：薄膜力中面的拉、压力和面剪力

2、，并产生面变形弯曲力一一弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形当变形很大时，面载荷也会产生弯曲力，而弯曲载荷也会产生面力，所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论4、弹性薄板的小挠度理论基本假设-克希霍夫Ki rchhoff 板弯曲时其中面保持中性，即板中面各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线w 的挠度。只有横向力载荷 变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上 各点间的距离不变。类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍 然垂直于变形后的梁轴线。平行于中面的各层材料互不挤压，即板垂直于板面的正应力较小，可忽略不

3、计 研究：弹性,薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题圆平板对称弯曲微分方程分析模型pza.MyizdQdrdrdMrM +dr kfM :j-M7Qr严drdrc.d*dQQ+ drpM1 M +MdrdMdrdrb.d.分析模型：半径R,厚度t的圆平板受轴对称载荷Pz，在r、B、z圆柱坐标系中， 力M、MB、Qr三个力分量轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在r、B、z圆柱坐标系中，挠度w只 是r的函数，而与B无关。求解思路：经一系列推导（基于平衡、几何、物理方程）弯曲挠度微分方程（Pz : w）一求w求一力Mr、M -求应力r、t/2t/2微元体：用半径为r和r+dr 体。d

4、dO的两个径向截面截取板上一微元z的圆柱面和夹角为PMMMdQ Q+ dr dr微元体力：径向：M、Mr+( dMr/dr)dr周向：MB、 MB横向剪力：Q、Q+ (dQ/dr) dr微元体外力：上表面Ppzrd drdQ ,Q+ dr drM+ dMr drc.1、平衡方程微体力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零，即工MT=0za.MrdMdr rddrddrdr d M rrd 2M dr sinQrrddrpzrd dr 0Qdr2MrdMr “dro(圆平板在轴对称载荷下的平衡方程)c.yQj 0(2-54)b.2、几何协调方程(V£ )dQ + drdr -IrA1 d

5、rMMTd.取AB dr，径向截面上与中面相距为z,半径为r与r dr两点A与B构成的微段a.板变形后:微段的径向应变为r - Z（第2假设）drdr2 r z 2 r过 A点 的周向应变为 z（第1假设）2 rr作为小挠度dW ,带入以上两式，得dr应变与挠度关系的几何方程：d 2wrz厂dr（ 2-55）z dwr dr3、物理方程根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克定 律可得圆板物理方程为：(2- 56)4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程(2-55)代入(2- 56)式：Ezd2wdwr1 2dr2 r dr(2-57)Ez1 dwd w12r dr

6、dr2通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩Mr和M表示成w的形式。由式（2-57）可见，r和 沿着厚度（即z方向）均为线性分布，图2-31中所示为径向应力的分布图21厂 厂z图2-31圆平板内的应力与内力之间的关系的线性分布力系便组成弯矩Mr、M。单位长度上的径向弯矩为:参照38页壳体的抗弯刚度，一一“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关 (2-58)代入(2-57),得弯矩和应力的关系式为：12Mr zt312M(2-59)32(2-58)代入平衡方程(2-54),得：d-W 1d-W輕 3dr r dr r dr D即：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程：d 1 ddr dr

7、 r drdrQr(2- 60)DQ值可依不同载荷情况用静力法求得圆平板中的应力(圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用) 承受均布载荷时圆平板中的应力：简支固支承受集中载荷时圆平板中的应力Mrt2 t2rzdz2 ed2wdr2dw r drz2dz21 22d wdwMrD2(2- 58a)drrdr1 dwd 2w同理MD -2(2- 58b)r drdr、承受均布载荷时圆平板中的应力据图2-32,可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即：Qr2r ppr2 r2代入2-60式中，得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为:did dw r - dr r dr drpr2D对r连续两次积分得

8、到挠曲面在半径方向的斜率:3dw pr C1r C2dr 16D2 r对r连续三次积分，得到中面在弯曲后的挠度(2-61)4pr64DC1r24C21n r C3(2- 62)01、C2、C3均为积分常数。对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2 = 0，于是上述方程改写为：dwpr3drw16D4pr64DC1r24C3(2-63)式中C1、C3由边界条件确定。下面讨论两种典型支承情况（两种边界条件） 周边固支圆平板 周边简支圆平板J 1 H H11 h h 1 r i- - - -RLr Jza.TORb.周边固支圆平板周边简支圆平板图2- 33承受

9、均布横向载荷的圆板1、周边固支圆平板：（在支承处不允许有挠度和转角）P i I i 1 I i 1 .J J i J J J Jr fLa.周边固支圆平板dw 小r R,0drr R, w 0C1将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：C3PR28DpR464D代入式（2-63）得周边固支平板的斜率和挠度方程:dw pr2 2R rdr16Dw p R2 r2 264D(2- 64)将挠度w对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58）,便得固支条件下的周边固支 圆平板弯矩表达式：MrMP R2116P R2 116r2 3r2 1 3(2- 65)由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得

10、r处上、下板面的应力表达式:Mrmt2 -6m3- R2 18t2r2 3M m 2t26m3g R2 18t2r2 1 3(2-66)周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34（a）所示图2-34 圆板的弯曲应力分布（板下表面）2、周边简支圆平板将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数C1、C3： 代入式（2-63）得周边简支平板的挠度方程：P64DR22 2 4R2 R2r1(2- 67)周边简支圆平板弯矩表达式:P22Mr 3 R r(2-68)16P 2 n2MR 3 r 1 316应力表达式：r m338t2R2m34 R28t2r2 1 3(2- 69)可以看出，最大弯矩和

11、相应的最大应力均在板中心处r 0,MrmaxmaxPR216r maxmax3 3 pR28t2周边简支板下表面的应力分布曲线见图2- 34(b)OrO(T0.827.I3 40.50.628rR3a oe图2-34圆板的弯曲应力分布(板下表面)3、比较两种支承a.边界条件dw小rR0周边固支时：drrR,w 0一rR,w 0周边简支时：rR,M r 0b.挠度周边固支时，最大挠度在板中心wlaxPR464D周边简支时,最大挠度在板中心wmax5pR4164D(2- 70)(2-71)0.3简支固支WmaxfWmax5 0.31 0.34.08表明：周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。

12、C.应力周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为fr max3pR2(2-72)周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为sr max3 3pR28t2(2-73)0.3简支sT _Umax331 65固支f 21.65r max表明：周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。力引起的切应力：在均布载荷P作用下，圆板柱面上的最大剪力Qr-pR( r R处), max 2近似采用矩形截面梁中最大切应力公式max蘇，得到max3 Qr max3 pR21 t4 t丿2最大正应力与Rt同一量级；最大切应力则与Rt同一量级。因而对于薄板R>>t，板的正应力远比

13、切应力大。从以上可以看出：max与Wmax圆平板的材料（E、卩）、半径、厚度有关若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都可减小挠度和降低最大正 应力。工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于固支条件增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法来提高平板的强度与刚度 4、结论z及剪力Qr引起的切应力 均可予以忽略工程实际中的圆板周边支承是介于两者之间的形式。b. 应力分布：沿厚度呈线性分布，且最大值在板的上下表面。沿半径呈抛物线分 布,且与周边支承方式有关c. 强度：简支s maxsr maxs max固支fmaxfr max0.75pR2s1.65r max fr1 m

14、axd. 刚度：周边固支的圆平板在刚度和强度两方面均优于周边简支圆平板maxe. 薄板结构的最大弯曲应力max与Rt成正比，而薄壳的最大拉（压）应力与Rt成正比。故在相同Rt条件下，薄板所需厚度比薄壳大。二、承受集中载荷时圆平板中的应力挠度微分方程式（2-60）中，剪力Qr可由图2-35中的平衡条件确定：Qr 2 r采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠度 和弯矩方程及计算其应力值MF M图2-35圆板中心承受集中载荷时板中的剪力Q承受轴对称载荷时环板中的应力通常的环板仍主要受弯曲，仍可利用上述圆板的基本方程求解环板的应力、应变, 只是在孔边缘上增加了一个边界条件。当环板半径和外半径比较接近时，环板可简化为圆环。圆环在沿其中心线（通过形 心）均布力矩M作用下，矩形截面只产生微小的转角 而无其它变形，从而在圆环上