圆锥曲线定点定直线问题

1、定点定直线问题一、基础知识：1处理定点问题的思路：（1 ）确定题目中的核心变量（此处设为k）（2）利用条件找到k与过定点的曲线 F x,y0的联系，得到有关 k与x,y的等式（3 ）所谓定点，是指存在一个特殊的点Xo, yo，使得无论k的值如何变化，等式恒成立。此时要将关于k与x, y的等式进行变形，直至易于找到x0, y0。常见的变形方向如下: 若等式的形式为整式，则考虑将含k的项归在一组，变形为“ k”的形式，从而xo,y。只需要先让括号的部分为零即可若等式为含k的分式，xo, yo的取值一方面可以考虑使其分子为0,从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去 k的式子变成常数（这两方

2、面本质上可以通过分离常数 进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）2、一些技巧与注意事项：（1 ）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）。然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合。属于“先猜再证”。（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件。所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点。尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件。例如：直线l : y kx k 1，就应该能够意识到y k X 11，进而直线绕定点1, 1旋转、典型例题:2x例1 ：椭圆C :右a1a b

3、 O的离心率为，其左焦点到点 P 2,1的距离为r 1O b（1）求椭圆C的标准方程（2）若直线l : y kx m与椭圆C相交于代B两点（代B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解：（1） e C - a:b: c 2:-一3:1，设左焦点 F1 c,Oa 2PR.10，解得c2,b 、3椭圆方程为X22y- 13(2)由（1）可知椭圆右顶点 D 2,02,0x1, y1 , B x2,y2 , Q以AB为直径的圆过DAuuuDB 即 DAuuurDBuuu uuuDA DB 0uuu Q DAxiuuu2,y1 ,DBX22,y2uuu

4、DAuurDByi y2X1X2XiX24 yy 0联立直线与椭圆方程:y3x2kX m4y24k2x 8mkx 4X24 k2128mk4k2kX24 m234k23k2x1x2mk %X28mk4k23mk4k2 33m24k2 312k2，代入到2uun uuu 4 m 3DA DB 24 k2 32忙4k2 33m2 12k24k24 m212 16mk 16k2123m212k204k237m216mk4k207m2km 2k0m-k或m72km2k时，7l : y kx2k7k x-72l恒过,07m2k 时，l1: y kx2kk x2l恒过2,0，但当当符题意，故舍去l恒过2,

5、072 x例2:已知椭圆Ca2yb2b 0经过点3肓，且椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程（2 ）过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A,C 和 B,D，设线段AC, BD的中点分别为P,Q，求证：直线PQ恒过一个定点c 1t解：(1)ea: b:c 2 >-.3:1a 22 x2-y 1代入込氾可得：32311 c 14c23c224c4 3c22a2,bx椭圆方程为一.y_143(2)由（ 1）可得:F 1,0当直线AC斜率不存在时， AC : x 1,BD:y 0所以可得：P 1,0 ,Q 0,0 PQ为x轴一 一 1当AC斜率存在时，设AC : y k x 1 , k

6、 0，则BD : y x 1k设A x1,y1 ,C x2, y2，联立方程可得：2 23x 4y 124k2 3 x2 8k2x 4k2 12 0x18k24k23y1y2 k 咅 1k x2 1k x1 x2 2k6k4 k2 34k2 3k4k23,4k23同理，联立y3x2x 1k，可得:241k243k3k4 3k23k4k234 k24k233k4 3k243k2 47kk2 1PQ的方程为:3ky 43k27k4 k2 142 ，整理可得:3k24yk27x 4 k 4y4k2 47x47时，直线方程对0R均成立直线PQ恒过定点 4,07而AC斜率不存在时，直线4PQ也过一07直

7、线PQ过定点 4,07例3：如图，已知椭圆C:2y21 a bb20的左右焦点为Fi,F2，其上顶点为 A，已知VF1AF2是边长为2的正三角形(1) 求椭圆C的方程uuurLULT(2) 过点Q 4,0任作一动直线I交椭圆C于M , N两点，记MQQN，若在线段MNLULTuuur上取一点R使得MRRN是否在某一定直线上运动？若在，说明理由解：(1 )由椭圆方程可得F1QVF1AF2为边长是2的三角形2 2cOA、3b2x22y3(2)Xi,yi ,NX2,y2uuuuMQXi,yiuur,QNX24,y2UJU!由MQLULTQN可得:XiX24 xiX24设 R Dy。uur，则MRXo

8、Xi,y。yiuur,RNX2X),y2y。uuir 由MRLULTRN可得:XoX2XoXoXiX2XiXiX2X22x-X24XiXiXiX2X28联立方程组3x24y2X23 4k232k2xX!X2232k234k代入到可得:XoR在定直线例4 :已知椭圆i2464 k2消去y整理可得:i2 0264k2 i24k2c 64k22f卓83 4k2i2 432 k23 4k2243 4k2243 4k2C的中心在坐标原点，左，右焦点分别为Fi,F2，P为椭圆C上的动点,VPF1F2的面积最大值为-3，以原点为中心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线(i)求椭圆的方程(2)若直线I过定点1,0且

9、与椭圆C交于A,B两点，点 M是椭圆C的右顶点，直线AM ,BM分别与y轴交于P,Q两点，试问以线段PQ为直径的圆是否过 x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由解：(1)&PF1F2max12IF1F2 b be,3因为圆与直线相切dO l532 42a2 b2椭圆方程为:y2 1(2)当直线|的斜率存在时，设，由椭圆方程可得点M 2,0设A X"% , B x2, y2，联立方程可得:x24y24k x 12 2 2 21 4k x 8k x 4kX1X28k21 4k2 ,X1X24k241 4k22,0，A N，% ,BX2,y2可得:AM :y1yy2分别

10、令X 0，可得:P 0,X,Q o,X22y22若PQ为直径的圆是否过 Nuuur2v UULTQPN x0说,QN问题转化为XqX!2x22设X轴上的定点为umr uuurx0,0，则 PN QNx00恒成立N xo,0即x04y°2x1x22 x-i x2X28k214k2, X1X24k21 -可得:y2k2 X1X21k2X1X2XiX23k24k2 1代入到可得:2Xo3k24k214k24 8k21 4k212Xo12k22矿X0 30解得：Xo、3圆过定点 -3,0当直线斜率不存在时,直线方程为X1，可得PQ为直径的圆y2 3 过点.3,0所以以线段PQ为直径的圆过X轴

11、上定点3,0例5：如图，在平面直角坐标系 xOy中，离心率为一2的椭圆C :22左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆于P,Q两点,直线PA,QA分别与y轴交于M , N两点,J丄a当直线2 X ""2 ab2 1a b 0 的PQ的斜率为-2 时，PQ 2,3（1）求椭圆C的标准方程（2）试问以MN为直径的圆是否过定点（与 PQ的斜率无关）？请证明你的结论解：（1 ）由 kpQ子可得：pQ：y于XA由对称性可知：|opPQ| </3X22 Xo2可得a：b:2c 2:1:12X椭圆方程为 22b2 y_ b21代入P .2,12，可得：b2,a242XC

12、 ：4(2)设 Pxo,yo由对称性可知Q Xo,y，由（i）可知A 2,0设AP:y k x 2，联立直线与椭圆方程:y k x 22 2 ,x 2y 4X2 2k2 x 2 24，整理可得:2 2 2 22k 1 x 8k x 8k 4 0XaXo2 ,8k 4解得:2 4k2yo2k2 12 4k22k2Xo2k2，代入yk x 2可得:4k2k2 12 4k2 4k2k2 1 2k2 1从而Q2 4k2 4k2k2 12k2 14k2k2 12 4k22k2 14k2k2 18k22k2 112kAQ :y x 2，因为M,N是直线PA,QA与y轴的交点 2kM o,2k ,N o,丄

13、 k以MN为直径的圆的圆心为c 2k21o-2k，半径rI2;1圆方程为:x22k22k212k2k整理可得:2k2 1k2k2 12k2k2 12kx2所以令y 0 ,解得x以MN为直径的圆恒过,2,02x例6：已知椭圆C : v a41 a b 0的离心率为1 ,以原点为圆心,b2为半径的圆与直线 xy .6 o相切，过点P4,0且不垂直x轴的直线椭圆的短半轴长I与椭圆C相交于A, B两点(1)求椭圆C的方程(2 )若B点关于x轴的对称点是E,求证：直线AE与x轴相交于定点已知圆方程为:b2因为与直线相切b22c椭圆C的方程为:x2(2)设直线I : yA xj,y1 ,B “2E 为，y

14、2联立方程可得:2y_3k，消去y可得:43x2 4k2 x124k23 x232k2x64 k2 12 0232k22, x24k2364 k24 k2123考虑直线y2AE：kAEx2直线AE的方程为：y y1j x %x-1x2令 y 0 可得：y1 x x2y y2 x x1紬2X2% x %y2XXW2X2，而 y k Xy1y24 ,y2 k X2 4，代入可得:x-ik x2 4x2k x14xk x2 4代入X,X232 k24k23,X1X22x-iX?4 x, x2x1x28264k124k232可得：x -264k212,4k2 3 "184k2332k24k2

15、 3244k23,244k23AE与x轴交于定点1,0例7 :在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2古1a b 0与直线l : x mm R，四个点 3, 1 ,2.2,0 ,3,1 ,中有三个点在椭圆 C上,剩余一个点在直线l上（1）求椭圆C的方程使得PM PN，再过P（2）若动点P在直线|上，过P作直线交椭圆C于M , N两点,作直线l' MN，求证：直线l'恒过定点，并求出该定点的坐标3, 1 ,3,1必在椭圆上解：（1 ）因为四个点中有三点在椭圆上，由椭圆的对称性可知：若 2、2,0在椭圆上，则为椭圆的左顶点。但32、2，所以与 3,1在椭圆上矛盾3八3 在椭圆上9a32

16、ab212b22 2x y椭圆方程为1124(2)依题意可得 m 2、2 , l方程为：x 2 2Q PM PN 且 P, M , N 共线P为MN中点P在椭圆部2二加_2设P2, yo，因为x 2.2与椭圆交于 2 2,.33Q P为MN中点且 MN于Pl'为MN的中垂线设 M 为， ,N X2,y222y1111 21242222912X1X27 y1y2ox；y£14124XiX2X23y1y2 y1y2 oQ P为 MN 中点 x 为 4 2,% y2 2y0 当yo o时kyi y2x X22、2Xi x 3 yi y23yoQ l' MNi' ：

17、y yo3yo2 j 22、23yo2 *2l'恒过4 2丨为x轴，过，03无论p位于哪个位置，直线恒过乞2,032 o例8已知圆G： x 1 y2 8，点C2 1,0，点Q在圆G上运动，QC?的垂直平分线交QCi于点P（1）求动点P的轨迹W的方程1（2） 过S 0,且斜率为k的动直线l交曲线W于A,B两点，在y轴上是否存在定点 D，3使得以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标；若不存在，说明理由解：（1）由图像可得：PC1PC2PC1PQ C1Q 22P点的轨迹为以 G,c2为焦点的椭圆a、2,c1b2 a22 c1x222y1（2）设直线1l : y kx，A3X1,%,

18、BX2,y2，与椭圆方程联立可得y1 kx -3消去y可得：x22kx1 22，整理后可得：x22y2232k21 x2化 16 c kx039x饨4k162, x1x23 2k2 192k21设D0,b，因为以AB为直径的圆过D点DADBuuu uuuDA DB 0uuu Q DAx"buju,dbx2,y2 buuu DAuuuDB x1x2y1b y2 b X1X2 y2 b % y2b20yiy2kX222k2 1y1 y2kx1kx2kg !k X1318k219 2k21代入到可得：b22b3 2k21218k19 2k21_169 2k22u2 2b 6k 5b3 2k

19、216k2b2 1 3b22b 53 2k21所以只需：6k2 b23b2 2b 5 06k2 b2 13b2b 1 6k b6k23b0 可得b所以存在定点0, 1例9 :已知椭圆C1 :221和圆C2： xy2 1，A,B,F分别为椭圆的左顶点，下顶点和右焦点(1 )点P是曲线C2上位于第二象限的一点,若VAPF的面积为1 2，求证：AP OP2 4(2)点M ,N分别是椭圆C1和圆C2上位于且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，求证：直线过定点解：(1)由椭圆可得A、2,0 ,B 0, 1 ,F 1,0y轴右侧的动点,MN恒设p瓦，丫0 ，由p在第二象限可得:x°0, y° 0QVAPF的面积为124SVAPF2af |yo2 ,2AFuuuAP(2)设直线BMyouuu,OP的斜率为BMkxx2kx4k21 2k辽，代入圆方程可得:2Xo1 BN : y1 2 k2 x2uuu uuu AP OPAPOP则直线BN的斜率为2k2kx4kx代入直线方程可得:联立BN与圆方程:x2y2 12kx 11 4k2 x2 4kx4k1,Xn1 4k2代入直线方程可得:yN4k 2k2 12k2 2k2 1,NKmn2k2 1 4k2 2k21 4k24k1 2k2