圆锥曲线几何性质总汇

1、圆锥曲线的几何性质椭圆的几何性质2x(以一2 +a2y2 =1 (a > b > 0)为例)b1、" ABF2的周长为4a（定值）证明：由椭圆的定义AF1BF1AF2 2aBF22aAF,BF,即 C< ABF24a2、焦点"PF1F2中:(1)2S zpf1F2= b ?ta n 2(2)(S/PF1F2 ) max = bC(3)当P在短轴上时，/ F1PF2最大证明:(1)在 < AF1F2 中COSPF1I2 IPF2I22|PFj IPF2I4e22 PF1PF2 cosPF1PF22 PF1PF2PF12 b21 COSSPF1F22b2

2、sinCOSCOStan 2(2) ( SZPF1F2 )max2chmaxbe(3 COSPFj PF22 PFi I222224c a ex0a ex04c2 2 22 ae Xo224a 4c当Xo=O时PF22 2a 2cCOS有最小值 2一a即/F1PF2最大过点Fi作"PF1F2的/P的外角平分线的垂线，垂足为则M 的轨迹是x2+y 2=a 2证明：延长F1M交F2P于F，连接0M由已知有PFiFPM为F1F中点2 2 22a 2eo x0M0M-|ff2PFi PF2 = a所以M的轨迹方程为4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆x2+y 2=a 2内切证明：取PFi

3、的中点M，连接OM。令圆M的直径PFi，半径为rOM = |pF22丄 2a PFi2a PFi2圆M与圆O内切以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a 2内切5、任一焦点"PFiF2的内切圆圆心为I，连结PI延长交长轴于则 IR I : IP l=e证明：证明：连接 FiI ,F2I由三角形内角角平分线性质有IRFiRF2RFiRF2R2ce2aPIPFiPF2PFiPF2IRePI6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。证明：令A Xi, yi ,B X2,y2到准线的距离为以为直径的圆的圆心为 M到准线的距离为d。AF2edi十AF2BF2 edid2'BF

4、2ed2AB 2Re di d2R edid22ddi d?2Op ep 1Rp d以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离7、A为椭圆内一定点，P在椭圆上，则:(IPA 1+ IPF2 I) max =2a+ lAFi I(IPA 1+ IPF2 I) min =2a- lAFi Ip证明：连接AP,AFi,PFiAPPF2AP2aPFi2aAPPFiAF1APPFiAF12aAF1APPF22a AFi(IPA I +IPF2)max=2a+IAFi I(I PA 1+ IPF2 I ) min =2a- IAF1 I& A为椭圆内一定点,P是椭圆上的动点，则(IPA I+ ) min

5、e=A到右准线的距离证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有xPFPFe d dePF2(PA I +) min =e=A到右准线的距离9、焦点"PFi F2的旁心在直线 x= ±a 上。证明：令。丨与/PFF三边所在的直线相切于PMPNPFiPNF1F2F2NFMFiAPFiPNF2NF2APFiPNF2NF1MF1Af2aF1F2F2 Nf2nf1f2f2nf2af2nf2a2a 2c 2 F2AF2A 即为椭圆顶点。焦点"PFi F2的旁心在直线x= ±a 上10、P是椭圆上任意一点，PF2的延长线交右准线于 E, K是准线PF2eqf2PF2

6、d1PF2QF2ed1d2QF2d2PF2d2QF2证明：令PQ到准线的距离为d1, d2上另一任意点，连结 PK交椭圆于Q，贝U KF2平分ZEF2Qd PKd2 QK由三角形外角平分线性质定理有 KF2平分/ EF2Q111 1AF BF食定值）证明：令 A X1, y1 , B X2, y2当AB的斜率存在时，设直线 AB方程为yXy kX c2 X2yb2X2 a2(k2X2 2k2cx c2k2) a2b20ab2八 22. 2、 2 222222 2(b a k )x 2a k ex a k c a b 0a2b2x1x2AFa ex-!111 12ae x1x2BFa ex2AF

7、BFa exi a ex22 aaex1x2e2x1x22a2 22a k c2ac2a2k2cb2a2k2ab2a2k2XiX2222a k c2 22b a k2b2,2 2a k ca2k22 22. 2 2 2. 2 2 2 2. 2 22. 2a2 ae 2a k c 2 a k c a b 2 ae 2a k c (c.2 a k c a b b2 a2k2b2 a2k2b2 a2k2a b2 a2k2322222a3k2 2ab2 2ak2c24 22. 22| 2 24| 2 . 2 2a k a b 2a k c c k b c2ak2 a2 c2 2ab2k2b4 a2b2

8、 b2c22ak2 2a 2 2 2 2 k b a c2ak212a.2.21 2bkb当AB的斜率存在时，11aa2a222"AFBFbbb1 1AF BF存定值）12、AB是椭圆的任意一弦，P是AB中点,则Kab?K°p 飞（定值）a证明：令 A,B X22 ，P Xo，yoXX1X2Xoyo2Xi2 a2 yi b2iX-!X2. X-!X?yiy2 . yiy2o2X22y22 aib2J2 ab2yiy2b2 xx22XiX2ayiy2,yiy2yo，kOPkABXiX2Xoib2kAB2Opabla213、椭圆的短轴端点为Bi、B2, P是椭圆上任一点，连结B

9、iP、B2P 分别交长轴于 N、M两点，则有I OM I* ION I=a证明:Bi 0,b ,B2 0, b , NXi0 ,P Xo,yo ,Mx20UULVuuuurB2PXo,yob,B2MX2,bUULVuuuvBPXo, yob,BiNXi,b由于B2、P、M共线XoyobX2bXoX2bYo buurUULU由于PFicXo,yo ,PF2cXo,yoXoy° bbxoXiXibyo bOM ONXo2b2yo2b22-2Xo b2_Z2yobAB222.22122i25by°a2 b x1 2 2 aa ba bbyoOM ON a2i4、椭圆的长轴端点为

10、Ai、A 2，p是椭圆上任一点，连结AiP、A2P并延长，交一准线于 N、M两点,则M、N与对应准线的焦点张角为90 022证明：令Ma,yia,N -,y2 ,p X°, y° , a a,0ccA a,0ujiruuuuAPXa,y° ,A?Px°a, y° ,ujuir2 auuuua2AMa, yiANa, y2cc-由于A1、P、M共线a2X)ay°y°(a) c 2y1aayiX aC由于A2, P, N共线2x°2 aaayoy2y2y° (ca)aXc22,aa) y°,aa)2

11、4'y°a a c畑y°(c(c2 2 2X°aX°ax°acx°22y°1y°2b22.2222abX°aayiy2.24b a2 2 a cb4222accujun2 aFMc, yib4cujuruur2 aFMFN2yi y2luurcFNc, y2cluurunrFMFN0M、N与对应准线的焦点张角为90°15、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦该准线对应的焦点。2a证明：设M,y。ca x则ab的方程为ayoyb2即 '黑 1必过点c,0c b16、椭圆的光学性质

12、：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。证明：设P x0, y0 ，则过P点的切线IXoX2ayoyb21，直线I的法线X交轴于Q直线I的法向量为:X。yo2，| 2 a bujir vPF1uuinc Xo, yo , PF2c Xo, yoPF2 cXoyo2cXoc2 Xo2 2cxo b2Xoa2a422c Xo2a2cXoa2 cxo 2同理PF1r uuirn PF1a2 cxd 22CXo Xo2a2 yo_2, 22CXo Xo ,2 b Xo2 b aa2acx02ar uuur同理n PF2CXocos F2 PQa2r mu n PF2 iuhui r PF2 n2ac

13、Xd2acx0cos F2PQr uumn PF2uute_rPF2 nF1PQF2PQ2acx02aCXo即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。、双曲线的几何性质(2 X 均以V a°)焦点三角形面积：S八cot2(2)、过作/ Fi PF2的内角平行线的重线垂足1-r-n1 a, b2 2M的轨迹是x ya2(3)、以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与x2 y2 a2内切，小的圆与x2 y2 a2外切。(4)、以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交x(5)、焦点"PF1F2的内切圆心横生标为土a即与实轴的切点一定是实轴端点(6)焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所

14、对的圆心角为定值/MCN = 2arccos -eA、A为双曲线内一定点 P为双曲线上动点=PA + PF2(8)、如图：A为双曲线内一定点，P是双曲线上的动点,PF2min等于A到右准线的距离Ax(9)、焦点到渐近线的距离等于b(9)(10)、双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值a2b2y(11 )、P是弦AB中点Kab Kop =冬定值y彳/B.1/F1丿 9F2(12)、P为双线上任一点过 P点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值-ab2y(13)、过P的切线平分/ F1PF2 (光学性质)即经过(14)双曲线与渐近线把平面分成5部分2 2双曲线上的点x2y21

15、a b2 2区域的点X-2葺 1a b渐近线上的点区域的点2 x 2 ab22 y b22 2区域的点o 冷厶 1a b过渐近线上的点(除中心)只能作一条切线，过中心无切线，没有与两支都相切的切线过区域的点作切线分别K在两支上，过区域的点作切线切点在同一支上，过区域的点没切线，双曲线的切线斜率k ，区域、的a点可作弦的中点，中心是任意过中心的弦的中点，渐近线上(除中心)，双曲线上，区域的点不可能是弦中点2(15)直线L与双曲线的渐近线V1交于A、B两点，与双曲线交于 C、D两点，贝U AC=BDb三、抛物线的几何性质均以抛物线V2px p 0为例min等于A到准线的距离(1) 如图：A为抛物线内一定点，P是抛物线上的动点，PA + PF2px p0焦点F作弦AB，其中A(xi,yi) ,B (X2,y2)则有:y22P2x1x24ABXiX2pABmin2p112AFBFP（2）过抛物线y以AB为直径的圆与