圆锥曲线解题技巧汇编

1、圆锥曲线解题技巧及例题汇编1、定义法(1 )椭圆有两种定义。第一定义中，m+r2=2a。第二定义中，ri=edi2=ed2。(2) 双曲线有两种定义。第一定义中，几-r2 =2a，当ri>r2时，注意 匕的最小值为c-a:第二定义中，ri =edi，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。(3) 抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直 接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问 题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥

2、曲线问题的重点方法之一，尤其是 弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点 A(Xi,yi),B(x2,y2),弦AB中点为M(xo,yo)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生 弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：X2V2XV(1) r 耳=i(a b 0)与直线相交于 A、B，设弦AB中点为M(Xo,yo),则有一20k =0。aba

3、b2 2(2) X2 一 y2 =i(a 0,b0)与直线I相交于A、B，设弦AB中点为M(xo,yo)则有X； 一绞丘=：0a ba b(3) y2=2px ( p>0)与直线 I 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(X0,y。),则有 2y°k=2p,即 yok=p.【典型例题】例1、(1)抛物线 C:y2=4x(2)抛物线C: y2=4x上一点上一点 P到点 A(3,42 )与到准线的距离和最小，则点 P的坐标为Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为。当A、P、F三点共线时，距离和最小。(2) B在抛物线内，如图，作 QR丄I距离和最小。PF,则 P

4、H=PF，因而易发现，|H交于R，则当B、Q、R三点共线时，分析：(1) A在抛物线外，如图，连' /Q -p B /T"士（X-D31解:( 1)(2， 2 )连PF,当A、P、F三点共线时， AP + PH =|AP +|PF最小，此时AF的方程为即y=2 . 2 (x-1),代入y2=4x得P(2,22 ),(注：另一交点为(丄，2)，它为直线AF与抛物线的另一交点,2舍去)1(2) ( ,1 )4过Q作QR丄I交于R,当B、Q、R三点共线时,BQ|BQ QR最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y =4x得x= Q( 1 ,1)4点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离

5、”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。2 2F是椭圆 y 1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。43(1)PA +|PF的最小值为PA +2PF的最小值为分析:PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF 或准线作出来考l'匚yA PHF 0Fx虑问题。解：(1)4- 设另一焦点为F ，贝U F (-1,0)连A F ,PF取得最小值为4-5 。PA + PF| = PA +2a- PF' = 2a-(PF' - PA) Z2a - AF =4-45当P是F 'A的延长线与椭圆的交点时，PA +|PF1a=2, c=1, e=,2(2) 3作

6、出右准线I，作PH丄I交于H，因a2=4, b2=3 , c2=1 , PF= _|PH ,即2 PF = PH PA +2PF =|PA + PH2 当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为a-Xa= 41=32222例3、动圆M与圆G：(x+1) +y =36内切，与圆C2：(x-1) +y =4外切,求圆心M的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线(如图中的 A、M、C共线，B、D、M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”(如图中的MC = MD )。MCCMD-扩 Ji F,0 B5 XAC -MA+解：如图,MB =8(*)MB DB

7、即6 MA = MB -22 2点M的轨迹为椭圆，2a=8, a=4, c=1 , b 2由得(X1-X2) 1+(X 1+X2)=9即(X1+X2)2-4X1X2 1+(X 1+X2)2=9=l5轨迹方程为 =11615点评：得到方程(* )后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出.(x1)2y» ；(x匚1)2y2 =4,再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！3例 4、 ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sin C-s in B=si nA,求点 A 的轨迹方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两

8、边乘以2R (R为外接圆半径)，可转化为边长的关系。解:sin C-si nB= 3 si nA2Rsi nC-2Rs inB= 3-2RsinA3 AB _ AC =由、得 2x 1 X2=(2x o)2-2yo =4x o2-2y 0 BC5即 AB - AC =6(*)点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)/ 2a=6, 2c=10 a=3,c=5,b=42 2所求轨迹方程为X y 1(x>3)916点评：要注意利用定义直接解题，这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。分析：(1 )可直

9、接利用抛物线设点，如设A(x 1,x12), B(X2, X22),又设AB中点为M(x oyo)用弦长公式及中点公式得出y。关于X。的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。(2) M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑 M到准线的距离，想到用定义法。2 2解法一： 设 A(X1, X1 ), B(X2, X2), AB 中点 M(xo, yo)(X1 -X2)2 (X； -x；)2 =9 则X1 +X2 =2x。2丄 2cX1 十 X2 =2yo代入得 (2xo)2-(8xo2-4yo) 1+(2xo)2=9 4y° _4x092，1 4xo24y° =4xo9t =

10、(4x01)91)4xo +14Xo 2 9-仁5,八552 5蔦此时M(盲冷)t 2V2当 4x0+1=3 即 X。八 3 时，(yo)m.法二：如图,2|MM2| =卜宀 +|BB2| = AF|+|BF| 列AB|=3313/1BA0MrBTAB2MM 2 兰-,即 MM j + 启-,21425MM 1色一，当AB经过焦点F时取得最小值。45 M到x轴的最短距离为 54点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消X1, X2,从而形成yo关于X。的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点 M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化

11、为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验 证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。2 2例6、已知椭圆X y =1(2乞m乞5)过其左焦点且斜率为 1的直线与椭圆及准线从左到右依次 m m T变于 A、B、C、D、设 f(m)= |AB CD| , (1)求 f(m), (2)求 f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统” ，A在准线上，B在椭圆上，同样 C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”

12、到x轴上，立即可得防f (m) = (XB - Xa ) w'2 (XD - Xc )= /(Xb - Xa) - (XD - Xc )|=.2(Xb Xc) -(Xa Xd)= T2|(Xb +xji1y c1D此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。F1甘A0-Fx2 2解：(1)椭圆 1 中，a2=m, b2=m-1 , c2=1，左焦点 Fi(-1,0)m m 1则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m_1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1) 2-m2+m=0 (2m-1)x2+2mx+2m-m 2=0设 B(x1,y1),C(X2,y2),则X1 +X

13、2=-2m2m -1(2 _ m _5)f(m) =|AB| - CD| =T2|(Xb - Xa) - % - Xc)|二 2 (X1X2)-(Xa Xc) = ：；2X1X22m2m-1(2) f(m)-22m1 “2(11)2m12m1当 m=5 时,f(m)min10 .29当 m=2 时，f (m)maxBC 中点为 M(X0,y°),点评：此题因最终需求Xb Xc，而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设通过将 B、C坐标代入作差，得勺 -y= 0，将y°=x0+1，k=1代入得- jX0一 二0，m m Tm m Tx°m2m -1，可见XbXc2m

14、2m -1当然，解本题的关键在于对f (m) =| AB - CD|的认识，通过线段在x轴的“投影”发现f (m) = Xb Xc是解此题的要点。【同步练习】1、已知：Fl,2是双曲线2x2a2莒 =1的左、右焦点，过F!作直线交双曲线左支于点b2A、B,若 AB = m， ABF 2的周长为()A、4aB、4a+mC、 4a+2mD、4a-m2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,贝U P点的轨迹方程是( )2 2 2 2A、y =-16x B、y =-32xC、y =16xD、y =32x3、已知 ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且AB AC，点B、

15、C的坐标分别为(-1 , 0), (1 , 0)，则顶点A的轨迹方程是()2 2 2 2A、X-丄=1B、乞 L=1(x0)43432 2 2 2C、x -1(x : 0)D、-1(x0且y = 0)43434、过原点的椭圆的一个焦点为F(1, 0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是A、(x -1) 1 2y2 二3(x = -1)24B、(x 丄)x 十() y2 二 9(x = -1)249丁一1)2 1 2X (y 2)2 25、已知双曲线=1上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是9166、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是27、 已知抛物线y=2

16、x的弦AB所在直线过定点 p(-2, 0)，则弦AB中点的轨迹方程是&过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为9、 直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k=2 210、 设点P是椭圆 =1上的动点，F1, F2是椭圆的两个焦点，求sin / F1PF2的最大值。25911、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线I与此椭圆相交于 A、B两点，且AB中点M为(-2，1)， AB =4. 3，求直线I的方程和椭 圆方程。2 212、已知直线I和双曲线A、B、C、D o笃-爲=1(a0,b 0)及其渐近线

17、的交点从左到右依次为a b求证：AB =CD【参考答案】1、CAF2 AF=2a, BF2 BF=2a ,二 AF2| + BF2 - AB| =4a, AF2| + BF2 + AB = 4a + 2m,选 C2、C点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为 y2=16x，选C3、D/ AB 十 AC =2汇2，且 AB >|AC点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又 A、B、C三点不共线，即y丰0，故选D。4、A设中心为(x, y),则另一焦点为(2x-1 , 2y),则原点到两焦点距离和为 4得1(21)2 (2y)2二4 ,y2又 c<a,. .

18、 (x -1)2 y2 : 2(x-1)2+y2<4 ，由，得XM -1,选 A292999295 29左准线为x=-_, M到左准线距离为 d =4 -()= 则M到左焦点的距离为 ed二一 一5553 5116、x (y 二)22ryrrr设弦为 AB , A(x i, yi), B(X2, Y2)AB 中点为(x, y)，则 yi=2xi , y2=2x2 , Yi-y2=2(xi -X2 )% _y2 =2(x x2)二 2=2 2x,捲 - x221111将x 代入y=2x2得y，轨迹方程是x (y> )222 227、y =x+2(x>2)设 A(X1, y) B

19、(X2, y2)，AB 中点 M(x，y)，则2y12=2 x1 , y2= 2X2, yf -yl =2(X1 X2), 上为X2(y1 y22kAB = k|MPy -0x 2y2 y = 2，即 y2=x+2x 2又弦中点在已知抛物线内P,即 y2<2x，即 x+2<2x , x>28、4a2 =b2 =4,c2 =8,c =2 2，令 x =2 .2代入方程得 8-y2=42 y =4, y= ± 2,弦长为 49、一 i2或-1y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1) 2-1=02 2- (1-k )x -2kx-2=01 _ k2 式 0 得 4k2+8(1-k2)=0, k= ± J2 = 0- 1-k2=0 得 k= ± 12 2 210、解：a =25 , b =9 , c =16设F2为左、右焦点，贝U F*-4 , 0)F2(4, 0)设 PRPFr2F1flF2 =日” 则J +2 =2日+r22 -2订2 cos 日=(2c)2rr-得 2r1 r2(1+cos 0 )=4b 1+cos 04b22吋212 的最大值为a21+cos 0的最小值为2b22， a18即 1+cos 02577-cos0,0：t：二-arccos 则当时，sin0取值得最大值1,25252即sin /