圆的知识点总结及典型例题

1、、圆的概念集合形式的概念：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;1、点在圆内d : r点C在圆内；2、点在圆上d = r点B在圆上；3、点在圆外d . r点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离=dr= 无交点；2、3、直线与圆相交=d:r= 有两个交点;、点与圆的位置关系直线与圆相切 = d = r =有一个交点;外离（图郢1)无交点d R r ；外切（图2)=有个交点=d=R r ；相交（图郢3)有两个交点R - r : d ： R r ；内切（图4) -有个交点 -d二 R-r ；内含（图郢5)无交点d :： R - r ；五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平

2、分弦所对的弧。推论1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即：AB是直径 AB _CDCE二DE 弧BC二弧BD弧AC二弧ADDAB中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在O O 中， AB / CD弧 AC =弧 BDEFOADC此定理也称1推ACEAMAN六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相

3、等，所对的弧相等，弦心距相等。3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的 3个结论,即：.AOB DOE : AB 二 DE ；OC = OF :弧BA =弧BD 七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： . AOB和.ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角:，匚 AOB =2./ACB2、圆周角定理的推论： 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧;即：在O O中， . C、. D都是所对的圆周角 . C推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O O中

4、， AB是直径或 . C =90 AB是直径推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中， OC =OA =OB ABC是直角三角形或.C =90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜 边的一半的逆定理。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即:在O O中，四边形ABCD是内接四边形 C BAD =180 B D =180 DAE 二C九、切线的性质与判定定理(1) 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切

5、线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MN _OA且MN过半径OA外端 MN是O O的切线(2 )性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： PA、PB是的两条切线 PA =PBPO平分.BPA十四、圆内正多边形的计算D(1 )正三角形在O O中 ABC是正三角形，有关计算在Rt BO

6、D中进行OD:BD:OB -1: 3:2 ；(2)正四边形同理,四边形的有关计算在RLQAE中进行,OE: AE:OA=1:1:(3)正六边形同理,六边形的有关计算在Rt OAB中进行,AB:OB:OA=1: .一3:2.卜五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：(1)弧长公式：l = n R ；180(2)2n 二 R2扇形面积公式：S =360= -IR2I，/JOiLB /An :圆心角R:扇形多对应的圆的半径I :扇形弧长S:扇形面积2、圆柱:(1 )圆柱侧面展开图S表 二S侧2S底=2二rh 2二r2(2)圆柱的体积：V =叼午(2 )圆锥侧面展开图(1) S表 二 S侧-S底

7、=二 Rr 二 r1 2(2) 圆锥的体积：Vr2h3典型例题例1 两个同样大小的肥皂 泡黏在一起，其剖面如图 1所示(点0, O是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求/ TPN的大小.例2.如图，AB为O 0直径，E是BC中点，0E交BC于点D, BD=3, AB=10,则AC=例4.如图，在O 0中，AB CD是两条弦，OEL AB OF丄CD垂足分别为 EF.(1) 如果/ AOBM COD那么0E与0F的大小有什么关系？为什么？(2) 如果OE=OF那么AB与CD的大小有什么关系？ AB与CD的大小有什么关系？ ？为什么？/ AOB与/COD呢？

8、例5.如图3和图4, MN是O 0的直径，弦 AB CD湘交于MN上的一点 P, ?/ APM= CPM(1) 由以上条件，你认为 AB和CD大小关系是什么，请说明理由.(2) 若交点P在O 0的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由.B例6如图，点0是厶ABC的内切圆的圆心，若/ BAC=8C，则/ BOC=(A. 130°B . 100° C . 50°D . 65°DCB=/ A.例7.如图，AB为O 0的直径，C是OO上一点，D在AB的延长线上，且/(1) CD与O O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由

9、.(2)若CD与O O相切，且/ D=3C° , BD=1Q求O O的半径.例10.在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB,顶点C在半圆圆周上,其它两边分别为 6和8,现要建造一个内接于 ABC?勺矩形水池DEFN其中D E在AB上，如图24- 94的设计方案是使AC=8 BC=6.(1 )求厶ABC的边AB上的高h. (2)设DN=x且h DN =NF，当x取何值时，水池 DEFN的面积最大？ ( 3)h AB实际施工时，发现在 AB上距B点1 . 85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果例11.操作与证明：如图所示，0是

10、边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在 0处，并将纸板绕 0点旋转，求证：正方形 ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.例12.已知扇形的圆心角为 120°,面积为300二cmf.(1 )求扇形的弧长；(2)若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少?例13、如图，AB是OO的直径，BC是弦，ODL BC于 E,交BC于D.(1)请写出五个不同类型的正确结论；(2)若BO8, ED= 2,求O O的半径.例14.已知：如图等边 ABC内接于O 0,点P是劣弧PC上的一点(端点除外)，延长BP至D ,使BD =AP ,连结CD

11、 .(1)若AP过圆心0，如图，请你判断 PDC是什么三角形？并说明理由.(2)若AP不过圆心O ,如图， PDC又是什么三角形？为什么? PDC为等边三角形.例15.如图,四边形DABCD内接于O 0BD是OO的直径，AE _CD，垂足为E , DA平分.BDE .(1)求证:AE 是OO的切线;(2)若.DBC =30；,DE =1cm，求 BD 的长.D例16、如图，已知在OO中，AB=4 一 3，AC是OO 的直径，ACL BD 于 F，/ A=30°(1) 求图中阴影部分的面积；(2) 若用阴影扇形 OBC围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径例17.如图，从一个直径是 2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形.O(1)求这个扇形的面积(结果保留二).(2) 在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由.(3) 当00的半径R(R .0)为任意值时，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由.例18. 如图OA OB是00的两条半径，且 OALOB点C是OB延长线上任意一点：过点C作CD切00于点D,连结AD交DC于点E.求证：CD=CE(2) 若将图中的半径 OB所在直线向上平行移动交 OA于 F,交00于B',其他条件不变，那么上述结论 CD=CE 还成立吗？为什么？(3) 若将图中的半径 O