圆锥曲线中离心率及其范围地求解专题

1、圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题【高考要求】1 熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。2 .掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；3 灵活运用教学中的一些重要的思想方法(如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨 论思想、等价转化的思想学)解决问题。【热点透析】与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：(1 )结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；(2 )不等式(组)求解法：禾U用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的离心率(a,b,c)适合的不等式(组)，通过解不等式组得出离心率的变化范围；(3 )函数值域求解法：把

2、所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来 表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。(4 )利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的 构思；(5 )结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个 共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数B简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题；(6 )构造一个二次方程，利用判别式0。2.解题时所使用的数学思想方法。(1 )数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是 其中各种量之间的大小和

3、位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出 来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。(2 )转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、 求曲线交点问题与解方程组之间的转化, 实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。(3 )函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中 的一元二次函数知识等。(4 )分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。【题型分析】1.已知双曲线C1x22y21 (a 0,b0)的左、右焦点分别为F1bF2，抛物线C2的顶点在原点,准线与双曲线 C1的左准线重合，若双曲线C

4、1与抛物线c2的交点P满足pf2F|F2，则双曲线C1的离心率为()2 3c.解：由已知可得抛物线的准线为直线，二方程为4ax ；c由双曲线可知22p(c2) 丄)2aa4a2c，二 b2c2a2b222，二 e2 12，e 3a2x2 椭圆 2a的两个焦点分别为 F、F2，以Fj、F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e为b.3 1C. 4(23 )解析：设点P为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，由平面几何知识可得| PF21:| PF| 卩店21 1:3 : 2，所以由椭圆的定义及e 得:a2c e 一2aIF1F2IIPF1I IPF2I3 1，故选b.变式提

5、醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率e 3 1.3.(09浙江理)过双曲线x2 ay b21(a0,b0)的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线uur1 UUUT的两条渐近线的交点分别为B,C若ABBC2，则双曲线的离心率是()A .2B.3C.5D.102 2【解析】对于A a,0，则直线方程为x直线与两渐近线的交点为B , C ,aba b,C(abab umr a b，BC(2a2b(2 . 2 ,a b2a2buuua2 &2代ab abuuu 因此2ABuurBC,4a2b2,e 5 答案:2x4.（ 09江西理）过椭圆_2a2【2 1(ab0）的左焦点

6、Fi作x轴的垂线交椭圆于点 P ,F2为右焦点,若 F1PF260o，则椭圆的离心率为（【解析】因为P（ c,)，再由F1PF2a60。有a2a,从而可得3，故选35.（08陕西理）双曲线2x2a2b21（a 0，b 0）的左、右焦点分别是Fi,F2，过F1作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（b.3c.23D .36.（ 08浙江理）2x若双曲线2a2y21的两个焦点到一条准线的距离之比为b22,则双曲线的离心率是(D)(A)3(B) 5(C)3(D)57. （08全国一理）在 ABC 中,AB BC，cos B.若以A，18B为焦点的椭圆经过点C

7、，则该椭圆的离心率e8. （10辽宁文）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（(A)2(B)3<3 1(c)2(D)51解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为:2x2a2話 1（a °b °），b则一个焦点为F（c,0）, B（0, b） 一条渐近线斜率为：，直线FB的斜率为:ab2 ac2c 51a ac 0，解得 e a 29. (10全国卷理)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且uuuBFUUITFD ,则C的离心率为解析：答案：亠33如图，

8、设椭圆的标准方程为2x2 +a2 y b2l(a> b > 0)不妨设B为上顶点,F为右焦点,uuu设 D(x, y) 由 BFuuur2 FD，得(c, b)= 2(x-c, y),c 2(x c)b 2yx，解得3c2b由D在椭圆上得:/3 2(2c)2a【解析1】3如图,3|OF |DD1|BF |BD|Ab2|FD|BF| b2-所以| DD13cD(,2；|OF|2za3C匕 3c) a3c3c22a又由 |BF | 2|FD |,得 a2a3c2【解析2】设椭圆方程为第一标准形式xc0 2x2X232X2X2a3c 2 c； Yc2c4 a21 b24 b2c2 _ 1

9、a2 3作DD13c,即 xd2b2 1，b 2y2y2c，二 e =ay轴于点UUD1则由BFUlT2FD , 得3c，由椭圆的第二定义得2设 D X2,y2, f 分3yc b 3 0 bBD所成的比为10.（07全国2理）设R, F2分别是双曲线A，使2y2的左、右焦点，若双曲线上存在点b2F1AF290o且 AF13 AF2则双曲线的离心率为（1022c ? e1010215C.2SAF1- AF2 = 2AF2= 2a 解 口 222 ? a?(AFJ2+(AF2)2= (2 c)2I2x11.椭圆一2ab21(a0,b0）的左焦点为F,若过点F且倾斜角为45°的直线与椭圆

10、交于 A、B两点且F分向量BA的比为2/3，椭圆的离心率e为:。本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。思路简单, 运算繁琐。下面介绍两种简单解法。解法（一）：设点 A Xa, Ya ，B Xb, Yb由焦半径公式可得a exAa exB则 2(a exA) 3(a exB)，变形 2(a exA a exa exB，所以 2e(xA xB)exs因为直线倾斜角为45o，所以有2e?AB2| ab| ，所以2e 5提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。焦半径 是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁

11、为简，提高解题效率。一般来说，如果题目中涉及的弦如果为焦点弦,应优先考虑焦半径公式。解法（二）：1BE -|BFA?|abee 51AD - AFl? ABee 5|ac|#|abAD BE|AC!?3 ab !?-|ab |abe 5 e 5212.（10辽宁理）（20）（本小题满分12分）2 x 设椭圆C :2a1（a b 0）的左焦点为f,过点f的直线与椭圆c相交于A, B两点，直线uuul的倾斜角为60o, AFuuu2FB .椭圆C的离心率解:设 A(x-!, y1), B(x2,y2)，由题意知 y1 <o, y2 >o.解得(i)联立y1直线y2x2al的方程为 y

12、3（x c），其中c a2 b23(x c),得(3a2 b2)y22*；3b12 y b2cy 3b43b2 (c 2 a)2 23a b3b2 (c 2a)2 23a buur 因为AFuuu2FB ,所以2y2.3b2(c 2a)3b2(c 2 a)3a2 b22? 2 23a2 b213. A是椭圆长轴的一个端点,O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P,2x解析：设椭圆方程为2ax2 ax+ y2 =0,两式联立/OPA= 2，则椭圆离心率的范围是2y2 =1( a> b > 0),以OA为直径的圆:b22 .2a b2ax2 ax+ b2=0.即 e2x2 ax+ b2=0,

13、该方程有一解X2,解为 a,由韦达定理2 < e < 1.2aaX2= 2 a,0< X2< a, 即卩 0< 2 a< aee2X14.在椭圆 2a2y21（a b 0）上有一点m , F1, F2是椭圆的两个焦点，若b椭圆的离心率的取值范围是解析：由椭圆的定义，可得程x22ax所以eMFMF22a 又 MFMF22b20的两根，由(2a)24 2b2MF IMF2I 2b2,22b ，所以MF 1 , MF2-是方可得a22b2，即 a22(c2 a2)，所以椭圆离心率的取值范围是22x15.（08湖南）若双曲线一?a2 y b2（a>0,b &g

14、t;0）上横坐标为3a的点到右焦点的距离大于它到左准线2的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(2,+C.(1,5)D. (5,+)解析由题意可知（3a22a、)ec即 3e 132-解得e 2故选b. e2X16. （07北京）椭圆一？a2 y b21(ab 0）的焦点为Fi，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若MNd(0J解析由题意得17. (07 湖南)F1F22a2，则该椭圆离心率的取值范围是（b. (0, 222 2c.e2故选D.c.1，)D. 2，)设Fi,2xF2分别是椭圆2ab 0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P,使线段PF|的中垂线过点F2，则椭圆离

15、心率的取值范围是a. (0, 22B. (0, 33C.2分析通过题设条件可得PF2 2c,求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立?2a解析：丁线段PF1的中垂线过点F2, /.PF2 2c,又点p在右准线上，PF2 cc即2ca2c 33c:':、c a 33e 1，故选d.点评建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便2 2x y18. ( 08福建理)双曲线一2a b1 (a>0,b >0)的两个焦点为Fl、F2,若P为其上一点且|PFi|=2| PF2|,则双曲线离心率的取值范围为(B)A.(1,3)B. 1,3C.(3,+) D. 3,分

16、析求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？利用第二定义及焦半径判断x0 3 a解析：T|PF1|=2|PF 2|,PF1| |PF2|=|PF2|= 2a，|PF2| c a 即 2a c a -3a c所以双曲线离心率的取值范围为1 e 3，故选b.解2如图2所示，设PF2 m，F1PF2(0)，2cm2 (2 m)2 4m2 cos e 、5 4cos2am当点p在右顶点处有.：1 cos 1，二e 1,3 .选B.小结 本题通过设角和利用余弦定理，将双曲线的离心率用三角函数的形式表示岀来，通过求角的余弦值的范围，从

17、而求得离心率的范围.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论(双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小 于c a)则可建立不等关系使问题迎刃而解.uuuu UUJUT19.(08江西理)已知F,、F2是椭圆的两个焦点，满足 MF1 MF20的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(C)122A .(0,1)B.(0,2C.(0, 2 )D.T,1)解据题意可知，/ F1M F2是直角，则垂足iM的轨迹是以焦距为直径的圆.所以22222 1(0,1)，所以2c bcbace一又ee(0,)选 C.22小结 本题是最常见的求离心率范围的问题，其方法就是根据已知条件，直接列岀关于a,

18、 b, c间的不2等量关系，然后利用 a, b , c间的平方关系化为关于 a, c的齐次不等式，除以 a2即为关于离心率e的一元二次不等式，解不等式，再结合椭圆或双曲线的离心率的范围，就得到了离心率的取值范围2 2x y20. （ 04重庆）已知双曲线一21,（aa b0,b 0）的左，右焦点分别为F2，点p在双曲线的右支45小7A一Bc 2D一333|PF2|=3|pf 2|= 2a，|PF2|25|PF1|=4PF 2|,.|PF1|c a 即一ac a . a c33上，且 IPRI 4咪| ，则此双曲线的离心率 e的最大值为：（)所以双曲线离心率的取值范围为 1 e 5，故选B.32

19、2Xy21.已知F1， F2分别为一221ab(a 0,b0）的左、右焦点，p为双曲线右支上任一点，若PF1PF2的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是（)A (1,2 B(1,3 c2,3 D3,)解析門PF2(2aPF2PF2I4a2PF2PF2| 4a 2 4a2 4a 8a，欲使最小值为8a，需右支e 3.22xy,22.已知椭圆一221(a bab上存在一点p,使 PF2 2a，而 PF2 c a即2a c a所以10）右顶为a,点p在椭圆上，o为坐标原点，且 op垂直于pa，椭圆的离心率e的取值范围是；解：设p点坐标为（x0,y0），则有2x°a2x°y

20、。2b2ax0y。2 02 2消去y0得(a2 2b )X03a x°a2b20若利用求根公式求x0运算复杂，应注意到方程的一个根为a,由根与系数关系知ax02以a b22a bX023.椭圆G :2x2a22 1(a b0）的两焦点为R（c,0）,F2（c,0），椭圆上存在点M使ULUV UJUJVF1M F2M0.求椭圆离心率e的取值范围UUJIV UUJUV解析设F2Mx22 2_y cb2b2 2 一2 x a代入得x22以a b2 Q0 x2a2求得阳 e 122点评： 一2a2yb21(ab 0)中 x是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重

21、视.2x24.（ 06福建）已知双曲线_2a2 y b21(a0,b0）的右焦点为F，若过点f且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(A) (1,2( B) (1,2)(C) 2,)( d ) (2,)24a即e 2故选c.即 b3a 即 c2 a2 3a2 /-c2解析 欲使过点f且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于 等于渐近线的斜率b，/ b > 3，a a25.（ 04全国I）设双曲线 C :2x2ay21(a 0)与直线 l : x y1相交于两个不同的点A、B.求2 x2 a(1 - a2)x2

22、+2 a2x 2a2=0.1所以a20.4a4 8a2(1a2)解得0 a2且 a0.1.双曲线的离心率：e1 Q 0 a血且a e号且e丘所以双曲线的离心率取值范围是(26, 2)U( 2,双曲线C的离心率e的取值范围： 解析 由C与|相交于两个不同的点，故知方程组y21,有两个不同的实数解.消去y并整理得1.总结：在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.2 x26 设F1， F2分别是椭圆一2a2y2 1 （ a b 0）的左、右焦点，若

23、在其右准线上存在 P,使线段PF1b的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围是（ d ）0, 220,C.3 ,132a+ cc22c3c? e331（a b 0）的左、右焦点分别为F, c,0）, F2（c,0），若椭圆上存在一点P使ac，则该椭圆的离心率的取值范围为sin PF1F2sin PF2F1【答案】2 1,122x y27. （09重庆卷文）已知椭圆 一22a bPF2解法1，因为在PF1F2 中，由正弦定理得sin PF| F2PF1sin PF2F1a c则由已知，得，即aPF1 cPF2PF 2 RF1a exj贝U a(a ex) c(a e«)设点（X）,

24、y0）由焦点半径公式，得PF1 a ex0, PF2(B)0；(C)2 1,1(D)12,1记得X。a(ca)a(e卫由椭圆的几何性质知xa则 a(e1）a，整理得e(ca)e(e1)e(e1)e2 2e10,解得e21或e 21,又 e (0,1),故椭圆的离心率e ( 21,1)28. ( 10四川理）椭圆2x22y1(a b）的右焦点F ,其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存ab2在点P满足线段AP的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是22= a b 而 |FA| = c cc即 ac- c2<b2<ac + c2解析：由题意，椭圆上存在点 P,使得线段AP的垂直平分

25、线过点 F , 即F点到P点与A点的距离相等b2|PF| a-c,a+c，于是 一 a c,a + cac2 c2 a2 cca1222acaccc1或 caa1又 e (0,1)故 e,1 答案：D1 2229 .已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD| ,点E满足AE EC，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为2 3焦点，当一时，双曲线离心率e的取值范围是：。3 4分析：显然，我们只要找到 e与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求岀e的范围解：如图4，建立坐标系，这时 CD丄y轴， 因为双曲线经过点 C、D，且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知 C、D关于y轴对称依题意CA(-C,0)