圆锥曲线解题技巧和方法综合(全)

1、圆锥曲线的解题技巧、常规七大题型：(1) 中点弦问题:设曲线上两点为(x1, y1)，具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。2 2x y如：(1) r 1(a b 0)与直线相交于 A、B，设弦 AB中点为 M(xo,yo),则有a bXo2ay。0,b0)与直线I相交于A、B，设弦AB中点为M(xo,yo)则有笃誥k 0a b(3)y2 =2px ( p0 )与直线I相交于A、B设弦AB中点为 M(x 0,y0),则有2y 0k=2p,即 yok=p.22 y典

2、型例题给定双曲线x1。过A (2，1)的直线与双曲线交于两点 Pi及P2，2求线段R P2的中点P的轨迹方程。(2 )焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。2 2典型例题设P(x,y)为椭圆 笃 爲 1上任一点， ( c,0) , F2(c,0)为焦点,a bPFF2,PF2R(1)求证离心率esin( )； ；sinsin(2)求 |PFi|3 PF2I3 的最值。(3 )直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的

3、思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题抛物线方程y2 p(x 1) (p 0)，直线x y t与x轴的交点在抛物线准线的右边。(1) 求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2) 设直线与抛物线的交点为A、B，且OA丄OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。(4) 圆锥曲线的相关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。(1),可以设法得到关于

4、a的不等式，通过解不等式求出 a的范围，即：“求范围，找不等式”或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首先要把厶NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值，即：“最值问题，函数思想”。最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线y2=2px(p0)，过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点 A、B,|AB|

5、 2p(1 )求a的取值范围；(2)若线段AB的垂直平分线交 x轴于点N，求 NAB面积的最大 值。(5) 求曲线的方程问题1 曲线的形状已知 这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题已知直线L过原点，抛物线 C的顶点在原点，焦点在 x轴正半轴上。若点 A (-1 , 0 )和 点B ( 0, 8)关于L的对称点都在 C上，求直线L和抛物线C的方程。2 曲线的形状未知-求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点 Q（2，0）和圆C: 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数 求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。（6）存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步

6、解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）2 2X y典型例题已知椭圆 C的方程1，试确定 m的取值范围，使得对于直线43y 4x m，椭圆C上有不同两点关于直线对称（7 ）两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用ki k2yr y2i来处理或用向量的坐标X1 x2运算来处理。典型例题已知直线l的斜率为k ,且过点P（ 2,0）,抛物线C:y2 4（x 1），直线l与抛物线C有两个不同的交点（如图）。（1 ）求k的取值范围；（2）直线l的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。四、解题的技巧方面：在教学中，

7、学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。 下面举例说明：（1 ）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。2 2典型例题 设直线3x 4y m 0与圆x y x 2y 0相交于P、Q两点，O为 坐标原点，若 OP OQ，求m的值。（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例

8、题已知中心在原点 O,焦点在y轴上的椭圆与直线 y x 1相交于P、Q两点，J10且OP OQ , | PQ|，求此椭圆方程。2(3) 充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题求经过两已知圆 Ci: x2 y2 4x 2y 0和C?: x2 y2 2y 4 0的交点，且圆心在直线I : 2x 4y 10上的圆的方程。(4) 充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题.这 也是我们常说的三角代换法。典型例题2 2P为椭圆-y 笃 1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求 a b四边形OA

9、PB面积的最大值及此时点 P的坐标。(5) 线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB长的方法是：把直线方程y kx b代入圆锥 曲线方程中，得到型如 ax2 bx c 0的方程，方程的两根设为 Xa , Xb，判别式为,则|AB| J k2 |xA xB|1 k2 上，若直接用结论，能减少配方、开方等运算|a|过程。例 求直线x y 10被椭圆x2 4y216所截得的线段 AB的长。 结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。2 2X y例Fi、F2

10、是椭圆1的两个焦点，AB是经过Fi的弦，若|AB| 8，求值259| F2AI IF2BI 禾U用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例 点A (3 , 2)为定点，点F是抛物线 寸 4x的焦点，点P在抛物线y2 4x 上移动，若|PA| |PF|取得最小值，求点 P的坐标。圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1.直线方程的形式(1 )直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2 )与直线相关的重要内容倾斜角与斜率k tan ,0,)点到直线的距离dAxo By。 CB2夹角公式：tan(3 )弦长公式 直线 y kx b上两点 A(X|, yj, B(X

11、2, y2)间的距离：AB| &|xi x?J(1k2)(Xi X2)24住或 ABJi-11 yiy?(4)两条直线的位置关系 l1l2 k1k2=-1l1/l2k1k2且b1b22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程：2 2x V1(m0,n0且 m n)m n距离式方程：-(x c)2 y2, (x c)2 y2 2a参数方程： x a cos , y bsin(2) 、双曲线的方程的形式有两种标准方程：2 21(m n 0) m n距离式方程： (x c)2 y2 (x c)2 y2 | 2a(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：程；双曲线：

12、近；抛物线：2paa(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？2 2如：已知印F2是椭圆 厶1的两个焦点，平面内一个动点 M满43足MF|MF2 2则动点M的轨迹是（）A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线（5）、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，S时2 b2 ta门P在双曲线上时，S fpf b2 cot1 2 2,t| PF i2 | PF i2 4c2 uur ujrn uur uimr（其中 F1PF2,cos11F ,PFi?PF2 IPF1IIPF2ICOS ）|PF1| |PF2|（6）、 记住焦半 径公式： （1）椭圆焦点在x轴上时为a exo；焦点在y轴上时为a

13、 ey，可简记为“左加右减，上加下减”。（2）双曲线焦点在x轴上时为e|xo| a（3）抛物线焦点在x轴上时为|xj -p ,焦点在y轴上时为| y1 |号（6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？_第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）2 2设AX1,y1、BX22，M a,b为椭圆1的弦AB中点则有432 2 2 2 2 2 牛于1，气七1 ；两式相减得丄产x1x2 x1x2kAB3a4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式 0，以及根与系数的关系

14、，代入弦长公式，设曲线上的两点 A(xi, yj, B(X2, y2)，将这两点代入曲线方 程得到 咚两个式子，然后整体消元若有两个字母未知数， 贝S要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，贝何以利用 三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间 的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y kx b , 就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x2 5y2 80上，且点A 是椭圆短轴的一个端点(点 A在y轴正半轴上).(1 )若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC的方程；(2)若角A为90, AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程. 分析：第

15、一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点 弦BC的斜率，从而写出直线 BC的方程。第二问抓住角 A为90可 得出AB丄AC,从而得X1X2 y2 14( yi y?) 16 0 ,然后利用联立消 元法及交轨法求出点D的轨迹方程；解：(1 )设B (X1,y1 ) ,C(X2,y2 ),BC 中点为(x, y),F(2,0)则有2222X1y12y2彳2016，2016 y 2，代入(1)得k 6两式作差有(X1X2)(X1X2)20(y1y2)(y1y?)16X05yok4(1)F(2,0)为三角形重心，所以由X1X232，得 X05直线BC的方程为6x 5y 28 02)由 AB

16、 丄AC 得 X1X2 y2 14(yi y2)16 0(2)直线BC方5k22 2)x 10bkx 5b80X210kb,X1X25b4 5k24y28k.2,y1 y24b2设(40Xiyi程为 y2 805k29b232b164 5k2kx b,代入 4x25y280直线过定点9y2 9x232y所以所求点D笋代入(2)式得0,解得b 4(舍)或b(0 ，9)，设y(x,y)，则16 0的轨迹方程是x24、设而不求法(y49 y 4x x例2、如图，已知梯形ABCD中AB成的比为,双曲线过c、D、E三点，且以A、B为焦点当|3时,求双曲线离心率e的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定

17、比分点坐标公式、双曲线的概念 和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建2 2立直角坐标系xOy，如图，若设C夕山，代入笃卑1，求得h L ,2a b2 2进而求得XeL , yE L ,再代入令七1 ,建立目标函数a bf(a,b,c, ) 0,整理f(e, ) 0 ,此运算量可见是难上加难我们对h可米取设而不求的解题策略，建立目标函数f(a,b,c, ) 0，整理f(e, ) 0,化繁为简.解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD丄y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知 C、D关于y轴对称依题意，记A c

18、, 0 , C |,h , E Xo, yo，其中c 2 I AB I为双曲线的半焦距,xoh是梯形的高，由定比分点坐标公式得cC 2_2c1 2 1hyo厂2 2设双曲线的方程为笃爲1,a b则离心率e -aX由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e -代入双曲线方程得e2h2b2由式得h2e2b24将式代入式，整理得由题设33e213e22解得e 10所以双曲线的离心率的取值范围为分析：考虑|AE,AC为焦半径，可用焦半径公式，|AE,|AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算，达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一,XeAEa exE , ACeXC ,，又器| AC3得，-1亠-

19、43e2 2 4厂代入整理亠，由题e 1解得-.7 e ,10所以双曲线的离心率的取值范围为 7,.105、判别式法例3已知双曲线C:才兰1，直线I过点A . 2,0，斜率为k，当2 20 k 1时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线I的距离为2 , 试求k的值及此时点B的坐标。分析1 :解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有” 这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B作与I平行的直线，必 与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设计如下解题思路：I : y k(x 2)0 k 1直线I在I的

20、上方且到直线I的距离为J 2解得k的值解题过程略.分析2 :如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式 表达，即所谓“有且仅有一点 B到直线I的距离为屈”，相当于化归 的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：问题hrkx 2 x2 层|关于x的方程:L J20 k 1有唯I转化为一元二次方程根的问题 求解简解：设点M(x, .2 x2)为双曲线C上支上任一点，则点 M到直线I的距离为:kx 2x7 x 2kXi占于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于0 k 1，所以2 x2 x kx，从而有kx X2APPBXi2八 2r9k 49k 49k 2.9k25.18k_18=1 : 2

21、= 1 ；5 9k 2 9k 59 2 9 5r2由2(54 k)2180 9k240,解得 k2所以18 1，1 192 95 25k综上1 AP1PB5分析2:如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到：判别式X29k 2 9k259，往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定 k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因 在于AP 互不是关于X1,X2的对称关系式原因找到后，解决问题的PBx2方法自然也就有了，即我们可以构造关于 X1,X2的对称关系式.简解2 :Xi则X1 x2令色X2在（*）

22、从而有结合0设直线I的方程为：y9k24 x54kX22,9k24452 .9k 4kx代入椭圆方程,消去54kx 45324 k245k220(*)中，由判别式2,324 k4 245k200,可得k236，所以36T，解得综上，1PP点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里 .第三、推理训练：数学推

23、理是由已知的数学命题得出新命题的基 本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、 公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标， 得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题 之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考缜密、推 理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例6椭圆长轴端点为代B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点， 且 AF FB 1, |of 1.(I)求椭圆的标准方程；(H)记椭圆的上顶点为M ,直线I交椭圆于P,Q两点，问：是否 存在直线I，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线I的方程； 若不存在

24、，请说明理由。思维流程：umr uuuiuuJTi由 AF?FB 1 , 01U| 1(a c)(a c) 1 , c 1a 2,b 1写出椭圆方程文档由F为PQM的重心PQ MF,MP FQk pq1(n)2 23x 4mx 2m 20消元两根之和, 两根之积uuir uuir MP ? FQ 0得出关于m的方程解出m解题过程：X2 y2(I)如图建系，设椭圆方程为 丐 書1(a b 0),则c 1a b又t AF FB 1 即(a c) (a c) 1 a c/.a2 2x2故椭圆方程为2 y2 1(n)假设存在直线I交椭圆于p,q两点，且F恰为PQM的垂心,设 P(X1,yJ,Q(X2,

25、y2), VM (0,1),F(1,0)，故 kpQ 1 ,于是设直线1为y x- ym ，由2X2 23x 4mx 2m2 0uur uuu/MP FQ0 x1(x21)y2(%1)又 yi X m(i得 X1(X2 1)(X2 m)(X1m 1)0即2x!X2 (x1 x2)(m 1)2 mm 0由韦达定理得1,2)x m 得2y22 得，2心34m,T(m1) m2解得m1 (舍)经检验m舟符合条件.点石成金:垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零.例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 A( 2,0)、B(2,0)、C 1,3 三点.2(I)求

26、椭圆E的方程：(H)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F( 1,0), H (1,0),当厶DFH内切圆的面积最大时，求 DFH内心的坐标；思维流奩程：由椭圆经过A、B、C三点设方程为mx2 ny21得到m,n的方程(I)解出m,n由 DFH内切圆面积最大转化为 DFH面积最大转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点DFH面积最大值为 3S DFH2周长1内切圆得出D点坐标为0,解题过程：(I)设椭圆方程为 mx2 ny21 m 0, n 0 将A( 2,0)、B(2,0)、C(1,|)代入椭圆E的方程，得4m 1,229 解得m -,n -.二椭圆E的方程1m n 14343

27、41(H) | FH | 2，设 DFH 边上的高为 S DFh | 2 h h当点D在椭圆的上顶点时，h最大为.3，所以Sdfh的最大值为-3 .设ADFH的内切圆的半径为R，因为 DFH的周长为定值6 .所以,S DFH所以R的最大值为 .所以内切圆圆心的坐标为点石成金：s的内切圆的周长r的内切圆例8、已知定点C( 1,)及椭圆X2 3y2 5 ,过点C的动直线与椭圆 相交于A, B两点.(I)若线段AB中点的横坐标是 1，求直线AB的方程；(H)在x轴上是否存在点M，使MA MB为常数？若存在，求出 点M的坐标；若不存在，请说明理由.思维流程：y k(x 1)，(I)解：依题意，直线AB

28、的斜率存在，设直线AB的方程为将 y k(x 1)代入 x2 3y2 5，消去y整理得(3k21)X2 6k2x3k25 0.设 A(%，yj，B(X2, y2)，36k4 4(3k2 1)(3k2 5) 则6k2为 X22.3k2 10,(1)X2白线段AB中点的横坐标是得 X1X2、23k23k21k T，符合题意。所以直线AB的方程为x ,3y 10.(H)解：假设在X轴上存在点M (m,0)，使 MAMB为常数. 当直线AB与 x轴不垂直时，由(I )知X-|x223k26kx(x23k253k21ujur 所以MAuurMBm)(x2 m) yMm)(x2 m)k2(x1 1)(X2

29、1)(k21)x1x2 (k2 m)(x1X2) k2m2.将代入，整理得uur uurMA MB(6m1)k2 53k2 11 2(2m -)(3k2m2 3:3k2 12小 1 6m 14m 2m2.33(3k1)注意到MA MB是与k无关的常数， 从而有6m 14 0, m -,此时3uur umr 4MA MB .9当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为1,1,.3，当 m7时，亦有MA Mb -.39综上，在x轴上存在定点M 7，使MAMB为常数.点石成金:uuu uuir MA MB(6m 1)k2 53k2 11214(2m -)(3k2 1) 2m -333k2 1m

30、22m6m 143(3k21)例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M (2，1)，平行于0M的直线I在y轴上的截距为m(m工0)， l交椭圆于A、B两个不同点(I)求椭圆的方程；(H)求m的取值范围；(皿)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形思维流程：2 2解：(1 )设椭圆方程为务占1(a b 0)a ba 2b贝 y 4a2 b221解得：22 2椭圆方程为-壬18 2(II)v直线|平行于OM，且在y轴上的截距为m1又 Kom =-21l的方程为：yx m2i yx m由2 2 22 X2mx2m240Xyi8T直线1与椭圆交于A、 B两个不

31、同点，(2m)24(2m24)0,2 m 2,且 m0（皿）设直线MA、MB的斜率分别为ki, k2,只需证明ki+k2=0即可设 A(xi, yi), B(x2, y2),且治 x?2m,XiX2 2m2 4则kiyi i .,k2xi 2y2 iX22由X222mx 2m40可得XiX22m, XiX22m2 4而kik2yi ixi 2y2i (yii) (X22) (y2 i)(xi 2)X22(Xi2)(X22)Gm i)(x22)/i(x2m2i)(xi2)(Xi2)(X22)x1x2 (m 2)(x1 x2) 4(m 1)2 m2(xi 2)(X22)4 (m 2)( 2m) 4

32、(m i)(xi 2)(X22)2 m224 2m 4m 4m 40(Xi2)(X2 2)ki k20故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.点石成金：直线 MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形k1 k20例10、已知双曲线爲 1的离心率e 2卫，过A(a,O), B(0, b)的直 b3线到原点的距离是2 a(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y kx 5(k 0)交双曲线于不同的点C,D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.思维流程:2 原点到直线AB :y 1的距离d abd /a2 b2b 1, a 、3.abc.32故所求双曲线方程为x23y2(2 ) 把y kx5代入3y

33、23中消去，整理得(1 3k2)x2 30kx 780.设C(x1,y1), D(X2, y2),CD 的中点是E(Xo, yo)，则X1X2X。2 1k y。1k BEX。15 k3k2 y1 k .kxX。 ky0 k 0,即号需0,又 k 0, k 2故所求k= 7 .点石成金：C, D都在以B为圆心的圆上 BC=BD BE丄CD; 例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的 点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.(I) 求椭圆C的标准方程；(II) 若直线I :y=k x+ m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不 是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求 证：直线I过定点，并求出该定点的坐标.思维流程:2 2解：(I)由题意设椭圆的标准方程为 与珞1(a b 0),a b由已知得：a c 3, a c 1,a 2, c 1,b2a2c232 2椭圆的标准方程为打.(II)设 A(为,yj, B(x2, y2).y kx m,联立 x2y21.43得(3 4k2)x2 8