圆锥曲线常用结论[无需记忆,会推导即可]

1、椭圆与双曲线-经典结论1. 点P处的切线PT平分在点P处的外角.2. PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点荻PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF】为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.2 25若化(无,儿)在椭圆亠+= 1上，则过巴的椭圆的切线方程是址+器. = 1.cr trcr lrx2 v26. 若仇(心儿)在椭圆+ -v = l外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P】、P2,则切cr点荻PR的直线方程是聖+驴=1cr Zr227. 椭圆亠+吿=1 (a>b>0)的左右焦点分别为

2、Flt F2,点P为椭圆上任意一点cr 少ZF'PF? = / ,则椭圆的焦点角形的面积为S巧甲=b2 tan彳.X2 y2& WIH + -v = l (a>b>0)的焦半径公式：a bI MF =a + exu,IMF2 = a-ex()(Fl (-c, 0) , /s(c,0) M(x0,>*0)9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和 AQ分别交相应干焦点F的椭圆准线干M、N两点，则MF丄NF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A】、A2为椭圆长轴上的顶点，A】P和 A2Q交干点M, A2P和

3、A】Q交于点N,则MF丄NF.2 211. AB是椭圆丄t= 1的不平行干对称轴的荻，M(心,儿)为AB的中点，则cr Z?" Xb =,即 K AR = u。"Qo2212. 若化(心)b)在椭圆亠+二=1内，则被Po所平分的中点荻的方程是crv + y()y _ -v()2 . >o2a1 b2 a2 b2 _13若弘心儿）在椭圆4 + y = l内，则过Po的荻中点的轨迹方程是 cr trn空亠坐cr h2 a2 b2 *双曲线1. 点P处的切线PT平分APFiF?在点P处的内角.2. PT平分PFF2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为

4、直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF】为直径的圆必与以实轴为宜径的圆相切.（内切：P在右支；外切:P在左支）X2 y25. 若仇（心比）在双曲线-r = l （a>0,b>0）上，则过仇的双曲线的切线方a b程是卑器=1.cr lr2 26若人（心儿）在双曲线亠一务=1 （a>0,b>0）夕卜，则过Po作双曲线的两条切 a" b线切点为匕、P2,则切点荻PJ?2的直线方程是缪-器=1a"2 27双曲线二一=1 （a>0,b>o）的左右焦点分别为F2,点P为双曲线上任意一点ZFfF

5、2=y,则双曲线的焦点角形的面积为Lg "cotf.2 28. 双曲线二一缶=1 （a>0,b>o）的焦半径公式：（斤（一。0）,耳2,0）a b当耐（忑,儿）在右支上时，IM斥=ex）+a tMF2 =exQ-a.当/"（忑,儿）在左支上时，IM斥 1= -ex + a ,MF21= -ex-a9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应干焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF丄NF.10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交干两点P、Q,A】、A2为双曲线实轴上的顶点，A】P和A2Q交于点M, A2P

6、和A】Q交于点N,则MF丄NF.2 211. AB是双曲线亠-和=1 （a>0,b>0）的不平行干对称轴的拓M（“，儿）为ABlr的中点，则 KOM-KAB=t 即 Kab=ogJoa y012. 若R）（心）b）在双曲线爲-吿=16T b-右沪冃旺牙儿$ _崙 ><）2万程是a lr tr Z?x2 y213. 若R）（心儿）在双曲线r-汁=1> ?程是x（）x 儿 ya2 b2（a>0,b>0）内，则被Po所平分的中点荻的（a>0,b>0）内，则过Po的荻中点的轨迹方犷 Zr椭圆与双曲线推导的经典结论X"厂1.椭圆石+歹=1（

7、a>b>o）的两个顶点为4（一匕0），4（么°），与y轴平行的宜 X2 y2线交椭圆干Pl. P2时A】p】与A2P2交点的轨迹方程是-yv = lcr "x2 y22过椭圆+ = 1 （a>0, b>0）±任一点A（心儿）任意作两条倾斜角互补的直 cC o线交椭圆干B,C两点，则直线BC有定向且kBC =（常数）Qox2 y23若P为椭圆+ = 1 （a>b>0）上异干长轴端点的任一点,F“ F2是焦点, cr 少ZPFF、= a ,乙PF=y 则liZ£ = tan-cot a + c 22224. 设椭圆2 +二

8、=1 （a>b>0）的两个焦点为F2,P （异干长轴端点）为椭圆（广 Zr上任意一点，在APFiF?中，记ZF,PF, = a, ZPFjF, =/?,ZF,F2P = /,则有 sin a c= = e.sin 0 +sin 7 a.225. 若椭圆亠+和=1 （a>b>0）的左、右焦点分别为F2,左准线为L,则当（广 lr0<e< >/2-1时，可在椭圆上求一点P,使得PF】是P到对应准线距离d与PF?的比例中项.6. P为椭圆1 + L = 1 (a>b>0)上任一点,F】,F2为二焦点，A为椭圆内一定点， 则2“-1IV PA I

9、+1l< 2a+AFx,当且仅当人迅,P三点共线时，等号成立.7.8.椭圆(“李广+( '；*)=1与直线Ax + By + C = 0有公共点的充要条件是 crA2a2 + B2b2 > (Ax0 + By0 + C)2.2 2巳知椭圆4 + tt = 1 (a>b>0), O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且 犷 b"OP 丄 O0(1)儲法厂存存war的最大值为斗v； (3) Sqq的最小值是斗丁.过椭圆二+鼻=1 >b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，荻 cr b-PF eMN的垂直平分线交x轴干P,则MN 2f v

10、10巳知椭圆+ tv = 1 ( a>b>o)A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平 cr Zr2 .2 2 >2分线与x轴相交干点P(如,0),则一 _ <兀< aa"设P点是椭圆+召"(a>b>0)上异干长轴端点的任-点片F2为其焦2by点记乙FPF、=e ,则(1)1 II PF. 1=- .(2) SFy = b2 tan1 + cos 01 -2x2 y212. 设A、B是椭圆+ yv = l ( a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，cr brZPAB = a, ZPBA*,ZBPA = y, c、e

11、分别是椭圆的半焦距离心率，则有 一-门221 cos a I 心门， 小 °2a2b2(1)1 PA= ；.(2) tanatan0 = l-b(3)= cot/a cos1 y-ax2 y213. 巳知椭圆+ - = 1 ( a>b>0)的右准线/与x轴相交于点£,过椭圆右焦点cr b-F的宜线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线/上，且BC丄x轴，则直线AC经过线段EF的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与

12、焦 半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离 心率）.（注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的经典结论双曲线X2 V21. 双曲线-v L = 1（a>0,b>0）的两个顶点为4（一0,0）,4,0）,与y轴cr u2 2平行的直线交双曲线干Pi. P2时A】P 1与A2P2交点的轨迹方程是二+= 1 a2 /rx2 v22. 过双曲线= 1 （a&g

13、t;0,b>o）上任一点人（心儿）任意作两条倾斜角互cr补的直线交双曲线干B,C两点，则直线BC有定向且£肚=-7 （常数）.2 23. 若P为双曲线二一二=1 （a>0,b>0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F“cr 少F 2 是焦点，ZPF£=a ,乙PF、F = 0、则二= tan：2t纟（或 c+a 22c-a 6 a、=tan co t ）c + a 222 24. 设双曲线亠一=1 （a>0,b>0）的两个焦点为F2,P （异干长轴端点）cr Zr为双曲线上任意一点，在厶PFxF2中，记AFxPF2=a ,ZPFlF2=p,ZFi

14、F2P = yt 则有- 如 万:厶 ±(sin/-sin 0) ax2 v25. 若双曲线=一厂=1 (a>0,b>0)的左-右焦点分别为F2,左准线为cr b-L,则当IVewQ+l时，可在双曲线上求一点P,使得PF是P到对应准线距离d与PF?的比例中项.2 26. P为双曲线+-缶=1 (a>0,b>0)上任一点,Fi,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则AF2-la <PA + PF,当且仅当A,心P三点共线且P和4耳在y轴同侧时，等号成立.7. 双曲线亠一鼻=1 (a>0,b>0)与直线Ax + By + C = 0有公共点的充要条

15、cr Zr件是 A2a2 - B2h2 < C2.X2 y28. 巳知双曲线r-L = l (b>a >0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动cr lr点,且OP丄O0(1)1 1OP l+oq I2洛-存IOP門OQF的最小值为搏S、°PQ的最小值是一b -cr9.过双曲线二一匚=1 (a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于 cr lrI PF I eM,N两点，荻MN的垂宜平分线交x轴干P,则=-I MN I 210.巳知双曲线二一二=1 (a>0,b>0) A、B是双曲线上的两点，线段AB cr r的垂直平分线与x轴相交

16、干点PC% 0),则 > = 或心< 一aax1 v211设P点是双曲线r L = l (a>0,b>0)上异干实轴端点的任一点,F】、F2 cr Zr2b2 为其焦点记Z片P耳=& ,则PFX WPF. 1=- 1-cos u13.14.15.16.17.设A、B是双曲线二一鼻=1 (a>0,b>0)的长轴两端点，P是双曲线上的 cr Zr一点，APAB = a, ZPBA = 0,ZBPA = y, c、e分别是双曲线的半焦距离 z lab11 cos a I心率，则有(1)IP4I=；一a 一cHos /I2 2/2 kmatan0 = l-/.(3) S旳 =coty.A +tr巳知双曲线汩召"(a>0,b>0)的右准线/与x轴相交于点E,