弹性力学课件

1、 第一章第一章 绪论绪论1.1 弹性力学的内容弹性力学的内容1.2 弹性力学的几个基本概念弹性力学的几个基本概念1.3 弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定 1.1 弹性力学的内容弹性力学的内容1. 弹性体力学：弹性体力学：简称简称弹性力学，弹性力学，有称弹性理论有称弹性理论（Theory of Elasticity)，研究弹性体由于受外力、边界，研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。研究对象：弹性体研究对象：弹性体研究目标：变形等效应，即应力、形变和位移。研究目标：变形等效应，即应力、形变和位移。2. 对弹性力学

2、、材料力学和结构力学作比较对弹性力学、材料力学和结构力学作比较 弹性力学的任务和材料力学弹性力学的任务和材料力学, 结构力学的任务一样结构力学的任务一样,是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移移, 校核它们是否具有所需的强度和刚度校核它们是否具有所需的强度和刚度, 并寻求或并寻求或改进它们的计算方法改进它们的计算方法. (1)研究对象：研究对象： 材料力学材料力学主要研究主要研究杆件杆件在拉压、剪切、弯曲、扭在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力、形变和位移；转作用下的应力、形变和位移； 结构力学结构力学研究研究杆系结构杆系结构，如桁架、钢架或

3、两者混，如桁架、钢架或两者混合的构架等；合的构架等； 弹性力学弹性力学研究研究各种形状各种形状的弹性体，除杆件外（对的弹性体，除杆件外（对杆件进行进一步的、较精确的分析），还研究平面杆件进行进一步的、较精确的分析），还研究平面体、空间体，板和壳等。体、空间体，板和壳等。(2)研究方法研究方法: 弹性力学与材料力学有相似，又有一弹性力学与材料力学有相似，又有一 定区别。定区别。 弹性力学：弹性力学：在弹性体区域内必须严格考虑静力学、在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件

4、力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出精确解答。进行求解，得出精确解答。材料力学材料力学：虽然也考虑这几个方面的的条件，但不是：虽然也考虑这几个方面的的条件，但不是十分严格。十分严格。 一般地说一般地说, 由于材料力学建立的是近似理论由于材料力学建立的是近似理论, 因此因此得出的是近似的解答。但对于细长的杆件结构而言得出的是近似的解答。但对于细长的杆件结构而言, 材料力学力解答的精度是足够的材料力学力解答的精度是足够的, 符合工程的要求。符合工程的要求。 弹性力学弹性力学:梁的深度并不远小于梁的深度并不远小于梁的跨度，而是同等大小的，那梁的跨度，而是同等大小的，那么，横截面

5、的正应力并不按直线么，横截面的正应力并不按直线分布，而是按曲线变化的。分布，而是按曲线变化的。qqzIyxM)()53(4)(22hyhyqIyxMz例如：例如：材料力学材料力学:研究直梁在横向载荷作研究直梁在横向载荷作用下的平面弯曲，引用了平面假用下的平面弯曲，引用了平面假设，结果：横截面上的正应力按设，结果：横截面上的正应力按直线分布。直线分布。这时，材料力学中给出的最大正这时，材料力学中给出的最大正应力将具有很大的误差。应力将具有很大的误差。 结构力学：结构力学：研究杆系结构，弹性力学通常并不研究研究杆系结构，弹性力学通常并不研究杆件系统，但在杆件系统，但在20世纪世纪50年代中叶发展起

6、来的有限年代中叶发展起来的有限单元法中单元法中(基于弹性力学的理论基于弹性力学的理论)，把连续体划分成，把连续体划分成有限大小的单元构件，然后用结构力学里的位移法有限大小的单元构件，然后用结构力学里的位移法、力法或混合法求解，更加显示了弹性力学与结构、力法或混合法求解，更加显示了弹性力学与结构力学结合综和应用的良好效果。力学结合综和应用的良好效果。 弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科中占有重要的地位。许多非杆件形状的结构必须用中占有重要的地位。许多非杆件形状的结构必须用弹性力学方法进行分析。例如，大坝，桥梁等。弹性力学方法进行分析。例如，大坝，

7、桥梁等。 xzyo1.2 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念 弹性力学的基本概念弹性力学的基本概念: 外力、应力、形变和位移外力、应力、形变和位移1. 外力外力：体积力和表面力，简称体积力和表面力，简称体力体力和和面力面力体力体力：分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。：分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。VPfFfVFlim0Vfxfyfzf : 极限矢量极限矢量,即物体在即物体在P点所受体力点所受体力的集度。方向就是的集度。方向就是F的极限方向。的极限方向。fx , fy , fz：体力分量：体力分量, 沿坐标正方沿坐标正方向为正，沿坐标负方向为负。向为正，沿坐标负方向

8、为负。量纲：量纲：N/m3=kgm/s2m3=kg/m2s2即：L-2MT-2 fx , fy , fz：体力分量。：体力分量。xzyoffSFlim0VSP面力面力：分布在物体表面的力，例如流体压力和接触力。：分布在物体表面的力，例如流体压力和接触力。Ffyfzfx量纲：量纲：N/m2=kgm/s2m2=kg/ms2即：L-1MT-2f : 极限矢量极限矢量,即物体在即物体在P点所受面力点所受面力的集度。方向就是的集度。方向就是F的极限方向。的极限方向。沿坐标正方向为正，沿坐标负沿坐标正方向为正，沿坐标负方向为负。方向为负。符号规定符号规定: 内力内力：发生在物体内部的力，发生在物体内部的力

9、，即物体即物体本身不同部分之间相互作用的力。本身不同部分之间相互作用的力。xzyoPApF2. 应力应力：单位截面面积的内力单位截面面积的内力.pAFlim0Vp: 极限矢量极限矢量,即物体在截面即物体在截面mn上的、在的、在P点的应力。点的应力。方向就是方向就是F的极限方向。的极限方向。量纲：量纲：N/m2=kgm/s2m2=kg/ms2 即：L-1MT-2应力分量：应力分量：， ABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzOPA=x, PB=y , PC=zx, y, z, xy, xz, yx, yz, zx, zy,正面：正面：截面上的外法线截面上的外法线

10、沿坐标轴的正方向沿坐标轴的正方向正面上的应力正面上的应力以沿坐标以沿坐标轴的轴的正方向为正正方向为正，沿坐，沿坐标轴的标轴的负方向为负。负方向为负。负面负面：截面上的外法线截面上的外法线沿坐标轴的负方向沿坐标轴的负方向负面上的应力负面上的应力以沿坐标以沿坐标轴的轴的负方向为正负方向为正，沿坐，沿坐标轴的标轴的正方向为负。正方向为负。正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同。正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同。符号规定符号规定:（不考虑位置, 把应力当作均匀应力） ABCzyzxzyzyxyxyxzxbyyzyxzyzzxxyxzxaPyxzo 连接前后两面中心的直线连接前后两面中心的

11、直线ab作为矩轴，列出力矩平作为矩轴，列出力矩平衡方程，得衡方程，得02222zxyyxzyzzy得得:zyyz同理可得同理可得:yxxyzxxz切应力互等定理：切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上并作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面角线的切应力是互等的且垂直于该两面角线的切应力是互等的(大小相大小相等等,正符号也相同正符号也相同)。 可以证明可以证明,已知已知x, y, z, yz, zx, xy, 就可求得该点任就可求得该点任意截面上的意截面上的, .因此，此六个应力分量可以完全确因此，此六个应力分量可以完全确定该点的应力状态。定该点的应力状态。zyzxzyzyxyxyxzxyy

12、zyxzyzzxxyxzxPyxzOABC ABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzO用各部分的长度和角度来表用各部分的长度和角度来表示。示。PA=x, PB=y , PC=z线应变：线应变：单位长度的伸缩或相单位长度的伸缩或相对伸缩对伸缩,亦称正应变亦称正应变. 用用 表示表示切应变切应变：各线段之间的直角的：各线段之间的直角的改变改变.用用 表示表示3. 形变形变：就是形状的改变。就是形状的改变。 ABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzO x: x方向的线段方向的线段PA的线应变。的线应变。xy: y与与x两方向的线段两

13、方向的线段PB与与PC之间的直角的改变。之间的直角的改变。 : 伸长为正，伸长为正，缩短为负。缩短为负。量纲：量纲：1符号规定符号规定: : 直角变小为正直角变小为正，变大为负。，变大为负。 可以证明可以证明,已知已知x, y, z, yz, zx, xy, 就可求得经过就可求得经过该点任一线段上的线应变该点任一线段上的线应变 .也可以求得经过该点任也可以求得经过该点任意两个线段之间的角度的改变。因此，此六个形变意两个线段之间的角度的改变。因此，此六个形变分量可以完全确定该点的形变状态。分量可以完全确定该点的形变状态。 4. 位移位移：就是位置的移动。就是位置的移动。任意一点的位移用它在任意一

14、点的位移用它在x,y,z三轴上的投影三轴上的投影u,v,w来来表示表示.量纲：量纲：L符号规定符号规定:沿坐标轴正方向为正沿坐标轴正方向为正,沿坐标轴负方向为负，沿坐标轴负方向为负， 一般而论，弹性体内任意一点的体力分量、面一般而论，弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、形变分量和位移分量都随该点力分量、应力分量、形变分量和位移分量都随该点的位置而变，因而都是位置坐标的函数。的位置而变，因而都是位置坐标的函数。 1.3 弹性力学中的基本假设弹性力学中的基本假设 在弹性力学的问题里在弹性力学的问题里,通常是通常是已知已知物体的物体的边界边界(形形状和大小状和大小), 物体的物体的弹性常

15、数弹性常数, 物体所受的物体所受的体力体力,物体物体边界上的边界上的约束情况或面力约束情况或面力, 而而应力分量、形变分量应力分量、形变分量和位移分量和位移分量则是则是需要求解的未知量需要求解的未知量.一一. 研究方法研究方法1.考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别别建立三套方程建立三套方程。建立微分方程：建立微分方程：根据微分体的平衡条件根据微分体的平衡条件 ；建立几何方程：建立几何方程：根据微分线段上形变与位移之间的根据微分线段上形变与位移之间的 几何关系；几何关系；建立物理方程：建立物理方程：根据应力与形变之间的物理关系根据应力与形变之间的物

16、理关系 。 2.在弹性体的边界上，建立在弹性体的边界上，建立边界条件边界条件。应力边界条件：应力边界条件：在给定面力的边界上，根据边界上在给定面力的边界上，根据边界上 的微分体的平衡条件；的微分体的平衡条件；位移边界条件：位移边界条件：在给定的约束边界上，根据边界上在给定的约束边界上，根据边界上 的约束条件。的约束条件。 求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。分量和位移分量。 为使问题求解成为可能，通常必须按照所研究的物为使问题求解成为可能，通常

17、必须按照所研究的物体性质，以及求解问题的范围，略去一些影响很小体性质，以及求解问题的范围，略去一些影响很小的次要因素，作出若干基本假定。的次要因素，作出若干基本假定。二二. 弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定(3)均匀性均匀性 假定物体是均匀的假定物体是均匀的.(1)连续性连续性 假定物体是连续的假定物体是连续的.(4)各向同性各向同性 假定物体是各向同性的假定物体是各向同性的.符合以上四个假定的物体，就成为理想弹性体符合以上四个假定的物体，就成为理想弹性体.(2)完全弹性完全弹性 假定物体是完全弹性的假定物体是完全弹性的.形变与引起形变与引起 变的应力成正比变的应力成正比,即两者成线性关系

18、即两者成线性关系. (5)小变形假定小变形假定 假定位移和形变是微小的假定位移和形变是微小的.它包含两个含义：它包含两个含义： 假定应变分量假定应变分量 1.例如：普通梁中的正应变例如：普通梁中的正应变 10-3 1,切应变切应变 1; 假定物体的位移假定物体的位移物体尺寸物体尺寸.例如：梁中例如：梁中挠挠度度 梁的梁的高高度度这样，在建立平衡微分方程时，可以用变形前的尺这样，在建立平衡微分方程时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，从而使方程大为简化；寸代替变形后的尺寸，从而使方程大为简化；在建立几何方程时，由于在建立几何方程时，由于 1，可以在同一方程中可以在同一方程中只保留形变成分的一次

19、幂，而略去二次幂及更高次只保留形变成分的一次幂，而略去二次幂及更高次幂，从而使几何方程成为线性方程。幂，从而使几何方程成为线性方程。 例如：对于微小转角例如：对于微小转角a，1211cos2aaaaa3! 311sinaaaa331tan对于微小正应变对于微小正应变，xxxxx111132 这样，弹性力学里的几何方程和微分方程都简化这样，弹性力学里的几何方程和微分方程都简化为线性方程，弹性力学问题都化为线性问题，从而为线性方程，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。可以应用叠加原理。 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与

20、平面应变问题2.2 平衡微分方程平衡微分方程2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移2.5 物理方程物理方程 2.6 边界条件边界条件2.7 圣维南原理圣维南原理2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 如果弹性体具有某种特殊的形状，并且承受如果弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是某些特殊的外力和约束，就可以把空间问题的是某些特殊的外力和约束，就

21、可以把空间问题简化为近似的平面问题。简化为近似的平面问题。一一.第一种平面问题第一种平面问题平面应力问题平面应力问题xyozyd/2d/2这类问题的条件是：这类问题的条件是：弹性体是弹性体是等厚度等厚度(d)的薄板，体力、面力的薄板，体力、面力和约束都只有和约束都只有xy平面的量平面的量 (fx , fy , fx , fy , u, v ),都不沿都不沿z向变化；向变化；并且面力和约束只作用于板边并且面力和约束只作用于板边，在板面，在板面( )上没有任何上没有任何面力和约束的作用。面力和约束的作用。2z 因板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿板厚连因板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿板厚连续，有续

22、，有由切应力互等定理：由切应力互等定理：0 xz0yz0z0zx0zy只剩下平行于只剩下平行于xy面的面的三个平面应力分量，即三个平面应力分量，即 x, y, xy= yx所以这种问题称为所以这种问题称为平面应力问题平面应力问题。xyozyd/2d/21.设薄板的厚度为设薄板的厚度为d, xy 为中面为中面,z轴垂直于轴垂直于xy面面.因为板面上因为板面上 2z不受力，不受力， 所以所以0)(2dzz0)(2zzx0)(2dzzy2.由于物体形状和外力、约束沿由于物体形状和外力、约束沿z向均不变化向均不变化, 故故x, y, xy 只是只是x,y的函数的函数, x, y, xy 也只是也只是x

23、,y的函数的函数,但位移与但位移与z有关。有关。 二二.第二种平面问题第二种平面问题平面应变问题平面应变问题oyx这类问题的条件是：这类问题的条件是：弹性体为常截面的很长的柱体，体弹性体为常截面的很长的柱体，体力、面力和约束条件与平面应力问力、面力和约束条件与平面应力问题相似，只有题相似，只有xy平面的体力平面的体力fx , fy ；面力面力fx , fy 和约束和约束 u, v 的作用，且都的作用，且都不沿不沿z向变化。向变化。 2.2 平衡微分方程平衡微分方程 在弹性力学中分析问题，要考虑静力学、几何学和在弹性力学中分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。物理学

24、三方面条件，分别建立三套方程。 首先考虑平面问题的静力学方面，建立微分体的首先考虑平面问题的静力学方面，建立微分体的平平衡微分体方程衡微分体方程应力分量与体力分量之间的关系式应力分量与体力分量之间的关系式。zyd/2d/2oyxxyo从图示薄板或柱形体中，取出一个微从图示薄板或柱形体中，取出一个微小的正六面体，边长为小的正六面体，边长为dx, dy, 在在z方向方向的尺寸取为的尺寸取为1个单位尺寸。个单位尺寸。xyodxdy 300200000)(! 31)(! 21)()()(xxxfxxxfxxxfxfxf222d21dxx!xxxxx 一般而论一般而论 , 应力分量是位置坐应力分量是位置

25、坐标标x和和y的函数的函数, 因此因此, 作用于左作用于左右两对面或上下两对面的应力右两对面或上下两对面的应力分量不完全相同分量不完全相同, 有微小的差。有微小的差。oxyxxxxxd略去二阶及二阶以上的微量后得：略去二阶及二阶以上的微量后得：例：设作用于左面的正应力为例：设作用于左面的正应力为x，则右面的正应力由，则右面的正应力由于于 x 坐标的改变而改变，可坐标的改变而改变，可由泰勒展开得：由泰勒展开得：xxxxd若若x为常量为常量, 则则 , 左右两面都是左右两面都是x,即为均匀应力。即为均匀应力。0 xx泰勒展开式泰勒展开式 oxyxxxxxd同理，设左面的切应力为同理，设左面的切应力

26、为xy，则，则右面的切应力为右面的切应力为xyxdxxyxyyyxyyyydydyyxyxCfxfyxxyxyxd设上面的正应力及切应力为设上面的正应力及切应力为x, xy，则下面的正应力其切应力，则下面的正应力其切应力为为,d yyyyyyyxyxd 因六面体是微小的因六面体是微小的, 所以所以, 各面的应力可认为是均匀各面的应力可认为是均匀分布分布, 作用在对应面中心作用在对应面中心. 所受体力也可认为是均匀所受体力也可认为是均匀分布分布, 作用在对应面中心。作用在对应面中心。 02d1d2d1dd2d1d2d1ddyxyxyy xyxyxxyxyxyxxyxyxyoCxyyyxxyxxx

27、xxdyyyydxxxyxydyyyxyxdfxfyyyxxyxyxxyxyd21d21yxxy首先，以过中心首先，以过中心C 并平行于并平行于z轴，列出轴，列出0CM将上式除以将上式除以dxdy, 得得令令dx,dy 趋近于零，得趋近于零，得这正是切应力互等定理。这正是切应力互等定理。 oCxyyyxxyxxxxxdyyyydxxxyxydyyyxyxdfxfy01dd1d1dd1d1ddyxfx xyy yyxxxyxyxyxxxx0 xyxxfyx其次，以其次，以x轴为投影轴，列出轴为投影轴，列出0 xF将上式除以将上式除以dxdy, 得得同样，以同样，以y轴为投影轴，列出轴为投影轴，列

28、出 可得一个相可得一个相似的微分方程似的微分方程0yF0yxyyfxy 于是得出于是得出应力分量与体力分量之间的关系式应力分量与体力分量之间的关系式平面平面问题中的平衡微分方程问题中的平衡微分方程。 这这2个微分方程中包含个微分方程中包含3个未知函个未知函数数x, y, xy=yx ,因此，决定应力分因此，决定应力分量的问题是超静定问题，必须考虑量的问题是超静定问题，必须考虑几何方程和物理学方面的条件，才几何方程和物理学方面的条件，才能解决问题。能解决问题。 对于平面应变问题对于平面应变问题, 微分体一般还有作用于前后两微分体一般还有作用于前后两面的正应力面的正应力z, 但不影响上述方程的建立

29、但不影响上述方程的建立, 上述方程对上述方程对于两种平面问题同样适用。于两种平面问题同样适用。00yxyyxyxxfxyfyx 2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态OxyyyxxyxPBAnnOxyyyxxyxyyxxxyP应力状态应力状态就是指一点处所有斜截面上的应力的集合。就是指一点处所有斜截面上的应力的集合。假定已知任意点假定已知任意点P处坐标面的应力分量处坐标面的应力分量x, y, xy=yx ,求经过该点且平行于求经过该点且平行于z轴的任意斜截面上的应力。轴的任意斜截面上的应力。 myn lxn),cos(),cos( ssmlf smslspxxyxx02ddd

30、ddxyxxmlpxyyylmppypxpOxyyyxxyxnPBA用用n代表斜截面代表斜截面AB的外法线方的外法线方向，其方向余弦为向，其方向余弦为设设AB=ds, 则则PA=lds, PB=mds, SPAB =ldsmds/2设垂直于平面的尺寸为设垂直于平面的尺寸为1。 由由 得得0 xF其中其中 fx 为为x方向得体力分量。方向得体力分量。将上式除以将上式除以ds, 然后命然后命ds 趋于趋于0（AB0）得得同理由同理由 得得0yF一一.求任意斜截面上的正应力求任意斜截面上的正应力 n 和和 切应力切应力 n yxnmplp xyyxnlmml 222xynmplp xyxynmllm

31、 )()(22nnpypxpOxyyyxxyxnPBA令斜截面得正应力为令斜截面得正应力为n, 切应切应力为力为n.由由px, py 投影得投影得xyxxmlpxyyylmp可见，已知点可见，已知点P处的应力分量处的应力分量x, y, xy=yx ,就可求得经过就可求得经过该点的任意斜截面上的正应力该点的任意斜截面上的正应力 n 和和 切应力切应力 n 。 lpxOxyyyxxyxyyxxxyP1212a1nnOxyyyxxyxPBAlmlxyxmlmxyy) 1 (xyxlm)2(yxylmmpy0)()(22xyyxyx二二.求主应力及主应力的方位求主应力及主应力的方位应力主向应力主向应力

32、主面上应力主面上 = 0， = pxyxxmlpxyyylmp投影得投影得代入代入得得pypxp由上两式分别解出由上两式分别解出 m / l , 得得于是，有于是，有解得解得222122xyyxyx yx21OxyyyxxyxyyxxxyP1212a11111111cos90coscossintanlm)(oaaaaaxyxa11tan2222222cos90coscossintanlm)(oaaaaayxya22tan易得易得下面求主应力方向下面求主应力方向即得即得即得即得设设1与与x轴的夹角为轴的夹角为a1设设2与与x轴的夹角为轴的夹角为a2) 1 (xyxlm)2(yxylm )(12x

33、yxxya12tan1tantan21aa1max2min221max221minOxyyyxxyxyyxxxyP1212a1yx21由由得得xyxa11tanyxya22tan于是有于是有就是说，就是说，1, 2 的方向互相垂直。的方向互相垂直。从材料力学知识我们知道从材料力学知识我们知道与应力主向成与应力主向成450的斜面上。的斜面上。 yyuud2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移xyOPBAuxxuudxxvvdyyvvdPABaxuxuxxuu( PAPAAPPAPAAPxxd)d）（yx PBPAddyvy同理同理PB的线应变：的线应变：PA的线应变：的线应变：一一.几何方程

34、：几何方程：任一点的微分线段上的形变分量与任一点的微分线段上的形变分量与 位移位移 分量之间的关系式。分量之间的关系式。v设设 同理同理PB的转角：的转角：yuPA与与PB之间的转角：之间的转角：yuxvxyayyuudxyOPBAuxxuudxxvvdyyvvdPABavxvxv)xxvv(ddsinaaPA的转角：的转角：yuxv yv xuxyyx,几何方程：几何方程：上列几何方程对两种平面问题同样适用。上列几何方程对两种平面问题同样适用。 二二.形变与位移之间的关系形变与位移之间的关系1. 如果物体的位移确定，则形变完全确定。如果物体的位移确定，则形变完全确定。从物理概念从物理概念:

35、当物理变形后各点的位置完全确定当物理变形后各点的位置完全确定, 任任一微分线段上的形变（伸缩、转角等）也就完全确一微分线段上的形变（伸缩、转角等）也就完全确定了定了.从数学概念从数学概念: 当位移函数确定时，其导数也就确定了。当位移函数确定时，其导数也就确定了。2. 当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定。当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定。从物理概念从物理概念: 在物体内形变不变的条件下在物体内形变不变的条件下, 物体还可物体还可以做刚体运动以做刚体运动平动和转动平动和转动, 即还有刚体运动的人任即还有刚体运动的人任意性意性. 从数学概念从数学概念: 由形变分量求位移分量是一个积

36、分的过由形变分量求位移分量是一个积分的过程，在常微分中，会出现一个任意常数；而在偏微分程，在常微分中，会出现一个任意常数；而在偏微分中，要出现一个与积分变量无关的任意函数。这些任中，要出现一个与积分变量无关的任意函数。这些任意函数是未定项，意函数是未定项，这些未定项正是刚体平移和刚体转这些未定项正是刚体平移和刚体转动量。动量。若假设若假设 求出相应的位移分量。求出相应的位移分量。 xyyx0代入几何方程：代入几何方程： . yuxv , yv , xu000将前二式对将前二式对x及及y积分，得积分，得 , )( , )(21xfvyfuF1 及及 f2 为任意函数。代入几何方程中的第三式，得为

37、任意函数。代入几何方程中的第三式，得xxfyyfd)(dd)(d21 xxfyyfd)(dd)(d21方程左边是方程左边是y的函数，只随的函数，只随y而变；而变；而右边是而右边是x的函数，只随的函数，只随x而变。而变。因此，只可能两边都等于同一常数因此，只可能两边都等于同一常数。于是得于是得xxfyyfd)(d,d)(d21积分得积分得 , )( , )(0201xvxfyuyf其中其中u0及及v0为任意常数。为任意常数。代入代入 得得 , )( , )(21xfvyfu , , 00 xvvyuu这就是这就是“形变为零形变为零”时的位移，也就是所谓时的位移，也就是所谓“与形变与形变无关的位移

38、无关的位移”，因此必然是，因此必然是刚体位移刚体位移。下面根据平面运动的原理加以证明。下面根据平面运动的原理加以证明。 u0及及v0分别为物体沿分别为物体沿x轴及轴及y轴方向的刚体位移，而轴方向的刚体位移，而为物体绕为物体绕z轴得刚体转动。轴得刚体转动。 PxyxyOzayx , , 00 xvvyuu当只有当只有u0不为零时，物体内任不为零时，物体内任一点位移分量一点位移分量 .物体物体的所有各点只沿的所有各点只沿x方向移动同样方向移动同样距离距离u0，所以所以u0代表物体沿代表物体沿x方方向的刚体位移。向的刚体位移。0 , 0vuu坐标为坐标为(x,y)的任一点的任一点P沿沿y方向移动方向

39、移动x, 沿沿x负方向移动负方向移动y, 合成位移为合成位移为xvyu , 222222 yxxyvu同样同样, v0代表物体沿代表物体沿y方向的刚体位移。方向的刚体位移。当只有当只有不为零时不为零时, 物体内任一点位移分量物体内任一点位移分量 PxyxyOzayx可见可见, 合成位移的方向与径向线合成位移的方向与径向线段段OP垂直垂直,也就是沿着切向也就是沿着切向. 因因OP线上所有点移动方向都沿着线上所有点移动方向都沿着切线切线, 且移动的距离为且移动的距离为, 可见可见代表物体绕代表物体绕z轴的刚体转动。轴的刚体转动。atan/tany/xxy 既然物体在形变为零时可以有刚体位移，那么，

40、既然物体在形变为零时可以有刚体位移，那么，当物体发生一定形变时，由于约束条件不同，可能当物体发生一定形变时，由于约束条件不同，可能有不同的刚体位移，为了完全确定位移，就必须有有不同的刚体位移，为了完全确定位移，就必须有适当的刚体约束条件。适当的刚体约束条件。 2.5 物理方程物理方程物理方程物理方程:应力分量和形变分量之间的物理关系式应力分量和形变分量之间的物理关系式.在理想弹性体（满足连续性，完全弹性，均匀性和在理想弹性体（满足连续性，完全弹性，均匀性和各向同性）中，物理方程就是材料力学中学过的胡各向同性）中，物理方程就是材料力学中学过的胡克定律：克定律：物理方程有物理方程有两种形式两种形式

41、：1. = f () 此式是用应力表示应变，其中应力取为此式是用应力表示应变，其中应力取为基本未知数，用于基本未知数，用于按应力求解按应力求解。2. = f () 此式是用应变表示应力，其中应变取为此式是用应变表示应力，其中应变取为基本未知数，用于基本未知数，用于按位移求解按位移求解。 胡克定律的一般形式：胡克定律的一般形式：,1 ,1 ,1)(1)(1)(1xyxyxyzxxyyzyxzzzxyyzyxxGGGEEEE是弹性模量，是弹性模量，G是切变模是切变模量，又称刚度模量，量，又称刚度模量，称为称为泊松系数，或泊松比。泊松系数，或泊松比。12EG一一.平面应力问题的物理方程平面应力问题的

42、物理方程将将 代入上式得独立的物理方程代入上式得独立的物理方程0zyzxz,)1 (211xyxyxyyyxxEEE另外：另外：)(yxzE因因z可由可由x , y求出求出, 故不作为独立的故不作为独立的未知函数。未知函数。 二二.平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程将将 代入上式得独立的物理方程代入上式得独立的物理方程0zyzxz,)1 (2111122xyxyxyyyxxEEE另外：另外：)(yxzE因因z可由可由x , y求出求出, 故不作为独故不作为独立的未知函数。立的未知函数。与平面应力问题的物理方程对比，只需将与平面应力问题的物理方程对比，只需将E 换为换为 ， 换为换为2

43、1E1 对于两类平面问题，三套方程除了物理方程中的系数对于两类平面问题，三套方程除了物理方程中的系数须变换外须变换外, 其他平衡方程和几何方程是完全相同的其他平衡方程和几何方程是完全相同的. 三套方程中包含三套方程中包含8个未知函数：个未知函数：x, y, xy=yx, x, y, xy及及u, v. 还需考虑边界条件还需考虑边界条件, 才能求出这些未知函数才能求出这些未知函数. 2.6 边界条件边界条件边界条件边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。它分为之间的关系式。它分为位移边界条件位移边界条件、应力边界条件应力边界条件和和混合边界条

44、件混合边界条件。一一.位移边界条件位移边界条件设在部分边界上给定了约束位移分量设在部分边界上给定了约束位移分量u(s)和和v(s), 则对则对于边界上的每一点，位移函数于边界上的每一点，位移函数u,v应满足条件应满足条件)()(),()(svv suuss（在（在su上）上）其中其中(u)s和和(v)s是位移的边界值，是位移的边界值，u(s)和和v(s)在边界上在边界上是坐标的已知函数。是坐标的已知函数。位移边界条件位移边界条件 注意注意1.上式要求上式要求在在s上任一点位移分量必须等于对应的约上任一点位移分量必须等于对应的约束位移分量束位移分量。)()(),()(svv suuss（在（在s

45、u上）上）2.上式是上式是函数方程函数方程，而不是简单的代数方程或数值，而不是简单的代数方程或数值方程。方程。位移边界条件实质上是变形连续条件在约束位移边界条件实质上是变形连续条件在约束边界上的表达式边界上的表达式。 设设n为斜截面的外法线方向，其为斜截面的外法线方向，其方向余弦方向余弦二二.应力边界条件应力边界条件设在设在s部分边界上给定了面力分量部分边界上给定了面力分量fx(s)和和fy(s), 则可以则可以由边界上任一点微分体的平衡条件，导出应力与面力由边界上任一点微分体的平衡条件，导出应力与面力之间的关系式。之间的关系式。 在边界上任一点在边界上任一点P取出一个微分体取出一个微分体,斜

46、面斜面AB就是边界面就是边界面, x, y, xy为应力为应力分量边界值。分量边界值。oxyyyxxyxPBAfxfy 边界为斜截面时边界为斜截面时nmyn lxn),cos(),cos(设设 AB=ds ， z 方向厚度为方向厚度为1 由平衡条件，得出微分体的应力分量与边界面上由平衡条件，得出微分体的应力分量与边界面上的面力之间的关系：的面力之间的关系：).()(),()(sflm sfmlysxyyxsyxx（在（在s 上）上）其中其中 在边界上是坐标的已知函数，在边界上是坐标的已知函数，l, m 是是边界面外法线的方向余弦。边界面外法线的方向余弦。fx(s) 和和 fy(s),oxyyy

47、xxyxPBAfxfy ssmlf smslsfxxyxx021dd1d1d1dn除以除以ds， 并令并令ds0，得得 sfmlxsyxx),()(同理：同理：).()(sflmysxyy于是，得到于是，得到应力边界条件应力边界条件 3. 在导出应力边界条件时在导出应力边界条件时, 只考虑到面力只考虑到面力(一阶微量一阶微量), 不需考虑二阶微量不需考虑二阶微量体力。体力。4. 应力边界条件是边界点上微分体的平衡条件，也应力边界条件是边界点上微分体的平衡条件，也属于静力边界条件。属于静力边界条件。).()(),()(sflm sfmlysxyyxsyxx（在（在s 上）上）注意注意1.应力边界

48、条件表示边界应力边界条件表示边界s上任一点的应力和面力之上任一点的应力和面力之间的关系。也是函数方程，在间的关系。也是函数方程，在s上每一点都应满足。上每一点都应满足。2.上式中的面力、应力都有不同的正负符号规定，且上式中的面力、应力都有不同的正负符号规定，且分别作用于通过边界点的不同面上。分别作用于通过边界点的不同面上。 2.边界为坐标面时边界为坐标面时若若 x=a 为正为正 x 面，则有面，则有).()(),()(yf yfyaxxyxaxx若若 x=b 为负为负 x 面，则有面，则有).()(),()(yf yfybxxyxbxxoxyyyxxyxPBAfxfyaoxyyyxxyxPBA

49、fxfyb正负正负 x 面上的面力分量一般面上的面力分量一般为随为随 y 而变化的函数。而变化的函数。l =1, m=0l = 1, m=0).()(),()(sflm sfmlysxyyxsyxx（在（在s 上）上） 3.应力边界条件的两种表达方式应力边界条件的两种表达方式(1) 在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件，得出在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件，得出).()(),()(sflm sfmlysxyyxsyxx（在（在s 上）上）).()(),()(yf yfyaxxyxaxx).()(),()(yf yfybxxyxbxx(2) 在同一边界面上，应力分量的边界值就等于对在同一

50、边界面上，应力分量的边界值就等于对应的面力分量。应的面力分量。 应力分量的绝对值等于对应的面力分量的绝对应力分量的绝对值等于对应的面力分量的绝对值，面力分量的方向就是应力分量的方向。值，面力分量的方向就是应力分量的方向。 即数值相同，方向一致即数值相同，方向一致。 例如：若边界面例如：若边界面 y=c, d 分别为正、负坐标面分别为正、负坐标面).()(),()(xf xfxdyyxydyy在斜截面上：在斜截面上：).()(),()(xf xfxcyyxycyy).()(),()(sfp sfpysyxsxpx, py 为斜截面应力为斜截面应力oxyyyxxyxPfxfydyyxfyoxyyx

51、xyxPfxcyxyyxyxxmlpxyyylmpoxyyyxxyxPfxfypxpy 三三.混合边界条件混合边界条件物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，如界条件，如)()(),()(svv suuss（在（在su上）上）另一部分边界则具有已知面力，因而具有应力边界条另一部分边界则具有已知面力，因而具有应力边界条件件).()(),()(sflm sfmlysxyyxsyxx（在（在s 上）上）在同一边界上还可能出现混合边界条件在同一边界上还可能出现混合边界条件,即两个边界即两个边界条件中一个是位移边界条件条件中一个是位移边界条件, 另

52、一个则是应力边界条另一个则是应力边界条件件.oxyx方向方向0)( uusy方向方向0)(ysxyfx方向方向0)( vvsy方向方向0)(xsxfoxy 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量必须满足三套方程，还必须满足边界条件，但分量必须满足三套方程，还必须满足边界条件，但要使边界条件得到完全满足很困难。要使边界条件得到完全满足很困难。圣维南原理为圣维南原理为简化局部边界的应力边界条件提供了有效的方法。简化局部边界的应力边界条件提供了有效的方法。圣维南原理：圣维南原理：如果把物体的一如果把物体

53、的一小部分边界小部分边界上的面力上的面力, 变换为分布不同但变换为分布不同但静力等效静力等效的面力的面力(主矢量相同，对主矢量相同，对于同一点的主矩也相同于同一点的主矩也相同), 那么那么, 近处的应力分布将有近处的应力分布将有明显的改变明显的改变 , 但是远处所受的影响可以不计。但是远处所受的影响可以不计。 1. 圣维南原理只能应用于圣维南原理只能应用于一小部分边界上一小部分边界上，又称为，又称为局部边界局部边界，小边界小边界或或次要边界次要边界。一一. 圣维南原理应用的条件圣维南原理应用的条件 所谓所谓“近处近处”, 根据经验根据经验, 一般一般地讲大约是变换面力的地讲大约是变换面力的边界

54、的边界的12倍范围内倍范围内, 此范围之外可认为此范围之外可认为是是“远处远处”。如果将面力的等效变换范围应用到如果将面力的等效变换范围应用到大边界大边界(又称为又称为主要边界主要边界)上上, 则必然则必然使整个的应力状态都改变了。因此使整个的应力状态都改变了。因此, 不适用圣维南原理不适用圣维南原理。FF/2F/2FFFq2.小边界的面力变换为小边界的面力变换为静力等效静力等效的面力的面力.3.经变换后，只对近处的应力分布有明显的影响，经变换后，只对近处的应力分布有明显的影响，但远处的应力几乎不受影响。但远处的应力几乎不受影响。FF/2F/2 FFFF/2F/2F/2F/2F/2F/2(a)

55、(b)(c)例如：例如：如将一端或两端的如将一端或两端的F变换为变换为静力等效静力等效的力的力, 如图如图(b), (c), (d).则只有虚线划出的部分则只有虚线划出的部分应力分布有显著改变应力分布有显著改变, 其余其余部分所受影响可不计。部分所受影响可不计。(d)F/AF/A图图(d)所示情况，由于面力连续均匀分布，边界条件所示情况，由于面力连续均匀分布，边界条件简单，应力很容易求解并且解答很简单。而其他三简单，应力很容易求解并且解答很简单。而其他三种情况，由于面力不连续分布，甚至不知其分布方种情况，由于面力不连续分布，甚至不知其分布方式，应力难以求解。根据圣维南原理，式，应力难以求解。根

56、据圣维南原理，可将可将(d)的应的应力解答应用于其他三种情况力解答应用于其他三种情况。 应用圣维南原理的条件是满足应用圣维南原理的条件是满足静力等效静力等效。即使物体。即使物体一小部分边界上的一小部分边界上的位移边界条件不能满足时，仍可位移边界条件不能满足时，仍可以应用圣维南原理。以应用圣维南原理。F/AF/AF(e)(d)图图(e)右端是固定端，有位右端是固定端，有位移边界条件移边界条件(u)s = u = 0 和和(v)s = v = 0, 把把(d)的解答应的解答应用于这一情况时，位移用于这一情况时，位移 边界条件不能满足边界条件不能满足, 但右端但右端的面力静力等效于过形心的力的面力静

57、力等效于过形心的力F(与左边的力与左边的力F平衡平衡), 满足圣维南原理的条件满足圣维南原理的条件, (d)的解答仍可应用于这一的解答仍可应用于这一情况时情况时, 只是在靠近两端处有显著的误差只是在靠近两端处有显著的误差, 而在较远而在较远处误差可不计。处误差可不计。 如果物体一小部分边界上的面力是一个如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系平衡力系（主矢量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会主矢量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。这是因为主矢量和主矩都等于零的面力，与无面力这是因为主矢量和主矩都等

58、于零的面力，与无面力状态是等效的，只在近处产生显著的应力。状态是等效的，只在近处产生显著的应力。例如：例如：FFFF4.圣维南原理还可以推广到下列情形圣维南原理还可以推广到下列情形 xyh/2h/2llO 在应力边界条件上应用圣维南原理在应力边界条件上应用圣维南原理, 就是就是在边界上在边界上, 将精确的应力边界条件代之以主矢相同将精确的应力边界条件代之以主矢相同, 对同一点的对同一点的主矩也相同的静力等效条件主矩也相同的静力等效条件。二二.在局部边界上应用圣维南原理在局部边界上应用圣维南原理例如，厚度例如，厚度 d=1 的梁，的梁，hl, 即左右端是小边界即左右端是小边界.严格的边界条件要求

59、严格的边界条件要求 yf yfylxxyxlxx,x xy fxfyxy ydyx fxfy此式要求在边界此式要求在边界 x=l 上的每一点（每一上的每一点（每一y值），应力值），应力分量与对应的面力分量必须处处相等。分量与对应的面力分量必须处处相等。 严格的边界条件要求严格的边界条件要求 yf yfylxxyxlxx,xyh/2h/2llOx xy fxfyxy ydyx fxfy这种严格的边界条件是很难满足的。这种严格的边界条件是很难满足的。 但但 h h, d=1 )qF30oOxyb/2hgyb/2( h b, d=1 )(a)(b)解：解：对对(a)问题，在主要边界问题，在主要边界

60、y=h/2，应精确满足，应精确满足下列边界条件下列边界条件12, 0,20,2q hy lxq hyyxyyxy 2)(lxqq1FFsMOxylh/2h/2( l h, d=1 )(a)在小边界在小边界(次要边界次要边界) x=0, 应用应用圣维南原理圣维南原理, 列出三个积分近列出三个积分近似边界条件似边界条件, 当板厚当板厚d=1时时, Fy Myy Fy sxh/hxyxh/hxxh/hx,d,d,d022/022/022/在小边界在小边界 x=l 处，当平衡微分方程和其它各边界都处，当平衡微分方程和其它各边界都已满足条件下，三个积分的边界条件必然满足，可已满足条件下，三个积分的边界条