最新圆锥曲线练习试题及详细答案

1、圆锥曲线归纳总结for Yuri第sin= - cos=部分：知识储备1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2) 与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率k = tan 0,二) 点到直线的距离d=人冷回*9 夹角公式：tana =空这L1 + k2kL(3) 弦长公式直线y =kx b上两点A(x1,y1), B(x2,y2)间的距离：AB = Ji +k21% X2 = J(1 + k2)( +X2)2 4为屜或 AB =(1 +右 | y1 - y2(4) 两条直线的位置关系 h _l2 = k1k2=-1 h/12 =匕=k2且d = b

2、22、圆锥曲线方程及性质(1) 椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)2 2标准方程： =1(m0,n0且m n)m n距离式方程： (x c)2 y2 (x -c)2 y2 = 2a参数方程：x=acosly 二bs in 71(2) 双曲线的方程的形式有两种2 2标准方程： =1(m n . 0)m n距离式方程：| . (x c)2 y (x-c) y2 |= 2a(3) 三种圆锥曲线的通径椭圆：竺；双曲线：竺；抛物线：2paa圆锥曲线的定义黄楚雅，分别回忆第一定义和第二定义！(5) 焦点三角形面积公式：2 QP在椭圆上时，S f1pf2二b tan 3P在双曲线上时，S FlPFb2co

3、t-|(其中 F1PF2 - dCOS J -|PFk| |PF1 4c , PF1LPF2 =1 PFi |PPF2 Icosr)| PF1 | | PF21(6) 记住焦半径公式：椭圆焦点在时为a _exg，焦点在y轴上时为a_ey 双曲线焦点在x轴上时为e| X。| _a 抛物线焦点在x轴上时为曲垮，焦点在y轴上时气33333333333333333333333333333333333333333333333华丽的分割线 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333第sin xdx部分：三道核心例题 p例1.椭圆长轴端点为

4、A,B, O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF FB =1，OF =1。(1) 求椭圆的标准方程;(2) 记椭圆的上顶点为M，直线I交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线I，使点F恰为厶PQM的垂心？若存在，求出直线I的方程；若不存在，请说明理由分析：第一问比较容易，第二问关键是垂心(小黄同学，你还记得三角形的 四心”吗？)的处理。由待定系数法建立方程求解。2 = 1(a a b a 0),由 of =1 得 c = 1 bX2解(1)建立坐标系，设椭圆方程为 a又 AF F=1 即(a + c)，(ac)=1 = a2c2 二 a2 = 22w易得b=i,故椭圆方程为y2 =i(2)假设存在

5、直线I交椭圆于P,Q两点，且F恰为=PQM的垂心,设 P(X!,y!),Q(X2,y2)，v M (0,1),F(1,0)，故 kPQ =1，于是设直线I为2 23x 4mx 2m 2=0又 yi =Xi m(i =1,2)f y = x + m厂 x m，由 x2 2y 2 得,v MP FQ = 0 = X(x2 -1) y2(yi -1)得 x1(x2 -1) (x2 m)(X m -1) = 0 即22x1x2 (% x2)(m-1) m - m=0 由韦达定理得2c 2m - 2 4m, 八 2c2 (m-1) m-m = 03 34 4解得或宀(舍)经检验吩匚符合条件例2 已知椭圆

6、的中心在原点，焦点在 x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M (2,1)，平行于OM的直线I在y轴上的截距为m(m = 0)，I交椭圆于A、B两 个不同点。(1) 求椭圆的方程；(2) 求m的取值范围；(3) 求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。分析：小黄同学，直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形这个怎么理解， 怎么处理？关键是把它转化成k1 kQ2 2解: (1)设椭圆方程为笃爲=1(a b 0)a ba =2b、a2b2=1解得=8b2=22 2椭圆方程为18 2(2)v直线|平行于OM，且在y轴上的截距为mOM1的方程为：ix m1 + y = x +m丄222由 22

7、 x 2mx 2m -4 = 0X-丄=1.8 2直线l与椭圆交于A、B两个不同点,、=(2m)2 -4(2m2 -4) 0,解得一2 ： m ： 2,且m= 0(3)设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2,只需证明k1+k2=0即可设 Ag, yj, B(X2, y2),且捲 x?二-2m, X1X2 二 2m2 -4y2 1X22由 X2 2mx 2m2 - 4 = 0可得2X1 X2-2m,X1X2 =2m - 4而 k1 k2y1 -1 . y2 -1(y1 - D -(X2 - 2)(y2 -1)(人 - 2)(X1 -2)(X2 -2)1 1(3X1 m-1)(X2 -2) (?X

8、2 m-1)(X1 -2) _(% -2)(X2 -2)_ xm2 (m 2)(x1 x2) -4(m-1)_(X1 2)(X2 -2)_ 2m2 _4 (m _ 2)(_2m) _4(m _ 1)_(% -2)(X2 -2)222m -4-2m 4m-4m 4 c=0(兀 -2)区 -2)匕 k? =0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形例3.已知三角形ABC勺三个顶点均在椭圆4x2 5y2 =80上，且点A是椭圆短轴 的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC的方程；（2）若角A为900，AD垂直BC于 D,试求点D的轨迹方程.分析：

9、第一问抓住“重心”（小黄同学，你还记得三角形的“四心”吗？），禾U用 点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第 二问抓住角A为900可得出AB丄AC，从而得XM y2 -14（力 y?） T6 = 0 , 然后利用联立消元法及交轨法求出点 D的轨迹方程。解：（1）设BgyJ, C（X2,y?），BC中点为（x。），焦点为F（2,0）,则有2 2 2 2生+里=1X_+里=120 16 20 16两式作差有（X1 X2）（X1 -xj “z忙0，整理得20 16匹业=0 （其中k为点弦BC的斜率）（1）5 4又F（2,0）为三角形重心，所以由X2 =2，得 =33

10、由Yiy_4 =o得y - _2，代入（1）得k =，从而得到3 5直线BC的方程为6x -5y -28 =0（2）由AB丄AC得X1X2 yM -14(% y2)16= 0(2)设直线BC方程为y =kx b,代入4x2 5y2 =80，得2 2 2(4 5k )x 10bkx 5b -80 =0又由韦达定理有X1X2-10kb4 5k2X1X25b2 -8024 5k2 28k4b -80k与直线方程结合，易得* y2, yi y22 -4+5k4+5k2代入（2）式得 9b32竽兰=0,解得b =4（舍）或b =4+5k 2 2 2 2 2 2 2 乞丄=1，生.竺“；两式相减得m1=0

11、4 y + 一直线过定点(0, - 34343)，设 D( x,y),则 9 土兰二1，即 9y2 9x2 -32y-16 =09x x所以所求点D的轨迹方程是x2(y-16)2珂却凡厂詔)o997777777777777777777777777777777777777777777777777T优雅的分割线 777777777777777777777777777777777777777777777777777第limxx-j 1部分：七种常见题型1、中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(x1, y1) (X2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系

12、及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的情况)，消去参数。2 2例如：设Axyi、Bx2,y2，M a,b为椭圆 =1的弦AB中点则有X1 - X2 XX24yY2yy2T：3kAB =3a4b432 2归纳：(1)椭圆亍b 0)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x。，y。)，则有 第 告k=0。a b2 2(2)双曲线 务-占=1(a0,b 0)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为a bM(X0, y)，则有卑-卷 k = 0。a b(3)抛物线y2 =2px(p - 0)与直线I相交于A、B,设弦AB中点为M (x, y)，则有 2yk=2p，即 yk=p。2典型例题 给定双曲线X

13、2 一乡=1，过A(2,1)的直线与双曲线交于两点Pi及P2 , 求线段P P2的中点P的轨迹方程。2、焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点Fi、F2构成的三角形问题，常用正、余 弦定理搭桥。2 2典型例题 设P(x, y)为椭圆务 与=1上任一点，Fi (-c,0)，F2 (c,0)为焦点,a bPF1F2 二：，PF2 R = o(1)求证离心率(2)求 |PF1|3 - PF2的最值3、直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方 程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的 思想，通过图形的直观性帮助分

14、析解决问题， 如果直线过椭圆的焦点，结合三大 曲线的定义去解。典型例题抛物线方程y p(x 1)( p 0)，直线x y二t与x轴的交点在抛物线的右边。(1) 求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2) 设直线与抛物线的交点为 A、B,且OAOB求p关于t的函数f(t)的表达式。4、圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式， 则可建立目标函数（通常利 用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。处理思路1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消

15、参转化为一元二次函数的最值问题，关键是求方程求x、y的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线y2 = 2 px（ p 0），过M （a 且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A B， AB乞2p。（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点”，求厶NAB面积的最大值。5、求曲线的方程问题(1)曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决典型例题已知直线已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A( -1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C 上,求直线L和抛物线C的方程。(2)曲线的形状未知-求轨迹方程6、存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题， 可以按如下方式分三步解决：求两点所 在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。 (当然也可以利