多元统计课件第八章因子分析

1、第八章第八章 因子分析因子分析第一节第一节 引言引言 因子分析（factor analysis）与主成分分析有很大的不同，主成分分析不能作为一个模型来描述，它只是作为一般的变量变换，主成分是可观测的原始变量的线性组合；而因子分析需要构造一个因子模型，公共因子一般不能表示为原始变量的线性组合。 因子分析的目的是，用几个不可观测的隐变量来解释原始变量间的协方差关系。例例8.1.1 林登（林登（Linden）根据他收集的）根据他收集的来自来自139名运动员的比赛数据，对第二次世界名运动员的比赛数据，对第二次世界大战大战以来奥林匹克十项全能比赛的得分作了以来奥林匹克十项全能比赛的得分作了因子分因子分析

2、研究。析研究。 这十项全能项目为：100米跑 ，跳远 ，铅球 ，跳高 ，400米跑 ，110米跨栏 ，铁饼 ，撑杆跳远 ，标枪 ，1500米 。对 经标准化后所作的因子分析表明，十项得分基本上可归结于他们的短跑速度，爆发性臂力、爆发性腿力和耐力，每一方面都称为一个因子。 1x2x 3x4x 5x 6x7x 8x9x10 x1021,xxx 十项得分与这四个因子之间的关系可以描述为如下的因子模型：10, 2 , 1,44332211ifafafafaxiiiiiii 其中 表示四个因子，称为公共因子（common factor）， 称为 在因子 上的载荷（loading）， 是 的均值， 是 不

3、能被四个因子解释的部分，称之为特殊因子。4221,ffffijaixjfiixiix因子模型与线性回归模型的区别：因子模型与线性回归模型的区别： 回归模型中的自变量是可以被观测得到的，而因子模型中的 是不可观测的隐变量；再者，两个模型的参数意义也很不相同。4221,ffff例例8.1.2 为了评价即将进大学的高中生的为了评价即将进大学的高中生的学习学习能力，抽了能力，抽了200名高中生进行问卷调查，名高中生进行问卷调查，共共50个问题。所有这些问题可简单的归结为个问题。所有这些问题可简单的归结为阅读理阅读理解、数学水平和艺术修养这三个方面。解、数学水平和艺术修养这三个方面。这也是这也是一个因子

4、分析模型，每一方面就是一个一个因子分析模型，每一方面就是一个因子。因子。 通过因子分析，这15个方面可以归结为应聘者的外露能力、讨人喜欢的程度、经验、专业能力和外貌这五个因子。适应性交际能力潜力理解能力抱负积极性经验推销能力诚实精明自信心讨人喜欢专业能力外貌申请书的形式:1514131211109876: 54321xxxxxxxxxxxxxxx 例8.1.3 公司老板对48名应聘者进行面试，并给出他们在15个方面所得的分数，这15个方面是：第二节第二节 因子模型因子模型设有 维可观测的随机向量 ，其均值为 ，协方差矩阵为 pTpxxx,21xTp,21ij1 . 2 . 8221122222

5、121221121211111pmpmppppmmmmfafafaxfafafaxfafafax因子分析的一般模型为因子分析的一般模型为一、数学模型一、数学模型（8.2.1）式可用矩阵表示为2 . 2 . 8Afx式中 公共因子向量， 为特殊因子向量， 称为因子载荷矩阵。Tmffff,21Tp,21mpaAij: 3 . 2 . 80,0022221TpfEfCovdiagDVIfVEfE通常假设二、因子模型的性质二、因子模型的性质1、 的协方差矩阵的协方差矩阵 的分解的分解x VAfAVEAfEfAEAffAEAfAfEAfVVTTTTTTTx由（8.2.2）式知4 . 2 . 8DAAT再

6、由（8.2.3）式可得这就是 的一个分解。如果 为各分量已标准化了的随机向量，则 就是相关矩阵 ，即有xijR5 . 2 . 8DAART例例8.2.1 设随机向量设随机向量 的的协方协方差矩阵为差矩阵为Txxxx4321,x865422055217542172711205119其中1000020000200004,29713412DADAAT则 可分解为 当 时，任何协方差矩阵 均可按（8.2.4）式进行分解，如可取 ；而当 时， 未必能作（8.2.4）式的分解。pm 0,21DApm 2、模型不受单位的影响、模型不受单位的影响将 的单位作变化，就是作一变换 ，这里 ，于是XxxCpiccc

7、cdiagCip, 2 , 1, 0,21CCAfCx令CffCAAC,fAx则有 0,00TfEfCovDVIfVEfE 这个模型能满足完全类似（8.2.3）式的假定，即其中因此，单位变换后新的模型仍为因子模型。picdiagDiiip, 2 , 1,22222221 设 为任一 正交矩阵，令 则模型（8.2.2）式能表示为TmmfTfATAT,6 . 2 . 8fAx3、因子载荷是不唯一的、因子载荷是不唯一的 因为 0,0TTTTTTfETfEfCovITTTfVTfVfETfE因此，因子载荷矩阵 不是唯一的，在实际应用中常常利用这一点，通过因子的旋转，似得新的因子有更好的实际意义。A所以

8、仍满足条件（8.2.3）式。从（8.2.4）式可以看出， 也可分解为7 . 2 . 8DAAT1、 的元素 原始变量 与公共因子 之间的协方差函数由（8.2.1）式知Aijaixjf8 . 2 . 8,1ijiiimijiafCovffCovafxCov即 是 与 之间的协方差函数。ijaixjf三、因子载荷矩阵的统计意义三、因子载荷矩阵的统计意义 若 为各分量已标准化了的随机向量，则 与 的相关系数xixjf 9 . 2 . 8,ijjijijijiafxCovfVxVfxCovfx此时 表示 与 之间的相关系数。ijaixjf2、 的行元素平方和 公共因子对原始变量 的方差贡献Amjiji

9、ah122ix 10. 2 . 8, 2 , 1,2222212222121piaaaVfVafVafVaxViimiiimimiii对（8.2.1）各等式两边取方差令piahmjiji, 2 , 1,12211. 2 . 8, 2 , 122pihiiii于是 反映了公共因子对 的影响，可以看成是公共因子对 的方差贡献，称为共性方差（communality）；而 是特殊因子 对 的方差贡献，称为特殊方差（specific variance）。ixixi2iix2ih12. 2 . 8, 2 , 1122pihii当 为各分量已标准化了的随机向量时， ，此时有x1ii3、 的列元素平方和 公共

10、因子 对 的贡献Apiijjag122ifx由（8.2.10）式得 13. 2 . 81222221112122211211piimpiipimimpiipiipiigggVfVafVafVaxV其中mjagpiijj, 2 , 1,122 反映了公共因子 对 的影响，是衡量公共因子 重要性的一个尺度，可视为公共因子 对 的总方差贡献。2jgjfpxxx,21jfjfpxxx,21设 是一组 维样本，则 和 可分别估计为为了建立因子模型，首先要估计因子载荷矩阵 和特殊方差矩阵 nxxx,21pTiniiniinSnxxxxxx11111和 mpaAij:22221,pdiagD第三节 参数估计

11、常用的参数估计方法有如下三种：主成分法、主因子法、极大似然法一、主成分法 设样本协方差矩阵 的特征值依次为 相应的正交单位特征向量为 ，选取相对较小的因子数 ，并使得累积贡献率 达到一个较高的百分比，则 可作如下的近似分解S021ppttt,21mpiimii11/S1 . 3 . 8111111111DAADSTTmmmTTpppTmmmTmmmTtttttttttttt其中 为 矩阵，ijmaA,11mttmppiasdiagDmjijiip, 2 , 1,1221221称 为残差矩阵，对于主成分解，有因而，当被略去的特征值的平方和较小时，表明因子模型的拟合是较好的。DAAST2 . 3

12、. 8221pmTDAAS的元素平方和当 个原始变量的单位不同，或虽单位相同，但各变量的数值相差较大时，我们应首先对原始变量作标准化变换。p变量因子载荷共性方差因子载荷共性方差 100米 200米 400米 800米 1500米 5000米 10000米 马拉松0.8170.8670.9150.9490.9590.9380.9440.8800.6680.7520.8380.9000.9200.8790.8910.7740.817 0.5310.867 0.4320.915 0.2330.949 0.0120.959 - 0.1310.938 - 0.2920.944 - 0.2870.880

13、- 0.4110.9500.9390.8920.9000.9380.9650.9730.943表8.3.1 当 和 时的主成分解1m2m1m2m1f2ih1f2f2ih:1x:2x:3x:4x:5x:6x:7x:8x例8.3.1 在例7.3.3中，分别取 和 ，用主成分法估计的因子载荷和共性方差列于表8.3.1。1m2m相应于 的解的残差矩阵为2mDAART000. 0006. 0013. 0033. 0024. 0005. 0011. 0019. 0000. 0006. 0008. 0023. 0010. 0002. 0014. 0000. 0010. 0023. 0012. 0009. 0

14、008. 0000. 0009. 0012. 0000. 0014. 0000. 0001. 0021. 0025. 0000. 0044. 0030. 0000. 0016. 0000. 0 二、主因子法假定原始向量 的各分量已作了标准化变换。如果随机向量 满足因子模型（8.2.2）式，则有xxDAART其中 为 的相关矩阵，令 则称 为 的约相关矩阵（reduced correlation matrix）。 中的对角线元素是 ，而不是1，非对角线元素和 中是完全一样的，并且 也是一个非负定矩阵。xR)2 . 3 . 8(*TAADRR*Rx*R2ihR*R设 是特殊方差 的一个合适的初始估

15、计，则约相关矩阵可估计为2i2i2212222111221*ppppphrrrhrrrhDRR其中 是 初始估计。 22222211,pipijhdiagDrR2ih因此我们可以重新估计特殊方差， 的最终估计为2i,111222mjijiiah)4 . 3 . 8(, 2 , 1pi又设 的前 个特征值依次为 相应的正交单位特征向量为 ，则A的主因子解为*Rm*2*1*2*1,mttt)3 . 3 . 8(,*2*2*1*1mmtttA0*m（1）取 ，其中 是 的第 个对角线元素，此时共性方差的估计为 ，它是 和其他 个变量间复相关系数的平方，该初始估计方法最为常用。iiir/12iir1R

16、i221iihix1p（3）取 ，此时 ，得到的 是一个主成分解。12ih02iA特殊方差 （或共性的方差 ）的常用初始估计方法有如下几种：2ih2i（2）取 ，此时 。ijijirh max2221iih例例 8.3.2 在例在例7.3.3中，取中，取m=2，为求得，为求得主主因子解，选用因子解，选用 与其他七个变量的复相与其他七个变量的复相关系关系数平方作为数平方作为 的初始估计值。计算得的初始估计值。计算得ix2ih905. 0,967. 0,955. 0,927. 0884. 0,845. 0,888. 0,877. 02827262524232221hhhhhhhh于是约相关矩阵为9

17、05. 0946. 0932. 0866. 0806. 0705. 0569. 0520. 0967. 0975. 0935. 0869. 0787. 0697. 0633. 0955. 0928. 0864. 0779. 0695. 0619. 0927. 0918. 0835. 0775. 0700. 0884. 0870. 0807. 0756. 0845. 0851. 0841. 0888. 0923. 0877. 0*R 的特征值为*R053. 0,036. 0,015. 0,014. 0006. 0,051. 0,779. 0,530. 6*8*7*6*5*4*3*2*1 从 起特

18、征值已接近于0,故取m=2,相应的计算结果列于表8.3.2.*3表8.3.2 当m=2时的主因子解 变量 因子载荷 共性方差 100米 200米 400米 800米 1500米 5000米 10000米 马拉松 0.807 0.496 0.858 0.412 0.890 0.216 0.939 0.024 0.956 -0.114 0.946 -0.281 0.874 -0.378 0.897 0.906 0.856 0.881 0.926 0.960 0.974 0.907 :2x:1x:3x:4x:5x:6x:7x:8x1f2f2ih表8.3.2给出的结果与表8.3.1是类似的,因子的解释

19、也是相同的 .表8.3.2的最后一行数值不如表8.3.1大,这是由于主成分解的目标就是使方差得到优化.主因子解的残差矩阵为DAART000. 0010. 0005. 0013. 0005. 0000. 0002. 0002. 0000. 0007. 0002. 0012. 0003. 0001. 0009. 0000. 0001. 0010. 0005. 0007. 0002. 0000. 0024. 0000. 0002. 0014. 0000. 0021. 0008. 0013. 0000. 0010. 0008. 0000. 0026. 0000. 0比较主成分解与主因子解的残差矩阵可以

20、看出,主因子解拟合的更好一点。设公共因子 ，特殊因子 ，且相互独立，则必然有原始变量 。由样本 计算得到的似然函数是 和 的函数 。由于 ， 故似然函数可更清楚的表示为 。记 的极大似然函数估计为 ，即有INm, 0fDNp, 0,pNxnxxx,21,LDAATDAL,DA,DA, ),(max,DALDAL 三、极大似然法其中 ，由于 A 的解是不唯一的，故为了得到唯一解，可附加计算上方便的惟一性条件：Tiniinxxxx11) 6 . 3 . 8 (1是对角矩阵ADAT可以证明， ，而 和 满足以下方程)5 . 3 . 8(11TmAAdiagDADAIAADx AD例8.3.3 在例7

21、.3.3中，取m=2，极大似然法的计算结果列于表8.3.3。的初始估计值与例8.3.2相同。 变量 因子载荷 共性方差 100米 200米 400米 800米 1000米 5000米 10000米 马拉松 0.731 -0.620 0.792 -0.545 0.855 -0.343 0.916 -0.161 0.958 -0.026 0.972 0.144 0.981 -0.143 0.923 -0.249 0.919 0.924 0.849 0.865 0.918 0.966 0.982 0.914表8.3.3 当m=2时的极大似然解1f2f2ih:1x:2x:3x:5x:4x:6x:7x:

22、8x极大似然法的残差矩阵为DAART000. 0003. 0001. 0012. 0001. 0002. 0002. 0000. 0000. 0001. 0001. 0006. 0002. 0002. 0005. 0000. 0000. 0004. 0003. 0004. 0002. 0000. 0037. 0008. 0003. 0016. 0000. 0032. 0006. 0013. 0000. 0013. 0003. 0000. 0006. 0000. 0 假设 是从相关矩阵 出发求得的，则 ，故有 ，即 的 所有元素均在 和 之间。如果载荷矩阵 的所有元素都接近 或 ，则模型的公共因

23、子就易于解释。这时可将原始变量 分成 个部分，第一部分对应第一个公共因子 ，第 部分对应第AAR1212imjijha1ijaA1101pxxx,21m,1fm 第四节 因子旋转 个公共因子 ，反之，如果载荷矩阵 的元素多数居中，不大不小，则对模型的公共因子一般不易作出解释，此时应考虑进行因子旋转，使得旋转之后的载荷矩阵在每一列上元素的绝对值尽量地拉开距离，也就是尽可能地使其中的一些元素接近于0，另一些元素接近于 。Amf1m 因子旋转方法有正交旋转和斜交旋转两类，本节中我们只讨论正交旋转。对公共因子作正交旋转相当于对载荷矩阵 作一正交变换，右乘正交矩阵 ，使 能有更鲜明的实际意义。旋转后的公

24、共因子向量为 ，它的几何意义是在 维空间上对原因子轴作一刚性旋转。正交矩阵 的不同选取法构成了正交旋转的各种不同方法，在这些方法中使用最普遍的是最大方差旋转法（Varimax）。ATATfTfTTp令 piijjiijijijdpdhadaATA121/,则 的第 列元素平方的相对方差可定义为Aj1 . 4 . 81212pijijjddpV 所谓最大方差旋转法就是选择正交矩阵 ，使得矩阵 所有 个列元素平方的相对方差之和达到最大。TAm2 . 4 . 821mVVVV2m 当 时，设已求出的因子载荷矩阵为2122211211ppaaaaaaA 现选取正交变换矩阵 进行因子旋转， 可以表示为T

25、TcossinsincosT这里 是坐标平面上因子轴按逆时针方向旋转的角度，只要求出 ，也就求出了 。T212221121121212221222112111211cossinsincoscossinsincoscossinsincosppppppaaaaaaaaaaaaaaaaaaATA2 , 1,12 , 1, 2 , 1,/12jdpdjpihadpiijjiijij再由（8.4.1)式和（8.4.2)式即可求得 各列元素平方的相对方差之和 。显然， 是旋转角度 的函数，按照最大方差旋转法的原则，应求出 ，使 达到最大。由微积分中求极值的方法，将 对 求导，并令其为零，可以推得 满足 A

26、VVVV) 3 . 4 . 8(/ )(/2422213214pcccpccctg其中piiiipiipiipiivucvucvcu,(,而22122212,iiiiiiiiihaavhahau当 时，我们可以逐次对每两个因子进行上述的旋转。对因子 和 进行旋转，就是对 的第 和 两列进行正交变换，使这两列元素平方的相对方差之和达到最大，而其余各列不变，其正交变换矩阵为2mlfkfAlkklklTlk11cossin11sincos11其中是因子轴和的旋转角度，矩阵中其余位置上的元素全为0。个公因子的两两配对旋转共需进行 次，称其为完成了第一轮旋转，并记第一轮旋转后的

27、因子载荷矩阵为。然后再重新开始，进行第二轮的次配对旋转，新的因子载荷矩阵记为。lfkfm) 1(212mmm)1(A2m)2(A)(SA如此继续旋转下去，记第 轮旋转后的因子载荷矩阵为，得到的一系列因子载荷矩阵为 记 为各列元素平方的相对方差之和，则必然有这是一个有界的单调上升数列，因此一定会收敛到某一极限。在实际应用中，当的值变化不大时，即可停止旋转。S,)()2()1(sAAA)()2()1(sVVV)(sV)(iVi例8.4.1 在例8.3.1至例8.3.3中分别使用最大方差旋转法，旋转后的因子载荷矩阵列于表8.4.1 变量 主 成 分 主 因 子 极大似然 100米 200米 400米

28、 800米 1500米 5000米 10000米 马拉松0.274 0.9350.376 0.8930.543 0.7730.712 0.6270.813 0.5250.902 0.3890.903 0.3970.936 0.261 0.287 0.903 0.381 0.872 0.541 0.751 0.695 0.631 0.799 0.537 0.895 0.399 0.900 0.405 0909 0.2840.288 0.9140.379 0.8830.541 0.7460.689 0.6240.797 0.5320.899 0.3970.906 0.4020.914 0.281解

29、释的总方差的累计比例0.523 0.9380.510 0.9140.512 0.9171f2f1f2f2f1f:1x:2x:3x:4x:5x:6x:7x:8x表8.4.1 旋转后的因子载荷估计图8.4.1是主成分解的因子旋转，因子按顺时针方向旋转了 ，从图中容易直接看出旋转后因子的实际意义。6 .401f0.5-0.50.51.01f2f2f01234587图8.4.1 主成分解的因子旋转例8.4.2 沪市604家上市公司2001年财务报表中有这样十个主要的财务指标：股本每股收益（元）资产总计（元）净利润（元）总资产收益率（利润总额（元）净资产收益率（主营业务利润（元）每股净资产（元）主营业务

30、收入（元）:%:%:10594837261xxxxxxxxxx表8.4.2 十个财务指标的样本相关矩阵1.0000.723 1.0000.427 0.743 1.0000.407 0.697 0.982 1.0000.171 0.325 0.539 0.559 1.0000.149 0.228 0.284 0.274 0.585 1.0000.096 0.177 0.362 0.402 0.776 0.218 1.0000.066 0.204 0.455 0.500 0.849 0.290 0.833 1.0000.748 0.768 0.574 0.567 0.125 0.138 0.067

31、 0.058 1.0000.622 0.619 0.485 0.500 0.002 0.066 0.033 0.051 0.861 0.10001x2x3x4x5x6x7x8x9x10 x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 x上述十个指标的样本相关矩阵列于表8.4.2从相关矩阵出发，选择主成分法，相关矩阵的前三个特征值为929. 0,574. 2,879. 4321累计贡献率为83.82%，取因子数m=3，相应结果列于表8.4.3表8.4.3 m=3时的主成分解 变 量 因子载荷 共性方差 主营业务收入 主营业务利润 利润总额 净利润 每股收益 每股净资产 净资产收益率 总资产收益率 资

32、产总 计 股本0.659 -0.472 0.1210.835 -0.346 0.0970.886 0.003 -0.0370.888 0.037 -0.0820.666 0.697 0.1090.391 0.367 0.8140.527 0.670 -0.3250.518 0.703 -0.2600.747 -0.564 0.0190.636 -0.596 -0.219 0.672 0.826 0.786 0.796 0.934 0.951 0.832 0.899 0.877 0.808 所解释的总方差的累计比例0.488 0.745 0.8381f2f3f2ih:7x:2x:3x:4x:5x

33、:6x:1x:8x:9x:10 x表8.4.4 采用最大方差旋转法旋转后的因子载荷估计 变量 因子载荷 共性方差 主营业务收入 主营业务利润 利润总额 净利润 每股收益 每股净资产 净资产收益率 总资产收益率 资产总 计 股本0.809 -0.029 0.1290.874 0.171 0.1820.706 0.509 0.1670.688 0.552 0.1350.115 0.849 0.4470.082 0.199 0.9510.022 0.912 0.0040.045 0.943 0.0870.936 -0.012 0.0280.869 -0.013 -0.228 0.672 0.826

34、0.786 0.796 0.934 0.951 0.832 0.899 0.877 0.808 所解释的总方差的累计比例0.404 0.712 0.8381f2f3f2ih:7x:2x:3x:4x:5x:6x:1x:8x:9x:10 x 第五节 因子得分 一、加权最小二乘法因子模型（8.2.1）式可以写为1 . 5 . 8221122222121221121211111pmpmppppmmmmfafafaxfafafaxfafafax其中 。piVi, 2 , 1,)(2由于p个特殊方差可以不全相等，因此应采用加权的最小二乘估计法，也就是寻求的一组取值 ，使得加权的“残差”平方和mfff,21

35、mfff,212122211ipimimiiiifafafax(8.5.2)达到最小，这样求得的解 就是用加权最小二乘法得到的因子得分，有时称之为巴特莱特（Bartlett，1937）因子得分。mfff,21（8.5.1）式用矩阵来表示就是) 3 . 5 . 8 (fxA（8.5.2）式可用矩阵表示为) 4 . 5 . 8 ()(1fxfxADAT其中 。用微分学求极值的方法可以解得因子得分为Tmfff),(21f)5 . 5 . 8()(111xfDAADATT在实际应用中，用估计值 、 和 分别代替上述公式中的 、 和D，并将每个样品的数据 代入，便可得到相应的因子得分xADAix)6 .

36、 5 . 8()(111xxDAADAiTTif 若将 和 不相关的假定加强为相互独立，则在 值已知的条件下，由（8.5.5）式和（8.5.3）式可得因子得分 的条件数学期望fff )7 . 5 . 8(111111ffffffADAADAAEDAADAETTTTffff111111)()(DAADAADAADATTTT因此，从条件意义上来说加权最小二乘法的因子得分 是无偏的。我们再来计算反映 估计精度的平均预报误差 ，由（8.5.5）式和（8.5.3）式 得ffTEffff故)8 . 5 . 8(11111111111111ADAADAADDDAADAADAADEDAADAETTTTTTTT

37、Tffff 在因子模型（8.2.2）式中，假设 服从（m+p）元正态分布，由条件（8.2.3）式得f )9 . 5 . 8(0 xfxfEEE 二、回归法AAIAEAEIAEEEEVTTTTTTTTffffffxfffxfxfxf)()(,由（3.2.6）式知，在 给定的条件下， 的条件数学期望xf)11. 5 . 8(1xxffTAE再由（8.2.4）式知， ，因此（8.5.11）式也可表示为DAAT)12. 5 . 8(1xfDAAATT或者)13. 5 . 8(111xfDAADAITT上面两式相等，这是因为1111DAADAIDAAATTTT 就是用回归法得到的因子得分，有时称之为汤姆

38、森（Thompson，1951）因子得分。f在实际应用中，可用 、 和 分别代替（8.5.12）或（8.5.13）式中的 、 和 D 来得到因子得分，但我们更倾向于用 、 和S（样本协方差矩阵）代替（8.5.11）式中的 、A和 的方式来求得因子得分，这样可减少估计的误差（因为 和 是从S出发近似得到的）。xADAxAAD样品 的因子得分ix)14. 5 . 8(1xxfiTSA 假定 和 相互独立，则由（8.5.13）式和（8.5.3）式 得f )15. 5 . 8()(11111111111ffffffffADAIIIADAADAIADAADAIAEDAADAIETTTTTTT所以，回归法

39、的因子得分 从条件意义上是有偏的。ffffff11111111ADAIDAADAIADAADAITTTTT故 的平均预报误差f )16. 5 . 8()(1111111111111111ADAIADAIIADAADAIADAIEADAIADAIADEDAADAIETTTTTTTTTTTTTffffff例 8.5.1 在例8.4.2中，用回归法得到的因子得分为（将 习惯的表示为 ）ff*1*xfRAT*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1*3*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1*2*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1*1255. 0008. 0157. 0229. 0876. 0

40、216. 0037. 0004. 0098. 0100. 0016. 0086. 0371. 0381. 0165. 0235. 0144. 0116. 0043. 0109. 0246. 0254. 0066. 0066. 0032. 0054. 0138. 0145. 0216. 0217. 0 xxxxxxxxxxfxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxxf 其中 ， 为 的标准化值， ，经计算Tpxxx*2*1*,x*ixixpi,2 , 1 将604家上市公司财务报表中的十个指标数值 经标准化后代入上述因子得分公式可得每个股票的三个因子得分数值。分别按因子得分 的数值大小由高到低排

41、序列于表8.5.1、表8.5.2、表8.5.3，限于篇幅，每张表只排出了排在前十位和后十位的股票。从表8.4.4可知，表8.5.1中各股票的顺序反映快乐股票的规模由大到小的排序，表8.5.2中的股票顺序反映了股票的收益率由高到低的排序，表8.5.3中的股票顺序反映了股票的每股价值由高到低的排序。1021,xxx*3*2*1,fff表8.5.1 按规模因子得分 的排序 *1f序号股票名称 因子得分序号股票名称 因子得分12345678910上海石化东方航空兖州煤业马钢股份宁沪高速广州控股青岛海尔四川长虹仪征化纤上海汽车8.580 -2.704 -2.1687.446 -2.089 -1.8616.924 1.513 -0.0446.175 -1.251 -2.8045.341 0.835 -2.2204.101 2.596 0.6404.022 0.954 3.1603.996 -2.027 1.9073.873 -0.964 -1.5983.834 1.293 -0.666595596