椭圆标准方程考点分析及例题讲解

1、 椭圆标准方程考点分析及例题讲解考点：1.椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_常数_(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这_两个定点_叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦距_思考探究定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当常数等于|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当常数小于|F1F2|时，不表示任何图形2椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程 _(a>b>0)_(a>b>0)焦点_ _焦距|F1F2|_a，b，c的关系_思维聚焦1、椭圆定义的理解：设

2、两定点F1、F2，点到F1、F2的距离之和为2a(1)当2a>|F1F2|时，点的轨迹是椭圆(2)当2a|F1F2|时，点的轨迹是以F1、F2为端点的线段(3)当2a<|F1F2|时，点的轨迹不存在2待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；(2)设方程：依据上述判断设方程为1(a>b>0)或1(a>b>0)；在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2ny21(m>0，n>0且mn)；(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；(4)得方程：解方程组，将a，b

3、，c或m，n代入所设方程即为所求.考点一、椭圆的定义例1、如图所示，已知经过椭圆1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A、B两点，F1是椭圆的左焦点(1)求AF1B的周长；(2)如果AB不垂直于x轴，AF1B的周长有变化吗？为什么？ 分析：因为A、B在椭圆上，所以由椭圆的定义可知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a， 故|AF1|BF1|AF2|BF2|AF1|BF1|AB|4a为常数解：(1)如上图，由题意知，A、B在椭圆1上，故有|AF2|AF1|2a10，|BF1|BF2|2a 2×510，|AF2|BF2|AB，ABF1的周长|AF1|BF1|AB|AF1|B

4、F1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|) 2a2a4a4×520.AF1B的周长为20.(2) 如果AB不垂直于x轴，AF1B的周长仍为20不变，因为|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|AF2| |BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a，与AB和x轴是否垂直无关点拨：本题充分利用了椭圆的定义来解决三角形周长的问题变式训练1. 平面内，若点M到定点F1(0，1)、F2(0,1)的距离之和为2，则点M的轨迹为()A椭圆B直线F1F2 C线段F1F2 D直线F1F2的垂直平分线 解析：|MF1|MF2|2|F1F2|，所以点M的轨迹为线段F1

5、F2.2. 下列说法中，正确的是(C) A平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆B与两个定点F1、F2的距离和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆C方程1(a>c>0)表示焦点在x轴上的椭圆D方程1(a>0，b>0)表示焦点在y轴上的椭圆解析：依据方程的结构特点B中没强调平面内3. 设定点F1(0，3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|PF2|a(a>0)，则动点P的轨迹是()A椭圆 B线段 C椭圆、线段或不存在 D不存在答案C解析当a>|F1F2|6时，动点P的轨迹为椭圆；当a|F1F2|6时，动点P的轨迹为线

6、段；当a<|F1F2|6时，动点P的轨迹不存在4. 命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|PB|2a(a>0且a为常数)； 命题乙：P点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：乙甲且甲乙，甲是乙的必要不充分条件5. 椭圆1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则ABF2的周长是()A20B12C10D6解析：AB过F1，由椭圆定义知|AB|AF2|BF2|4a20.6. 已知F1、F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若|F2A|F2B|12， 则|AB|_.解析：|AB|F1A|F

7、1B|(2a|F2A|)(2a|F2B|)4a(|F2A|F2B|)20128.7. (2010·新课标全国)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E 相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|_.解析：由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，所以|AB|.8. 已知F1为椭圆5x29y245的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为 椭圆内一点，求|PF1|PA|的最小值解：由椭圆方程5x29y245可知a29，b25，c24，左焦点F1(2,0)，右焦点F2(

8、2,0)， 如图下所示P为椭圆上半部分上一点，由椭圆定义有 |PF1|PF2|6.而|PF1|PA|PF1|PA|PF2|PF2|6(|PF2|PA|)在PAF2中，|PF2|>|PA|，|PF2|PA|AF2|，当且仅当P、A、F2三点共线时，|PF2|PA|AF2|.所以当P、A、F2三点共线时，|PF1|PA|有最小值为6.考点二、椭圆的标准方程例1、求经过两点P1(，)，P2(0，)的椭圆的标准方程分析：求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设 出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可解解法一：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标

9、准方程为1(a>b>0)，依题意知解得a2<b2，焦点在x轴上的椭圆不存在当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(a>b>0)由题意得解得故所求椭圆的标准方程为1.解法二：设所求椭圆的方程为Ax2By21(A>0，B>0，AB)由题意，得解得所求的椭圆方程为5x24y21.点拨：(1)确定曲线的方程时，若能明确方程的形式，则可设出曲线方程，建立含参数的等式， 求出参数的值，再代入所设方程(2) 由于椭圆Ax2By21(A>0，B>0，AB)包含焦点在x轴上(A<B)和焦点在y轴上(A>B)两类情况， 因此解法二的处理避免了

10、分类讨论，达到了简化运算的目的变式训练 1. 椭圆2x23y212的两焦点之间的距离是()A2B. C. D2答案D解析椭圆方程2x23y212可化为：1，a26，b24，c2642，2c2.2. 椭圆5x2ky25的一个焦点是(0,2)，那么k的值为()A1 B1 C. D答案B解析椭圆方程5x2ky25可化为：x21，又焦点是(0,2)，a2，b21，c214，k1.3. 已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()A9<m<25 B8<m<25 C16<m<25 Dm>8答案B解析由题意得，解得8<m<25.4. 椭圆mx2

11、ny2mn0(m<n<0)的焦点坐标是()A(0，±) B(±，0) C(0，±) D(±，0)答案C解析椭圆方程mx2ny2mn0可化为1，m<n<0，m>n， 椭圆的焦点在y轴上，排除B、D，又n>m，无意义，排除A，故选C.5. 椭圆的两焦点为(2,0)和(2,0)且椭圆过点(，)，则方程为()A.1 B.1 C.1 D.1解析：由题意知c24，又焦点在x轴上，设1，把(，)代入得a210.6. 椭圆25x216y21的焦点坐标为()A(±3,0)B(±，0) C(±，0) D(0，

12、±)解析：椭圆方程可化为1.7. 已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是()A.x21 B.y21或x21 C.y21 D以上都不对答案A解析设椭圆方程为：Ax2By21(A>0，B>0)由题意得，解得8. 当3<k<9时，指出方程1所表示的曲线解：3<k<9，9k>0且k3>0.(1)若9k>k3，即3<k<6时，则方程表示焦点在x轴上的椭圆；(2)若9kk3，即k6时，则方程表示圆x2y23；(3)若9k<k3，即6<k<9时，则方程表示焦点在y轴上的椭圆9. 求经过两点(2，)，(1，)的椭

13、圆的标准方程解：方法一若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(a>b>0)由已知条件得，解得.所以所求椭圆的标准方程为1. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(a>b>0)由已知条件得，解得.即a24，b28，则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为1.方法二设椭圆的一般方程为Ax2By21(A>0，B>0，AB)将两点(2，)，(1，)代入，得，解得，所以所求椭圆的标准方程为1.10. (福建高考)已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求椭圆C的标准方程解：解法一依题意，可设椭圆C的方程为1

14、(a>b>0)，且可知左焦点为F(2,0)从而有，解得.又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的标准方程为1.解法二依题意，可设椭圆C的方程为1(a>b>0)，则， 解得b212或b23(舍去)，从而a216.所以椭圆C的标准方程为1.考点三、椭圆的焦点三角形问题例1、如图所示，点P是椭圆1上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF230°， 求F1PF2的面积 分析：由题目可获取以下主要信息：(1)椭圆方程为1；(2)F1，F2是焦点，P是椭圆上一点且F1PF230°. 解答本题可先利用a，b，c三者关系求出|F1F2|，再利用定义及余弦定理求出|PF

15、1|、|PF2|， 最后求出.解：在椭圆1中，a，b2，c1.又P在椭圆上，|PF1|PF2|2a2由余弦定理知：|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos30°|F1F2|2(2c)24式两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|20，得(2)|PF1|·|PF2|16，|PF1|·|PF2|16(2)，|PF1|·|PF2|·sin30°84.点拨：椭圆的焦点三角形问题，常常运用正弦定理与余弦定理将三角形中的边与角联系起来， 所以具有相当高的综合性在焦点三角形中，常用的

16、结论有：(1)|PF1|PF2|2a；(2)若F1PF2，则|PF1|PF2|，Sb2tan，|yP|tan.变式训练 1. 若ABC的两个焦点坐标为A(4,0)、B(4,0)，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为()A.1 B.1(y0) C.1(y0) D.1(y0)答案D解析|AB|8，|AC|BC|10>|AB|，故点C轨迹为椭圆且两焦点为A、B，又因为C点的纵坐标不能为零，所以选D.2. 点P为椭圆1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为()A. B. C. D.答案D解析SPF1F2×|F1F2|·|yP|×

17、2×|yP|1，|yP|1，yP±1，代入椭圆方程得，xP±.3. 点A(a,1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()A<a< Ba<或a> C2<a<2 D1<a<1解析：由已知可得<1，a2<2，即<a<.4. 设F1、F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到F1、F2的距离之差为2， 则PF1F2是()A 钝角三角形 B锐角三角形 C斜三角形 D直角三角形解析：由椭圆的定义，知|PF1|PF2|2a8.由题可得|PF1|PF2|2，则|PF1|5，|PF2|3. 又|F1F2|2c

18、4，PF1F2为直角三角形5. 若方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A(0，) B(0,2) C(1，) D(0,1)解析：将方程x2ky22变形为1.焦点在y轴上，>2且k>0，0<k<1.6. 椭圆1的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆上如果线段PF1的中点在y轴上， 那么|PF1|是|PF2|的_倍解析：由已知椭圆的方程得a2，b，c3，F1(3,0)，F2(3,0)由于焦点F1和F2关于y轴对称，PF2必垂直于x轴P(3，)，|PF2|，|PF1|.|PF1|7|PF2|.7. M是椭圆1上的任意一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，

19、则|MF1|·|MF2|的最大值是_解析：|MF1|MF2|2a.|MF1|·|MF2|2a29.8. AB为过椭圆1中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则AFB的面积最大值是()Ab2 BBc Cab Dac答案B解析SABFSAOFSBOF|OF|·|yAyB|，当A、B为短轴两个端点时，|yAyB|最大，最大值为2b.ABF面积的最大值为bc.9. 点P是椭圆1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于8， 求点P的坐标解：设点P的坐标为(x，y)c2a2b225916，2c8. SPF1F28，×8×|y|8.y

20、7;2.把y±2代入方程1， 解得x±. 点P的坐标为(，2)、(，2)、(，2)、(，2).10. 已知F1、F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上任一点，若F1PF2，求F1PF2的面积解析:设|PF1|m，|PF2|n.根据椭圆定义有mn20，又c6，在F1PF2中，由余弦定理得m2n22mncos122，m2n2mn144，(mn)23mn144，mn，SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF2××.考点四、利用椭圆的定义求轨迹方程例1、已知B，C是两个定点，|BC|8，且ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹 方程分析：由ABC的周长

21、等于18，|BC|8，可知点A到B、C两个定点的距离之和是10，所以 点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，但点A与点B、C不能在同一直线上适当建立 平面直角坐标系，可以求出这个椭圆的标准方程解：以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy. 如图所示由|BC|8，可知点B(4,0)，C(4,0)，c4.由|AB|AC|BC|18，|BC|8，得|AB|AC|10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10，但点A不在x轴上由a5，c4，得b2a2c225169.所以点A的轨迹方程为1(y0)点拨：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验变式训练1. 已知椭圆的两个焦点分别是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|PF2