正弦定理和余弦定理教案93025

1、正弦定理和余弦定理基础梳理1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解决不同的三角形问题3(4) ABC的面积公式 Sa·h(h表示a边上的高)； SabsinCacsinBbcsinA； Sr(abc)(r为内切圆半径)； S，其中P(abc)4已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个

2、数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，ABabsin Asin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换题型1正弦定理解三角形例1在ABC中，a，b，B45°

3、;.求角A、C和边c.解：由正弦定理，得，即， sinA. a>b， A60°或A120°.当A60°时，C180°45°60°75°，c；当A120°时，C180°45°120°15°，c.在ABC中，(1) 若a4，B30°，C105°，则b_(2) 若b3，c，C45°，则a_(3) 若AB，BC，C30°，则A_答案：(1) 2(2) 无解(3) 45°或135°解析：(1) 已知两角和一边只有一解，由

4、B30°，C105°，得A45°.由正弦定理，得b2.(2) 由正弦定理得sinB>1， 无解(3) 由正弦定理，得， sinA. BC>AB， A>C， A45°或135°.【训练1】 (2011·北京)在ABC中，若b5，B，tan A2，则sin A_；a_.解析因为ABC中，tan A2，所以A是锐角，且2，sin2Acos2A1，联立解得sin A，再由正弦定理得，代入数据解得a2.答案2双基自测1(人教A版教材习题改编)在ABC中，A60°，B75°，a10，则c等于()A5 B10

5、C. D5解析由ABC180°，知C45°，由正弦定理得：，即.c.答案C2在ABC中，若，则B的值为()A30° B45° C60° D90°解析由正弦定理知：，sin Bcos B，B45°.答案B余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形为：cos A，cos B，cos C.1(2011·郑州联考)在ABC中，a，b1，c2，则A等于()A30° B45° C60° D75°解析由余弦定理得：co

6、s A，0A，A60°.答案C2在ABC中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为()A3 B2 C4 D.解析cos C，0C，sin C，SABCabsin C×3×2×4.答案C3已知ABC三边满足a2b2c2ab，则此三角形的最大内角为_解析a2b2c2ab，cos C，故C150°为三角形的最大内角答案150°题型2余弦定理解三角形4在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1) 求角B的大小；(2) 若b，ac4，求ABC的面积解：(1) 由余弦定理知：cosB，cosC.将上式代入，得·，整理得a

7、2c2b2ac. cosB. B为三角形的内角， B.(2) 将b，ac4，B代入b2a2c22accosB，得b2(ac)22ac2accosB， 13162ac， ac3. SABCacsinB.5，(2014·南京期末)在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知c2，C.(1) 若ABC的面积等于，求a、b；(2) 若sinCsin(BA)2sin2A，求ABC的面积解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4.因为ABC的面积等于，所以absinC，得ab4.联立方程组解得a2，b2.(2) 由题意得sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，所以sin

8、BcosA2sinAcosA.当cosA0时，A，所以B，所以a，b.当cosA0时，得sinB2sinA，由正弦定理得b2a，联立方程组解得a，b.所以ABC的面积SabsinC.【训练1】 (2011·桂林模拟)已知A，B，C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面积解(1)由2cos2 cos A0，得1cos Acos A0，即cos A，0A，A.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，则a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，则bc4，故SABCbcsin A

9、.考向三利用正、余弦定理判断三角形形状【例1】在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，试判断ABC的形状审题视点 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断解由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即sin2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的内角故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC为等腰三角形或直角三角形 判断三角形的形状的基本思想是；利用正、

10、余弦定理进行边角的统一即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系【训练】 在ABC中，若；则ABC是()A直角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形解析由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R为ABC外接圆半径).即tan Atan Btan C，ABC.答案B【例2】在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面积等于，求a，b；(2)若sin Csin(BA)2sin 2A，求ABC的面积审题视点 第(1)问根

11、据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a，b的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin Csin(BA)2sin 2A进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a，b的值即可解决问题解(1)由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4.又因为ABC的面积等于，所以absin C，得ab4，联立方程组解得(2)由题意，得sin(BA)sin(BA)4sin Acos A，即sin Bcos A2sin Acos A.当cos A0，即A时，B，a，b；当cos A0时，得sin B2sin A，由正弦定理，得b2a.联立方程组解得所以ABC的面积Sa bsin C. 正弦定理、余弦定理、三角形

12、面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题【训练】 (2011·北京西城一模)设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B，b2.(1)当A30°时，求a的值；(2)当ABC的面积为3时，求ac的值解(1)因为cos B，所以sin B.由正弦定理，可得，所以a.(2)因为ABC的面积Sac·sin B，sin B，所以ac3，ac10.由余弦定理得b2a2c22accos B，得4a2c2aca2c216，即a2c220.所以(ac)22ac20，(ac)24

13、0.所以ac2.阅卷报告4忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】(2011·安徽)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a，b，12cos(BC)0，求边BC上的高错因忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根实录由12cos(BC)0，知cos A，A，根据正弦定理得：sin B，B或.以下解答过程略正解在ABC中，cos(BC)cos A，

14、12cos(BC)12cos A0，A.在ABC中，根据正弦定理，sin B.ab，B，C(AB).sin Csin(BA)sin Bcos Acos Bsin A××.BC边上的高为bsin C×.【试一试】 (2014·辽宁)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2 Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.尝试解答(1)由正弦定理得，sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.故sin Bsin A，所以.(2)由余弦定理和c2b2a2，得cos

15、B.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cos B0，故cos B，所以B45°.正弦定理和余弦定理基础梳理1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解决不同的三角形问题3(4) ABC的面积公式 Sa·h(h表示a边上的高)； SabsinCacsinBbcsinA； Sr(abc)(r为内切圆半径)； S，其中P(abc)4已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况

16、如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，ABabsin Asin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；

17、(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换题型1正弦定理解三角形例1在ABC中，a，b，B45°.求角A、C和边c.在ABC中，(1) 若a4，B30°，C105°，则b_(2) 若b3，c，C45°，则a_(3) 若AB，BC，C30°，则A_【训练1】 (2011·北京)在ABC中，若b5，B，tan A2，则sin A_；a_.双基自测1(人教A版教材习题改编)在ABC中，A60°，B75°，a10，则c等于()A5 B10 C. D52在ABC中，若，则B的值为()A30° B45

18、76; C60° D90°余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形为：cos A，cos B，cos C.1(2011·郑州联考)在ABC中，a，b1，c2，则A等于()A30° B45° C60° D75°2在ABC中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为()A3 B2 C4 D.3已知ABC三边满足a2b2c2ab，则此三角形的最大内角为_题型2余弦定理解三角形4在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1) 求角B的大小；(2) 若b，ac4，求ABC的面积5，(2014·南京期末)在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知c2，C.(1) 若ABC的面积等于，求a、b；(2) 若sinCsin(BA)2sin2A，求ABC的面积【训练1】 (2011·桂林模拟)已知A，B，C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos