函数的奇偶性

1、第三节 函数的奇偶性 1.1.奇函数、偶函数的定义奇函数、偶函数的定义对于函数对于函数f(x)f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x.x.(1)f(x)(1)f(x)为偶函数为偶函数_；(2)f(x)(2)f(x)为奇函数为奇函数_. .f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)【即时应用即时应用】(1)(1)判断下列六个函数是否是奇函数判断下列六个函数是否是奇函数.(.(请在括号中填请在括号中填“是是”或或“否否”) )y=xy=x2 2-|x| ( )-|x| ( )y=sin3x ( )y=sin3x ( )y=x+ ( )y=x+

2、( )1xy=3y=3x x-3-3-x -x ( )( )y=xy=x2 2,x(-1,1,x(-1,1( )( )(2)(2)已知已知f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+bx是定义在是定义在a-1,2aa-1,2a上的偶函数，那么上的偶函数，那么a+ba+b的值是的值是_._.(3)(3)已知已知f(x)f(x)为为R R上的奇函数，且当上的奇函数，且当x0 x0时，时，f(x)=xf(x)=x2 2, ,则则f(x)=_.f(x)=_.【解析解析】(1)(1)由奇函数、偶函数定义知，函数由奇函数、偶函数定义知，函数, ,为偶函数，为偶函数，, , ,为奇函数为奇函数, ,是非奇非偶

3、函数是非奇非偶函数. .(2)(2)由已知得由已知得 解得解得f(x)= ,f(x)= ,又又f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),即即又又 ,b=0,b=0,故故a+b=a+b=a1 2a,a12a 21xbx32211xbxxbxbx0,332 2x,3 3 110.331a,3(3)(3)由题意知由题意知f(0)=0,f(0)=0,当当x0 x0,-x0,f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2=x=x2 2, ,又又f(-x)=-f(x),f(x)=-xf(-x)=-f(x),f(x)=-x2 2, ,综上，综上，答案：答案：(1)(1)否否 是是 是是 是是 否否 否否

4、(2)(2)(3)(3)22x ,x0f(x)0 x0 .x ,x0，1322x ,x0 x ,x02.2.奇、偶函数图象的性质奇、偶函数图象的性质(1)(1)奇函数图象的特征：关于奇函数图象的特征：关于_对称对称. .(2)(2)偶函数图象的特征：关于偶函数图象的特征：关于_对称对称. .原点原点y y轴轴【即时应用即时应用】(教材改编题教材改编题)函数函数 f(x)1xx 的图象关于的图象关于()Ay 轴对称轴对称B直线直线 yx 对称对称C原点对称原点对称D直线直线 yx 对称对称【解析解析】f(x)f(x)，函数函数f(x)为奇函数为奇函数【答案答案】C已知已知y=f(x)y=f(x)

5、是偶函数，且其图象与是偶函数，且其图象与x x轴有轴有5 5个交点，则方程个交点，则方程f(x)=0f(x)=0的所有实根之和是的所有实根之和是_._.【解析解析】由于偶函数的图象关于由于偶函数的图象关于y y轴对称，故其与轴对称，故其与x x轴的轴的5 5个交个交点亦关于点亦关于y y轴对称，或在轴对称，或在y y轴上，故其和为轴上，故其和为0.0.答案：答案：0 0 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性【方法点睛方法点睛】判断函数奇偶性的常用方法及思路判断函数奇偶性的常用方法及思路(1)(1)定义法：定义法：(2)(2)图象法：图象法：(3)(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数

6、的奇性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇偶性偶性 奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数【提醒提醒】“性质法性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的成立的. . 【例例1 1】判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x(1)f(x)=x3 3-x;-x;(2)f(x)= ;(2)f(x)= ;(3)f(x)=(3)f(x)=【解题指南解题指南】由奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原由奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，

7、再计算点对称，再计算f(-x)f(-x)，并判断其与，并判断其与f(x)f(x)的关系，从而得出函的关系，从而得出函数的奇偶性数的奇偶性. .1x(x1)1x22xx,x0.xx,x0【规范解答规范解答】(1)(1)显然函数显然函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R，关于原点对称，关于原点对称，又又f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)3 3-(-x)=-(x-(-x)=-(x3 3-x)=-f(x),-x)=-f(x),f(x)f(x)为奇函数为奇函数. .(2)(2)使使f(x)= f(x)= 有意义，则有有意义，则有 0 0且且1+x0,1+x0,解得函数的定义域为解得函数的定

8、义域为(-1,1(-1,1, ,不关于原点对称，因此函数不关于原点对称，因此函数f(x)f(x)既不是奇函数，也不是偶函数既不是奇函数，也不是偶函数. .1x(x1)1x1x1x(3)(3)显然函数显然函数f(x)f(x)的定义域为：的定义域为：(-(-，0)(0,+)0)(0,+)，关于原点对称，关于原点对称，当当x0 x0-x0，则，则f(-x)=-(-x)f(-x)=-(-x)2 2-x=-x-x=-x2 2-x=-f(x)-x=-f(x)；当当x0 x0时时,-x0,-x0，则，则f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2-x=x-x=x2 2-x=-f(x)-x=-f(x)；综上

9、可知：对于定义域内的任意综上可知：对于定义域内的任意x x，总有，总有f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)成立，成立，函数函数f(x)f(x)为奇函数为奇函数. .【互动探究互动探究】若将本例若将本例(2)(2)的函数改为的函数改为f(x)= f(x)= 其奇偶其奇偶性又如何呢？性又如何呢？【解析解析】易知函数易知函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(-1,0)(0,1)(-1,0)(0,1)，关于原点，关于原点对称，对称，f(x)=f(x)=又又f(-x)=f(-x)=函数函数f(x)f(x)为奇函数为奇函数2lg(1x )| x2| 2，2lg(1x )x，2lg(1x )f(

10、x)x ，【反思反思感悟感悟】利用定义法判断函数奇偶性时，先求定义域，利用定义法判断函数奇偶性时，先求定义域，当解析式较复杂时，要在定义域内先化简，再计算当解析式较复杂时，要在定义域内先化简，再计算f(-x),f(-x),否则否则可能得到错误结论可能得到错误结论. .【尖子生尖子生】设函数设函数f(x)和和g(x)分别是分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是立的是()Af(x)|g(x)|是偶函数是偶函数 Bf(x)|g(x)|是奇函数是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数是偶函数 D|f(x)|g(x)是奇函数是奇函数【解析】【解析】由由f(x)是

11、偶函数、是偶函数、g(x)是奇函数，是奇函数，得得|f(x)|和和|g(x)|都是偶函数，都是偶函数，f(x)|g(x)|与与f(x)|g(x)|都是偶函数，都是偶函数，|f(x)|g(x)与与|f(x)|g(x)的奇偶性不能确定的奇偶性不能确定【答案】【答案】A 应用函数奇偶性应用函数奇偶性【方法点睛方法点睛】应用函数奇偶性可解决的问题及方法应用函数奇偶性可解决的问题及方法(1)(1)已知函数的奇偶性，求函数值已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. .(2)(2)已知函数的奇偶性求解析式已知函数的奇偶性求解析式

12、将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)f(x)的方程的方程( (组组) )，从而得到，从而得到f(x)f(x)的解析式的解析式. .(3)(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用常常利用待定系数法：利用f(x)f(x)f(-x)=0f(-x)=0得到关于待求参数的得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解. .(4)(4)应用奇偶性画

13、图象和判断单调性应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性单调性. .【例例2 2】(1)(1)设设f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，当上的奇函数，当x0 x0时，时，f(x)=2xf(x)=2x2 2- -x x，则，则f(1)=( )f(1)=( )(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3(2)(2)若函数若函数f(x)=xf(x)=x2 2+(m-1)x-3+(m-1)x-3为偶函数为偶函数, ,则则m=( )m=( )(A)-2

14、 (B)-1 (C)1 (D)2(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2(3)(3)已知偶函数已知偶函数f(x)f(x)在区间在区间0 0，+)+)上单调递增，则满足上单调递增，则满足f(2x-f(2x- )f( ) )f( )的的x x的取值范围是的取值范围是( )( )22 A (,0)(B)(0, 2)(C)(0,2 2)(D)( 2,)【解题指南解题指南】(1)(1)将求将求f(1)f(1)的值转化为求的值转化为求f(-1)f(-1)的值的问题求的值的问题求解；解；(2)(2)由题意可知由题意可知f(-x)-f(x)=0f(-x)-f(x)=0，从而得到关于，从而得到关于x x的恒等

15、式，再构的恒等式，再构建建m m的方程求解；的方程求解；(3)(3)根据奇偶性得到根据奇偶性得到f(2x- )=f(|2x- |),f(2x- )=f(|2x- |),将原不等式转化为将原不等式转化为f(|2x- |)f( ),f(|2x- |)f( ),从而求解从而求解. .2222【规范解答规范解答】(1)(1)选选A.A.由奇函数的定义有由奇函数的定义有f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)，所以，所以f(1)=-f(-1)=-f(1)=-f(-1)=-2 2(-1)(-1)2 2+1+1=-3.=-3.(2)(2)选选C.C.由题意知由题意知f(x)=f(-x),f(x)=f(-

16、x),即即x x2 2+(m-1)x-3=(-x)+(m-1)x-3=(-x)2 2-(m-1)x-3,-(m-1)x-3,2(m-1)x=0,xR,m=1.2(m-1)x=0,xR,m=1.f(2x- )=f(|2x- |)f(2x- )=f(|2x- |)，又又f(x)f(x)在在0,+)0,+)上单调递增上单调递增, ,由由f(|2x- |)f( )f(|2x- |)f( )得：得：|2x- | ,|2x- | ,解得解得:0 x .:0 x0 x0时，时，-x0,-x0,又又x0 x0时，时，f(x)=2xf(x)=2x2 2-x,-x,f(-x)=2(-x)f(-x)=2(-x)2

17、2-(-x)=2x-(-x)=2x2 2+x,+x,又又f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),即即:-f(x)=2x:-f(x)=2x2 2+x,f(x)=-2x+x,f(x)=-2x2 2-x.-x.综上综上,f(x)=,f(x)=222xx,x0.2xx,x0【反思反思感悟感悟】利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、求解析式、作图象、判定单调性问题转化为已知区间上的函数求解析式、作图象、判定单调性问题转化为已知区间上的函数值、解析式、图象、单调性问题求解，充分体现了数学的转化值、解析式、图象、单调性问题求解，充分体现了数学的转化与化归

18、思想与化归思想. .【尖子生尖子生】奇函数奇函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为-5,5-5,5. .若当若当xx0,50,5时，时，f(x)f(x)的图象如图所示，则不等式的图象如图所示，则不等式f(x)0f(x)0的的解集是解集是_._.【解析解析】由奇函数图象对称性补出其在由奇函数图象对称性补出其在-5,0)-5,0)上的图象，由图上的图象，由图象知解集为象知解集为(-2,0)(2,5(-2,0)(2,5. .答案：答案：(-2,0)(2,5(-2,0)(2,52 2 已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,且且x0 x0时时,f(x)=x,f(x)=

19、x2 2-2x+m.-2x+m.(1)(1)求求m m及及f(-3)f(-3)的值的值; ;(2)(2)求求f(x)f(x)的解析式并画出简图的解析式并画出简图; ;(3)(3)写出写出f(x)f(x)的单调区间的单调区间( (不用证明不用证明).).【解析解析】(1)f(x)(1)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,f(0)=0,m=0,f(0)=0,m=0,当当x0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-2x,-2x,f(-3)=-f(3)=-3.f(-3)=-f(3)=-3.(2)(2)当当x0 x0,-x0,f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2-2(

20、-x)=x-2(-x)=x2 2+2x.+2x.f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数,f(-x)=-f(x).,f(-x)=-f(x).-f(x)=x-f(x)=x2 2+2x,+2x,即即f(x)=-xf(x)=-x2 2-2x(x0).-2x(x0).f(x)f(x)的解析式为的解析式为f(x)f(x)的图象如图的图象如图22x2x(x0)f(x),x2x(x0)(3)(3)由由f(x)f(x)的图象可知的图象可知:f(x):f(x)的增区间为的增区间为(-,-1(-,-1, ,1,+),1,+),减减区间为区间为-1,1-1,1. . 三年三年1111考考 高考指数

21、高考指数: :1.1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性数的周期性1.1.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考点；函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考点；2.2.常与函数的图象、单调性、对称性、零点等综合命题常与函数的图象、单调性、对称性、零点等综合命题; ;3.3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题目多以选择、填空题的形式出现，属中低档

22、题目. .【创新探究创新探究】创新应用函数的奇偶性与周期性创新应用函数的奇偶性与周期性【典例典例】(2011(2011福建高考福建高考) )对于函数对于函数f(x)=asinx+bx+c(f(x)=asinx+bx+c(其其中中,a,bR,cZ),a,bR,cZ)，选取，选取a,b,ca,b,c的一组值计算的一组值计算f(1)f(1)和和f(-1)f(-1)，所，所得出的正确结果一定不可能是得出的正确结果一定不可能是( )( )(A)4(A)4和和6 (B)36 (B)3和和1 1(C)2(C)2和和4 (D)14 (D)1和和2 2【解题指南解题指南】解答本题需根据函数解答本题需根据函数f(

23、x)f(x)解析式的结构特征，构造解析式的结构特征，构造奇函数奇函数g(x)=f(x)-c,g(x)=f(x)-c,然后利用奇函数的性质，然后利用奇函数的性质，g(-1)+g(1)=0,g(-1)+g(1)=0,探探究出究出f(-1)+f(1)f(-1)+f(1)与与c c的关系，从而由的关系，从而由cZcZ限定限定f(1)f(1)与与f(-1)f(-1)不可能不可能的取值的取值. .【规范解答规范解答】选选D.D.令令g(x)=f(x)-c=asinx+bx,g(x)=f(x)-c=asinx+bx,g(-x)=asin(-x)+b(-x)=-(asinx+bx)g(-x)=asin(-x)

24、+b(-x)=-(asinx+bx)=-g(x),=-g(x),g(x)g(x)为定义在为定义在R R上的奇函数上的奇函数. .则由奇函数的性质，得则由奇函数的性质，得:g(-1)+g(1)=0,:g(-1)+g(1)=0,即即f(-1)+f(1)-2c=0.f(-1)+f(1)-2c=0.f(-1)+f(1)=2c,f(-1)+f(1)=2c,又又cZ,f(1)+f(-1)cZ,f(1)+f(-1)是偶数，是偶数，而选项中只有而选项中只有D D中两数和为奇数，故选中两数和为奇数，故选D.D.【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们得到以下创新点通过对本题的深入研究，我们得到以下创新

25、点拨及备考建议拨及备考建议: :1.(20111.(2011山东高考山东高考) )已知已知f(x)f(x)是是R R上最小正周期为上最小正周期为2 2的周期函数的周期函数, ,且当且当0 x20 x2时时,f(x)=x,f(x)=x3 3-x-x，则函数，则函数y=f(x)y=f(x)的图象在区间的图象在区间0,60,6上与上与x x轴的交点个数为轴的交点个数为( )( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9(A)6 (B)7 (C)8 (D)9【解析解析】选选B.B.令令f(x)=xf(x)=x3 3-x=0,-x=0,即即x(x+1)(x-1)=0,x(x+1)(x-1)=0,所以所以x

26、=0,1,-1,x=0,1,-1,因为因为0 x2,0 x2,所以此时函数的零点有两个所以此时函数的零点有两个, ,即与即与x x轴的交点个数为轴的交点个数为2.2.因为因为f(x)f(x)是是R R上最小正周期为上最小正周期为2 2的周期函数，的周期函数，所以所以2x4,4x62x4,4x6上也分别有两个零点，上也分别有两个零点，由由f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,知知f(6)f(6)也是函数的零点，也是函数的零点，所以函数所以函数y=f(x)y=f(x)的图象在区间的图象在区间0,60,6上与上与x x轴的交点个数为轴的交点个数为7.7.2.(2012 2.(2012 汕头模拟汕头模拟)“a=0”)“a=0”是是“函数函数y=ln|x-a|y=ln|x-a|为偶函数为偶函数”的的( )( )(A)(A)充要条件充要条件(B)(B)充分不必要条件充分不必要条件(C)(C)必要不充分条件必要不充分条件(D)(D)既不充