《点集拓扑学》复习题

1、点集拓扑复习题一、概念叙述1、拓扑空间 2、邻域、邻域系 3、集合A的凝聚点4、闭包 5、基 子基 6、子空间7、（有限）积空间 8、隔离子集 9、连通集10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间13、空间 14、空间 15、可分空间16、空间 17、空间（） 18、正则空间19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间二、判断题1、有限集不可能有聚点 （ ）2、拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是 （ ）3、如果，则 （ ）4、设Y是拓扑空间X的子空间，A是Y的子集，则A在Y中的导集是A在X中的导集与Y的交。 （）、若是同胚映射，则（

2、）、离散空间中任意子集的导集都是空集（）、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集（）、度量空间必是空间（）、在中，是开集（）、映射是连续映射的若拓扑空间中序列收敛于，则扑拓空间中相应序列收敛于（）、设为拓扑空间，为连通分支，是的一个连通子集，则（）、空间必为可分空间（）、正则且正规空间必为空间（）、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集（）、设是一个拓扑空间，则点是集合的一个凝聚点在中有一个序列收敛于（）、度量空间也是拓扑空间（）、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间（）、拓扑空间是一个连通空间当且仅当中不存在既开又闭的非空真子集. ( )19、若拓扑空间中的子集是连通集，

3、则它的闭包也是一个连通集。20、设、是拓扑空间中的两个连通子集，则也是的一个连通子集 （ ）21、如果、是拓扑空间中两个不交的开子集，则、必是X中隔离子集 （ ）22、拓扑空间的可分性是一个可遗传性 （ ）23、正规空间必是Hausdorff空间 （ ）24、在一个紧致的空间中，一个集合是紧致子集它是一个闭集（ ）25、紧空间必是Lindelf空间 （ ）26、度量空间中紧致集必是有界闭集 （ ）27、正则空间必是Hausdorff空间 （ ）28、设是空间、的积空间，,分别是、中闭集 （ ）29、设、是拓扑空间中两个子集，并且，则有 （ ）30、若拓扑空间是连通空间，则必是局部连通空间 （

4、）三、填空1、设是同胚映射，则必是一一映射，并且 和 都是连续的。2、设是拓扑空间的子集，的拓扑称为 ；拓扑空间称为的 。3、连通空间中既开又闭的子集只能是 和 。4、设是拓扑空间，若的每一 覆盖都有一个 ，则是Lindelf空间。5、正规的 空间或紧致的 空间是空间。6、是拓扑空间。若的每一个 开覆盖都有 ，则是可数紧致空间。7、如果是离散空间中一个非空连通子集，则必是 。8、如果是一个可数集，则上的可数补拓扑空间必定是 。9、设是离散度量空间，上度量为则中任一点的球形邻域 。10、在拓扑空间中，如果子集是开集，是闭集，则是 是 。11、设是实数集上的可数补空间，是中一个可数集，是中一个不可

5、数集，则 ，= 。12、如果集合上的任一拓扑，拓扑空间都是紧致空间，则必是 。13、在平面空间中，度量定义为任意两点则以原点为中心，为半径的球形邻域的图形是 。14、积空间的子基元素的一般形式是 或 。15、设是实数空间的一个子空间，则的子集是的 。16、在实数空间中，取为整数集，为有理数集，则 ， 。17、设=，上拓扑，取子集，则 。18、如果是平庸空间，则必为紧致空间，它的每一个开覆盖A，必有有限子覆盖= 。四、单选题1、设=，它的一个拓扑是（ ） 2、设是拓扑空间，为所有闭集构成的族，则有（ ）若 则有若 则有 若 则3、设为拓扑空间，则对，必有（ ） 是闭集4、设为拓扑空间，则有 （

6、） 的任意邻域都是的开集 的任意邻域都是的闭集 包含的开集都是的邻域 若是的邻域，但不是的邻域5、已知是实数空间的一个开子空间，那么下列集合中是空间中的开集是 （ ） 其中6、设，是平庸拓扑，中两子集是隔离的是（ ） 与 与 与 与7、下面命题中正确的是（ ） 平庸空间是空间 在空间中，存在收敛于两个不同的极限点的序列 空间未必是空间 空间中每一单点集都是闭集8、若是空间，则必是（ ） 正则空间 正规空间 空间 空间9、下面不连通的拓扑空间是（ ） 实数空间 平庸空间 包含多于两个点的离散空间 拓扑学家正弦曲线10、下面正确的命题是（ ） 设是连续映射，若 满足第二可数性公理（即是空间），则

7、也是空间。空间必存在一个子空间不满足第二可数性公理。 若拓扑空间都是空间，则积空间也是空间。空间未必满足第一可数性公理。11、拓扑空间中，是隔离子集，则在子空间中子集是（ ） 开集，但不是闭集 闭集，但不是开集 既是开集，又是闭集 既不是开集，又不是闭集 12、在实数空间中，子集，其中可能有同胚关系的是（ ） 与 与 与 与13、拓扑空间中“每一个序列至多收敛于一点”是“这个空间为空间”的（ ）。 充分条件 必要条件 充分必要条件 既不是充分条件，也不必要条件14、设是实数空间的一个子空间，则中的子集是的（ ） 开集，但不是闭集 闭集，但不是开集 既是开集，又是闭集 既不是开集，又不是闭集 1

8、5、设集合上的下限拓扑空间，则下述四个性质中，不正确的是（ ） 是空间 是空间 是可分空间 是空间 16、拓扑空间中“只有单点集”是“为离散空间”的（ ） 充分条件 必要条件 充分必要条件 既不是充分条件，也不必要条件五、证明题1、设是一个集合，令，则是的一个拓扑2、有理数集作为实数空间的子空间是不连通的3、包含不可数个点的离散空间不满足第二可数性公理4、拓扑空间的子集是开集的充要条件是是它的每一点的邻域5、若是空间，则中的每个单点集都是闭集。6实数空间不是一个紧致空间。7、包含不少于两个点的平庸空间不是空间。8、设为度量空间，如果为有限集，证明：为离散空间。9、设为拓扑空间，证明：如果的每一个子集都满足，则是离散空间。10、设为拓扑空间， （其中为实数