高二数学直线的方程知识点及习题

1、直线的方程知识点及习题知识点一 直线的点斜式方程1.方程 (00y y k x x -=-由直线上一定点及其斜率确定,我们把这个方程叫做直线的点斜式方程,简称点 斜式.适用于斜率存在的直线.2.如果直线过点 (000, P x y ,且与 y 轴垂直,这时倾斜角为 0, tan 00=,即 0k =,由点斜式,得直线方 程为 0y y =,如图 3. 2-1. 3. 如果直线过点 (000, P x y , 且与 x 轴垂直, 此时它的倾斜角为 90(直线与 y 轴平行或重合 , 斜率不存在, 它的方程不能用点斜式表示,这时直线方程表示为 0x x =,如图 3. 2-2. 知识点二 直线的点

2、斜式方程(1我们把直线 l 与 y 轴交点 (0, b 的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距.若直线 l 的斜率为 k ,且在 y 轴 上的截距为 b ,则直线 l 的方程为 (0y b k x -=-,即 y kx b =+,这个方程叫做直线的斜截式方程,简称斜 截式.(2斜截式与一次函数的解析式相同,都是 y kx b =+的形式,但有区别,当 0k 时, y kx b =+即为一次 函数;当 0k =时, y b =不是一次函数,一次函数 y kx b =+(0k 必是一条直线的斜截式方程. 例 1. 已知直线 y kx b =+,当 34x -时, 813y -. 求此直线方

3、程 .(3截距直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的.直线与 y 轴的交点 (0, b 的纵坐标 b 称为此直线的纵截距. 值得强调的是, 截距可能是正数, 也可能是负数, 还可能是 0, 不能将其理解为 “距离” 而恒为非负数.直线与 x 轴的交点 (,0a 的横坐标 a 称为此直线的横截距.并不是每条直线都有横截距和纵截距,如 直线 1x =没有纵截距,直线 2y =没有横截距.练习 (1 直线 123y x =-+的斜率是 _, 在 y 轴上的截距是 _, 在 x 轴上的截距是 _;(2倾斜角为 60,在 y 轴上的截距为 3的直线方程是 _.例 2 已知直线 1l 的方程为 23y x

4、=-+, 2l 的方程为 42y x =-,直线 l 与 1l 平行且与 2l 在 y 轴上的截距相同, 求直线 l 的斜截式方程.练习 , . 已知直线 l 过点 (1,2 和 (, a b ,求其方程 .本题常见的错误是没有对 a 进行分类讨论,而是直接利用斜率公式求斜率,然后套用点斜式写直线方程 . 在 利用点斜式或斜截式求直线方程时,要注意直线方程的点斜式 00( y y k x x -=-和斜截式 y kx b =+都是 斜率 k 存在的前提下才能使用的,要认真分析,避免遗漏 .1. 直线的两点式方程的定义212y y y y -=121x x x x -就是经过两点 111222(

5、, , (, p x y p x y (其中 1212, x x y y 的直线方程, 我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式 .2. 若点 12, p p 的坐标分别为 1122(, ,(, x y x y ,是线段 12p p 的中点 M 的坐标为 (, , x y 则有中点坐标公式:121222x x x y y y +=+=.例 3:已知三角形的三个顶点分别为 (6,7, (2,3, (2,1A B C -, 求 AC 边上的中线所在的直线方程 .3 直线的截距式方程直线与 x 轴的交点 (,0 a 的横坐标 a 叫做直线在 x 轴上的截距,若此时直线在 y 轴上的截距为 b ,则直

6、线的 方程为1(0, x yab a b+=此方程由直线在两个坐标轴上的截距 a 与 b 确定,所以叫做直线的截距式方程 . 求截距的方法在直线 l 的方程中,令 0x =,解出 y 的直线,即得直线 l 在 y 轴上的截距 . 令 y 0=,解出 x 的值,即得出直 线 l 在 x 轴上的截距 .例 4:求过点 A (1,1,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 .4 直线的一般式方程1. 定义在平面直角坐标系中,每一条直线都可以用一个关于 , x y 的二元一次方程表示,每一个关于 , x y 的二元一 次方程都表示一条直线,我们把关于 , x y 的二元一次方程 Ax +0By C +=(

7、其中 A , B 不同时为 0叫做 直线的一般式方程,简称一般式 . 2. 适用范围在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示 . 3. 几何意义(1当 0B 时, A k B -=(斜率 , C b B -=(y 轴上的截距 ; (2当 0A 时, Ca A-=(x 轴上的截距 .例 5. 根据条件写出直线方程,并化成一般式 . (1 (5,3A ; (2在 , x y 轴上的截距分别是 3, 1-.5直线过定点问题例 5. 已知直线 :5530l ax y a -+=. (1求证:不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限; (2为使直线不经过第二象限,求 a 的取值范围 .6解决与

8、面积、周长有关的问题例 6. 直线过点 4(, 2 3P ,且与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴分别交与 , A B 两点, O 为坐标原点,是否存在这样的直线能同时满足以下条件: AOB 的周长为 12; AOB 的面积为 6. 若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由 .课堂练习1. 已知直线方程 34 y x -=-,则这条直线经过的定点和倾斜角分别 ( A.(4,3,60 B.(3, 4,30- C.(4,3,30 D.(4, 3,60- 2. 若直线 (32 6y t x =-不经过第一象限,则 t 的取值范围为 . 3. 已知直线 12y x k =+与两坐标轴围成的三角形的

9、面积不小于 1,则实数 k 的取值范围是 . 4. 若直线 l 的倾斜角是直线 1y x =+的倾斜角的 2倍,且过定点 (3,3P ,则直线 l 的方程为 5.若三条直线 0, 0, 3x y x y x ay +=-=+=构成三角形,则 a 的取值范围是( A. 1a ± B. 1, 2a a C. 2a D. 1, 2a a ±6.若直线 350mx y +-=经过连接点 (1, 2, (3,4A B -的线段的中点,则 m =7. ABC 的三个顶点分别为 (0,4,(2,6, (8,0 A B C -. 求:(1边 AC 所在直线的直线方程; (2 AC 边上的中

10、线 BD 所在直线方程 .直线方程练习题一、选择题1.已知点 1, 0(-M ,点 N 在直线 01=+-y x 上,若直线 MN 垂直于直线 032=-+y x , 则点 N 的坐标是( A . 1, 2(-B . 3, 2(C . 1, 2(D . 1, 2(- 2.点 M , (b a 与 N 1, 1(+-a b 关于下列哪种图形对称( A .直线 01=+-y x B .直线 01=-y xC .点(21, 21-D .直线 0=-+b a y x3.若三条直线 l 1:x -y =0; l 2:x +y -2=0; l3:5x -ky -15=0围成一个三角形,则 k 的取 值范围

11、是( A . k R 且 k ±5且 k 1 B . k R 且 k ±5且 k -10C . k R 且 k ±1且 k 0D . k R 且 k ±54、如果直线 (2a +5x +(a -2 y +4=0与直线 (2-a x +(a +3y-1=0互相垂直,则 a 的值等于( A . 2 B .-2 C . 2, -2 D . 2,0, -2 5、两条直线 mx+y-n =0和 x+my+1=0互相平行的条件是( A m=1 B m=±1C -=11n m D -=-=1111n m n m 或 6、下列说法正确的有( 若两直线斜率相等,

12、则两直线平行; 若 l 1 l 2,则 k 1=k2;若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交; 若两直线斜率都不存在,则两直线平行。A 、 1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个7/直线 370x y +-=与 20kx y -=与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数 k = A.-3 B.3 C.-6 D.6二、填空题1.已知 ABC 中 A 1, 4(-, B 3, 2(-, C 1, 3(,则 ABC 的垂心是 2、直线 ax +3y +1=0与直线 2x +(a +1y +1=0平行 , 则 a 的值是 . 3、若直线 x+ay+2=0和 2x

13、 +3y +1=0互相垂直,则 a 等于 4、已知点 A (1,2、 B (3,1,则线段 AB 的垂直平分线的方程是 .5、点 P（2，5）关于直线 x+y=1 的对称点的坐标是 三、解答题 . 1 已知 A（1，1） ，B（2，2） ，C（3，0）三点，求点 D，使直线 CDAB，且 CBAD。 2、已知经过点 A（2，0）和点 B（1，3a）的直线 l1 与经过点 P（0，1）和点 Q（a，2a）的直线 l2 互相垂直，求实数 a 的值。 3、 已知两直线 l1 : ax - by + 4 = 0, l2 : (a - 1 x + y + b = 0 ,直线 l1 过点 (-3, -1 ， 并且直线 l1 与直线 l2 垂直, 求 a 、 b 的值 4设直线 l 的方程为 (a + 1 x + y + 2 - a = 0(a Î R . （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；