音频ADC中SigmaDelta调制器的工作原理和稳定性研究

1、电子科技2008年第2l卷第6期音频ADC中SigmaDelta调制器的工作原理和稳定性研究薛静,栾英姿(西安电子科技大学通信工程学院,陕西西安710061摘要深入地研究了Sigmadelta ADC的结构和工作原理。并详细地讨论了用根轨迹法对调制器稳定性 进行验证的方法,最后给出了使用MATLAB的计算机仿真结果,仿真很好地证明了上述方法的有效性和可靠性。 关键词SigmaDelta调制器;过采样;噪声整形;根轨迹法,稳定性中图分类号TN911.7文献标识码A 文章编号1007-7820(200806-013-05Working Principle and Stability Researc

2、h of Sigma-delta Modulator in Audio ADC Xue Jing,Luan Yingzi(School of Telecommunications Engineering,Xidian University,Xian 710071,ChinaAbstract In this paper,the structure and working principle of Sigma-delta ADC modulators are thorough ly studied.And the stability analysis using rootlocus method

3、is discussed in detail.Finally,the formulation re-suits using MATLAB are given,which show the feasibility and credibility of this method.Keywords sigmadelta modulator;oversample;noise shaping;rootlocus method;stability数字多媒体技术的发展使得16位以上的高分辨率ADC被大量使用,而数字信号处理技术的日 益成熟,则使得Sigma.Delta模/数转换技术在音频 领域取得了越来越广泛

4、的应用。使用这项技术可 以简化前置抗混叠滤波器的设计,大大减小模拟 电路的复杂度和指标要求,并且用l bit量化器就 可以达到16位以上的设计精度。它的基本思想是 先对信号进行过采样,接着用负反馈网络对量化 噪声进行低频衰减,高频放大,把大部分噪声功 率整形到信号频带之外,最后用数字滤波器滤除 带外噪声,达到提高精度的目的。文中具体给出 了Sigma-Delta调制器的结构和工作原理,并详细 地讨论了用根轨迹法对调制器稳定性进行验证的 方法,该方法简单明了,可以方便的应用到实际 的设计过程中。收稿日期:2007.09,04基金项目:国家自然科学基金资助项目(60496316作者简介:薛静(19

5、81一,女,硕士研究生。研究方向:通信信号处理,移动通信方向。 1SigmaDelta ADC的结构,o-r作原理(1一阶Sigma.Delta ADC的结构和工作 原理文献1指出,一阶SigmaDelta ADC的结构 如下图1所示。从框图可以很清晰的看到过采样,噪声整形 以及数字低通滤波这3个主要的信号处理过程。 文献2指出,过采样就是用比奈奎斯特采样速 率高得多的速率进行采样,此时有限的噪声功率 将在非常宽的频带内进行分布,从而使信号频带 内的噪声功率大大减少,因此带来了信噪比的 提高。从图1中可以看到,采样速率为Z,信号的最,高频率为fo,因此定义过采样率为OSR=。-.,0为了分析负

6、反馈网络的噪声整形效果,引入 一阶调制器的线性模型,如图2所示,量化器用一 个加性噪声源代替。音频ADC中SigmaDelta调制器的工作原理和稳定性研究圆 输Z.X(Z量化器一阶SigmaDelta调制器图1一阶SigmaDelta ADC的结构框图 输出Hz图2一阶调制器的线性模型由图2可得y(Z=STF(Z宰X(z+NTF(z宰E(z(1 】,(Z一E(z=Lo拳X(z+Ll木Y(Z (2 STF(z和NTF(Z分别是信号传输函数和噪 声传输函数,厶和。是回路增益。由式(1和式(2可得/k -' 0旦 N T E 鬻 ,L h l 错 N T F (3一(Z 一 Z 、。, 从图

7、1的结构图可以看到厶2去:-=一者 (4 由式(3和式(4可得STF(Z=Z,NTF(z=1一Z“ (5 所以一阶调制器的系统传输函数为l厂(z=Z-1,lcX(Z+(1一Z-1:lcE(Z (6 从传输函数可以看出,调制器对信号只是进 行了延时,对噪声则是进行了高通滤波,因此大 部分噪声将被整形到高频部分,大大减小了信号 频带内的噪声,从而显著提高了信噪比;(2二阶SigmaDelta ADC的结构及信噪比计 算公式的推导二阶Sigma-Delta ADC的线性模型如下图3所 示(注:调制器的阶数就是指调制器中积分器的个 数。引入量化噪声E(刁J圭I 3二阶调制器的线性禊型对照图2,可以得到

8、,在图3中,因为风=刍,吼=两1(7 所以从图3中可以看到,Lo=H。必,=(一珥一1刀j=二群(8由式(3可得STF=尚=z。1(9 N,I'F.=击=(1一Z-12(10 所以,二阶调制器的系统传相数为 Y(Z=Zx(z+(1一Z。12E(Z(11 同理可得,N阶调制器的系统传输函数为 r(z=Zx(z+(1一Z。E(Z(12 计算带内噪声功率%2。-r盯:I NTF(Z12df (13 其中,吼2为噪声功率谱密度,对于加性白噪声有盯:=篙万1(14 盯t 2西百 【14,NTE(ZI-l 1一Z一1j-l 1-e-sT:l 1一e一譬l-拳产2j e叫叶珐州旁音频ADC中Sigm

9、a-Delta调制器的工作原理和稳定性研究所以,一阶调制器输出的基带噪翠为 矿=t盯:J NTF(zJ2妒=篙丢厶(钾2妒=篙芋击,同理可得,对于阶调制器盯孙垡嘉.-(O S l 2牡11(16盯r(2一。丽。J L 10,而信号功率盯,2=簪=竿(17由式(17和式(18可得 sNR一:L丝墨P譬型(18用dB表示可得sNR“.02“.7610loglo(南+10(2L+1loglo(OSR(19其中:忙量化器bit数,调制器阶数,OSR过采样率。可见,调制器阶数越高,噪声整形效果越好,如图4所示。图4不同阶数调制器整形效果的比较(3不同阶数问噪声整形性能的比较图5给出了一阶调制器中各信号变

10、化过程的仿 真结果,输人为11/20的直流信号。结合图1和图5,可以看到,当Y(n为1时,(站大于茗(死,则它们的差值珏(忍是负数,这个负数进入积分器将使得积分器的输出移(n减小, 经过一些时钟周期后,足够多的负数进入积分器, 使得输出秽(n变为负值,贝|j此时的量化器的输出 ,(疗将为一1,而此时输入和输出的差值“(n又 成为了正数,这个正数进入积分器,从而使得一些时钟周期后积分器的输出口(n又变为正值,如 此循环。因此,在这样的一个负反馈系统中,在 较长的时间段内,输入和输出信号之间的正的误 差和负的误差将抵消,一定时间内的输出的均值 反映了输入的变化。所以,SigmaDelta调制技术就

11、是用比奈奎斯 特采样速率高得多的速率进行采样,得到一组变 化的数字输出值,用这些输出值的平均值表示ADC 的转换结果便能得到比用同样ADC高得多的采样 分辨率。从前面的公式推导可以看到,阶数越高,对 噪声进行高通整形的效果越好,从图3也可以看 到,二阶的系统相当于把一阶系统中已经经过滤 波的误差信号又进行了一次高通滤波,因此输出 和输入的差值将进一步减小;输入信号巾;之0.4赵馨0.2O>寇馨弛 拂0餐一0.5_。一1.0O 10203040506070积分器输出信号”(n10203040506070调制器输出信'gy(nf雨m丽币丽1ff丽币丽雨雨丽iff丽1fflc 川i.i

12、i.i.ij jI¨电子科技/2008年6月15日15音频ADC中Sigma-Delta调制器的工作原理和稳定性研究同时,图2所示的单环路结构具有统一的噪声 传输函数NTF=(1一z。1,它的N个极点都在原 点,稳定性非常差。因此,引入反馈系数,人为 添加N个极点,以达到控制带外噪声增益,增强餐群罐一号 x冷睡抄镌掺谁蚓嚣F翁争图6实际中的三阶调制器结构根据上述结构可以写出系统的信号传输函数 和噪声传输函数如下NTF(Z=f墨=12:Z3+(b33z2+(b2+32b3Z+(b3一b2+bl一1 (20 S,IF(Z=竺!竺!竺!矛+(b33z2+(b2+32b3z+(b3一b2+b

13、l一1 .(21 于是,设计调制器系统结构就归结为选取合 适的具有高通特性的噪声传输函数NTF(z的 问题。经Maflab仿真,确定用三阶巴特沃兹高通滤 波器来实现式(21中的NTF,它的归一化通带截 止频率为0.127kHz,带外噪声增益为3.5dB,实 现的噪声传递函数如下式所示 wrr(z=万历死%茜丽 (22 对照式(21和式(23,可以由噪声传输函数 得到调制器系数,由Matlab仿真得到相应的l bit 的输出信号,计算该信号的频谱,如下图7所示, 可以看到,所设计的调制器系数很好的实现了把 量化噪声向高频段搬移的目标,达到了约110dB 的理想信噪比。图7中只显示出了归一化频谱一

14、部 分,信号频带是0kHz一24kHzO-20-40笔一60篓一80一100一120一140一160频率/kHz图7调制器仿真输出结果频谱2使用根轨迹法仿真调制器的稳定性问题 简单的计算可以发现,式(20所表示的传输 函数的3个极点都在单位圆内,从表面看系统的稳 定性应该是没有问题的,但是要注意式(20中噪 声传递函数的得到,是基于把量化器简单等效为 一个加性噪声源的线性模型的假设,实际中,量 化器的非线性使得调制器的稳定性研究变得非常 复杂。在接下来的稳定性分析中,文献3,4指 出,在线性模型的基础上,应进一步把量化器等 效为一个带有可变随机增益入的噪声源,入定义为 量化器输出和输入的比,当

15、量化器输入变化时,入 随之变化,在0一+之问取值,从而得到图8所 示的变增益模型。引入量化噪声E(刁y(刁图8改进后的调制器模型下面用根轨迹法来对调制器稳定性进行分析,因为改进后模型的噪声传递函数为NTF(Z2南 (23因此,调制器的极点就是特征方程1一A厶=0的根。又由式(3和式(23可得,一堕(兰2二!一“1一NTF(Z 一尘等差高等笔些1婴 (抖 一3Z2+3Z一 、。 把厶代入,则最终的特征方程为音频ADC中Sigma-Delta调制器的工作原理和稳定性研究,A(一0.7929+1.3008z一0.5521 卜一一一。z,j_=旁而二i一(25对调制器的稳定性进行根迹分析,就是考察 调

16、制器的闭环极点是否在单位圆内,也就是上述 特征方程的根(与A有关是否在单位圆内,如果 对所有出现的A值,特征方程的根都没有超出单 位圆(负实轴除外,a8anoscillationathalf the sampiing hequency is toleranted inanoiseshaper,则系统就是稳定的。rcrr(Z有3阶零点,所以。有3个极点,根 轨迹有3个分支。以0.001为步长给出一组A,它的取值范围为 0.001-4,用Matlab仿真得到如下图9所示的根 轨迹图。根轨迹:一 /,1q2J:一从图9的仿真结果可以看到,随着A的减小, 根轨迹的一些分支开始向单位圆外移动,如图中 轨

17、迹1,2所示,不同的分支会在A取不同值时与 单位圆相交,定义这些中的最大者为A们他表示 的是实际中允许出现的最小的A值,也反映了量 化器所允许的最大输入。如果在一段连续的时钟 周期内,量化器都工作在增益小于A山的状态,则 量化器的输入将持续增加,也即输人和输出之间 的量化误差将不断累积,从而引起系统的不稳定。有两种方法可以增强系统的稳定性,一种是 采用截断的方法,确保量化器的输入电平小于一 定门限,以使得量化器的增益A总是或在大多数 情况下都大于A也,另一种方法是设计一个Am较小 的调制器,这样在量化器输入较大的情况下,系 统也不会失去稳定性。参考文献1洪亮.可重构24bit音频过采样DAC的FPGA实现我校与中国太原卫星发射中心签署战略合作协议2008年4月19日,我校与中国太原卫星发射中心合作协议的签字仪式在太原卫星发射中心举行。出席签字仪式的有 太原卫星发射中心徐宏亮司令员、王建俊政委、张志伟副司令员、于志坚总工程师等领导。我校段宝岩校长、都跃副校 长、余南楠副校长及党政办公室、科研处、研究生院等单位有关领导和专家参加了签字仪式。徐宏亮司令员对我校代表团 的到访表示热烈的欢