二次函数几种解析式求法

1、1 / 16二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。一、三点型例 1已知一个二次函数图象经过(-1，10)、( 2，7)和(1，4)三点，那么这个函数的解析式是_ 。2分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax +bx+c,将三个点的坐标代入，易得 a=2,b=-3,c=5。故所求函数解析式为y=2x2-3x+5.这种方法是将坐标代入y=ax2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系2数 a, b , c,进而获得解析式 y=ax +bx+c.二、 交点型2

2、 2例 2 已知抛物线 y=-2x+8x-9 的顶点为 A，若二次函数 y=ax +bx+c 的图像经过 A 点，且与 x 轴交于 B(0，0)、C(3，0)两点，试求这个二次函数的解析式。_ . . 2分析要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也 y=-2x +8x-9 的顶点 A (2， -1 )。将 A 点的坐标代入 y=ax(x-3),得到 a=21123x xy=2x(x-3),即 y=22.三、 顶点型2例 3 已知抛物线 y=ax +bx+c 的顶点是 A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。2 / 16分析此类题型可设顶点坐标为(m,k)，

3、故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设 y=a(x+1)2+4.3 / 161再将点(1,2)代入求得 a=-212(x+1)2十4,/. y=-212x即 y=-2由于题中只有一个待定的系数 a,将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。四、平移型2例 4 二次函数 y=x +bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3 个单位得二次函2数y =x -2x 1,则 b 与 c 分别等于(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析逆用平移分式，将函数y=x2-2x+1 的顶点(1, 0)先向下平移 3 个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为(3

4、, -3)。=x-6x 6. b=-6,c=6.因此选(B) 五、弦比型2例 5 已知二次函 y=ax +bx+c 为 x=2 时有最大值 2,其图象在 X 轴上截得的线段长 为 2,求这个二次函数的解析式。分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=al就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A (1, 0) , B ( 3, 0)。再应用交点式或顶点式求得解析式为 y=-2x2+8x-6.六、识图型-x 72.2y=xbx c = (x -3)2-34 / 16丄x2+(b +2)x+c x2+(b 2)x + d抛物线 y=2与 y=2其中一条的顶点为另一条

5、与 X 轴交于 M、N 两点。(1) 试判定哪条抛物线与 X 轴交于 M、N 点?(2) 求两条抛物线的解析式。丄x2+(b +2)x + c(1)抛物线 y=2与 x 轴交于 M , N 两点(过程从略)；1x2+(b -2)x +d(2)因 y=2的顶点坐标为(0, 1), b-2=0,d=1, b=2. Y=212x将点 N 的坐标与 b=2 分别代入 y=2+(b+2)x+c 得 c=6.+4x+6七、面积型例 7 已知抛物线 y=xbx c的对称轴在 y 轴的右侧，且抛物线与y 轴交于 Q (0, -3),与 x 轴的交点为 A、B,顶点为 P, PAB 的面积为 8。求其解析式。2

6、解 将(0, -3)代入 y=x bx c得 c=-3.由弦长公式，得AB =+12例 6 如图 1,P,图15 / 16-12 -b2点 P 的纵坐标为4由面积公式，得解得b h 2因对称轴在 y 轴的右侧， b=-2.2所以解析式为 y=x -2x-3八、几何型2例 8 已知二次函数 y=x-mx+2m-4 如果抛物线与 x 轴相交的两个交点以及抛物线的 顶点组成一个等边三角形，求其解析式。解由弦比公式，得 AB=-4(2m-4) =|m-4(m4)2顶点 C 的纵坐标为-4/ ABC 为等边三角形解得 m=42.3,故所求解析式为2 -y=x -(4 2 3)x 4 4,3,或 y=x

7、(42 3)x -43九、三角型12例 9 已知抛物线 y=x +bx+c的图象经过三点(0,25)、(si nA, 0)、(sinB , 0)A、B 为直角三角形的两个锐角，求其解析式。2b212-12 -b24(m -4)246 / 16解 / A+B=900, sinB=cosA.则由根与系数的关系，可得sin A +cosA = -b sin A cosA = c12将（0,25）代入解析式，得 c=25(1厂-(2) 2,得b2/ -b ， b=-52712x x + 所以解析式为 y525十、综合型2丄丄例 1如图 2，已知抛物线 y=-xpx q与 x 轴交于 A、B 两点，与

8、y 轴交于 C 点,若/ ACB=90，且 tgZCAO-tg / CBO=2，求其解析式.解 设 A , B 两点的横坐标分别为 x1,x2，则 q=(-x1) x2=OAQB.由 AOC COB，可得 OC2=OA OB ,2-q =q 解得 q1=1,q2= (舍去)，OC OC2又由 tg / CAO-tg / CBO=2 得OA OB127 / 16X!xi+x2=-2xix2即 p=2p=2所以解析式为 y=-x2+2x+1y/k1丿/函数及其图象例 1.二次函数性质的应用例 2.利用二次函数性质求点的坐标B图28 / 16例 3.求二次函数解析式 例 4.求二次函数解析式二、同步

9、测试三、提示与答案例 6.已知抛物线 y = ax2+ bx+c 如图所示，对称轴是直线 x = - 1(1)确定 a. b. c. b2- 4 ac 的符号，(2)求证 a- b + cvo;(3)当 x 取何值时，y 随 x 值的增大而减小。解：(1)由抛物线开口向上，得出 a 0 ,由抛物线与 y 轴交点坐标为(O, C),而此点在 x 轴下 方，得出 cv0,又由抛物线的对称轴是 x=- 1 ,在 y 轴左侧，得出 b 与 a 同号二 b 0。抛物线与 x 轴有两个交点，即 ax2+bc + c =0 有两个不等的实根，b2- 4a c 0(2)当 x = - 1 时，y = a- b

10、 + cv0(3)当 xv- 1 时，y 随 x 值的增大而减小。例 7.已知 y 是 x 的二次函数，且其图象在 x 轴上截得的线段 AB 长 4 个单位，当 x = 3 时，y 取得 最小值-2。( 1)求这个二次函数的解析式(2)若此函数图象上有一点 P,使 PAB 的面积等于 12 个平方单位，求 P 点坐标。分析： 由已知可得抛物线的对称轴是直线 x=3 ,根据抛物线的对称性， 又由抛物线在 x轴上截 得线段 AB的长是 4 ,可知其与 x轴交点为(1 ,0) ,(5,0)解：(1)T当 x = 3 时 y 取得最小值-2.即抛物线顶点为(3 , -2). 设二次函数解析式为2y=a

11、( x-3) - 2又图象在 x 轴上截得线段 AB 的长是 4,图象与 x 轴交于(1 ,0)和(5 ,0)两点1 a( 1 - 3)2- 2 = 0 a=.9 / 16ii _a所求二次函数解析式为 y= . x2-3x +(2)T PAB 的面积为 1 2 个平方单位，| AB | =4丄.X4X |Py|=1 2 |Py|=6Pg=6但抛物线开口向上，函数值最小为-2 , Py = - 6 应舍去， Pg = 6 又点 P 在抛物线上，丄 -L 6 =X2-3X+-Xi=-1,X2=7即点 P 的坐标为(-1 , 6)或(7,6)说明：此题如果设图象与 X 轴交点横坐标为X1 , X2

12、 ,运用公式| X1-X2| =J(* +用)*7 心也,会 使运算繁琐。这里利用抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标，比较简便。例 8.女口图，矩形 EFGH 内接于 ABC。E、F 在 AC 边上 H、G 分另 U 在 AB、BC 边上,AC=8cm,高 BD=6cm, 设矩形的宽 HE 为X( cm)。试求出矩形 EFGH 的面积 y( cm2)与矩形 EFGH 的宽X( cm)间的函数关系 式，并回答当矩形的宽取多长时，它的面积最大，最大面积是多少？解：四边形 EFGH 是矩形HG/ ACABCs HBG设 BD 交 HG 于 M贝UBD 与 BM 分别是 ABC 和 HBG 的

13、高。BDBMHG/ AC,10 / 16MD=HE=x, BM=6- x86=H6=1(64HG=3y=S矩形 EFGH= HE* HG3.整理得 y = -X2+ 8XBD=6自变量 x 的取值范围是 0vxv63. x2的系数为-v 0 , y 有最大值y =x当11 / 164所求函数的解析式为y = - x?+ 8x ( 0vxv6), 大面积为12 cm2。例 9.二次函数 y = ax2+bx- 5 的图象的对称轴为直线 x = 3，图象与 y 轴相交于点 B，设 x1, x2 是方程 ax2+ bx- 5 = 0 的两个根，且X12+X22= 2 6,又设二次函数图象顶点为 A,

14、(1)求二次函数的解析式(2)求原点 O 到直线 AB 的距离又 x1+X2= - $ =65X1*X2= -由已知，有X12+X22= 2 6 ,当它的宽为 3cm 时，矩形 EFGH 面积最大，最=12解(1)如图12 / 16 ( x1 +x2)2- 2x1x2 = 26 bl -即(-思)2+=26, $ =26- 36解得 a = - 122解 析式为 y =- x +6x- 5 =- ( x- 3) +4(2)T0B=5, OC=4, AC=3. AB=r y=3 小又 OA=：J 一 * =5 AOB 为等腰三角形，作 0D 丄 AB 于 D,BD= 制4OB7-BD2OD=,/

15、io即原点 O 到直线 AB 的距离为:三、同步测试：选择题：1. 如果点 P( 3m- p, 1- m)是第三象限的整数点，那么 P 点坐标是()(A). ( -2，-1) (B) (-3，-1) (C) (-3，-2) ( D) ( - 4，-2)2. 若点 P(a,b)在第二、四象限两轴夹角平分线上，则 a 与 b 的关系是()13 / 16(A) a = b ( B) a = - b ( C) a= | b |( D) | a | =b3点 P( x, y)在第二象限，且丨 x | =2,| y | =3,则点 P 关于 x 轴对称点的坐标为()(A) (-2 , 3) (B)(2 ,

16、 - 3) (C)(-2 , -3) ( D) ( 2 , 3)x4. 函数 y=“-中，自变量 x 的取值范围是()(A) xw2 ( B) xv2 ( C) x 工 2 ( D) x 25. 函数 y=x 1 中，自变量 x 的取值范围是()(A) x - 2 且 x 工 1 ( B) x - 2 且 x 工 1(C) x - 2 且 x 工 1 ( D) x - 2 或 x 工土 16. 在下列函数中，成正比例函数关系的是()(A)圆的面积与它的周长(B)矩形面积是定值，矩形的长与宽(C)正方形面积与它的边长(D)当底边一定时，三角形面积与底边上的高K7. 函数 y=k(x-1)与 y=

17、 (kvo)在同一坐标系下的图象大致如图()14 / 16(A) k0, b0 ( B) k0,bv015 / 16(C) kv0,b0 ( D) kv9.对于抛物线1y = - - + x-下列结论正确的是（）(A)开顶点坐标是（，0)(B)开顶点坐标1是（，0)（C）开顶点坐标_1是(-.(D)开顶点坐标二 是（-，10.若a 0, bv0 贝U函数y=ax2+ bx 的图象是下面图中的（(A)a0, b0,c0 , v0(B)av0, b0, cv0 , 016 / 16(C)a0, bv0,cv0, 0(D)av0, bv0,c0 , v0212.把函数 y=2x -4x-5 的图象向

18、左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位后，所得到的函数图象 的解析式为()(A) y = 2x2+4x- 8 ( B) y = 2x2- 8x + 82 2(C) y = 2x +4x - 2 ( D) y = 2x - 8x- 2填空题1 3点 A( JT，- 5)到 x 轴的距离是_;到 y 轴的距离是_;到原点的距离是_.1 4.直线 y = kx+b 与直线 y = -2x 平行，且通过点(2， - 3)，则 k=_，在 y 轴上的截距为_ 1 5. 一次函数的图象经过(1， - 5)点且与 y 轴交于(0 , -1)点，则一次函数的解析式为_ .1 6.已知抛物线的顶点为 M( 4，8)且经过坐标原点，则抛物线所对应的二次函数的解析式为_解答题：17. 次函 y= x+ 分别与 x 轴，y 轴交于点 A, B,点 C( 0, a)且 av0 ,若/ BAC 为直角，求 图象过点 C 与点 A 的一次函数解析式。1 8.已知如图