二项式定理知识点总结

1、、二项式定理：a bn的二项展开式，其中各项的系数Cnk（k对二项式定理的理解：1）二项展开式有n 1项（2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由 第一项开始，次数由 0 逐项加 1 到nn逐项减 1 到 0；字母b按升幂排列，从、二项展开式的通项：Tk 1Cnkan kbkk n k k二项展开式的通项Tk 1Cnkan kbk（k 0,1,2,3 n）是二项展开式的第k 1项，它体现了 二项展开式的项数、 系数、次数的变化规律， 是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特 定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广 泛应用对通项Tk 1Cnkan kb

2、k(k 0,1,2,3 n)的理解：1） 字母b的次数和组合数的上标相同2）a与b的次数之和为n3） 在通项公式中共含有a,b, n,k,Tk 1这 5 个元素，知道 4 个元素便可求第 5 个元素a bnCn0anCn1an 1bk n k kCna bCnnbn（n N）等号右边的多项式叫做3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a, b，等式都成立，通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设a 1，b1 xnCn0 xnC1nxk n kCnxCnnxn(nN）4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式a bn展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开

3、式合并成二项式nab0,1,2,3 n）叫做二项式系数。例 1Cn13Cn29Cn33n 1Cnn等于（）例 2. （1 ）求（12x)7的展开式的第四项的系数；(2)求(x193-)9的展开式中x3的系数及二项式系数x三、二项展开式系数的性质:1对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即2增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。n如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：CnmaxC；n 1n 1如果二项式的幕指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即CmaxC/ CF3二项展开式的各系数的和等于2n，令a

4、 1，b 1即c：C：Cn(1 1)n2n；4奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令a 1，b1即Cn例题：写出(X y)11的展开式中:(1 )二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；(3 )项的系数最大的项和系数最小的项;(4)二项式系数的和；(5)各项系数的和nnA.4B。3 44n1D.4nC0C；,c：Cn 1Q2cn，cnC：C；2n四、多项式的展开式及展开式中的特定项(1)求多项式(印a2an)n的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。例题：求多项式(x2厶2)3的展开式x(2)求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先

5、写出各个二项式的通 项再分析。例题：求(1 X)2(1 X)5的展开式中X3的系数n例题：如果在浓2?x的展开式中，前三项的系数成等差数列求展开式中的 有理项。【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定727例题：已知(1 2x) a0a1x a2x La7x,求：(2)aia?a5a?；(3)|a。| |印| L |a?|.的展开式的常数项。(1)aia2L a7；(2 )求六、二项式定理的应用:1、二项式定理还应用与以下几方面:(1)进行近似计算(2 )证明某些

6、整除性问题或求余数(3)证明有关的等式和不等式。如证明：2n2n n 3,n N取2n1 1n的展开式中的四项即可。2、各种问题的常用处理方法(1) 近似计算的处理方法当 n 不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求(1 x)n的近似值。例题：(1.05)6的计算结果精确到的近似值是( )A.B.C.D.(2)整除性问题或求余数的处理方法1解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式2用二项式定理处理整除问题，通常把幕的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的k通常为 1，若k为其他数，则需对幕的底数k再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面(或者是某项)

7、一、二项就可以了3要注意余数的范围，对给定的整数a,b(b 0)，有确定的一对整数q和r，满足a bq r，其中b为除数，r为余数，r 0, b，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数， 要注意转换成正数 例题：求201363除以 7 所得的余数A. 0 B。2 C。71例题：当n N且n1,求证2(1-)n3n【思维点拨】 这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定综合测试-、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的例题：若n为奇数，则7nC：7n1C27n 2cn17被 9 除得的余数是（）等，那么正整数 n

8、等于1 17.设(3x3+x2)n展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h,若 t+h=272，则展开式的 x2项的系数是( )A.1B. 12C. 2D. 3&在(1 x x2)6的展开式中x5的系数为( )A. 4B. 5C. 6D. 71.在 x103的展开式中,x6的系数为2.27C：B.27C：oc.9C6oD9C4。已知a b 0,b4a,a bn的展开式按a 的降幕排列, 其中第 n 项与第n+1 项相A. 4B.C. 10D. 113.n的展开式的第三项与第二项的系数的比为11 : 2,则n是A. 10B. 1112D.134. 5310被 8 除的余数是A. 1B. 2

9、C.D.5.6的计算结果精确到的近似值是A.B.C.D.n6.二项式2：x1(nN)的展开式中,v X前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是B. 2C.D. 4已知(、a9.(勿1迟)展开式中所有奇数项系数之和等于1024,则所有项的系数中最大的值是当 x=2000 时，(1-x)1999除以 2000 的余数是 1 .A. 330B . 462C.680D.79010 . (、_X 1)4(x1)5的展开式中，4x的系数为()A .40B . 10C.40D.4511.二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为 则 x在0 , 2n内的值为二、填空题：本大题满分1

10、6 分，每小题 4 分，各题只要求直接写出结果 219913.(x2)9展开式中x9的系数是2x14.若2x .34aoa/a4X4，贝 V a。a?a42aja32的值为-16 .对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题:-|-r u-t -r-10009991展开式中000= C1999x2展开式中非常数项的系数和是1 ；3展开式中系数最大的项是第1000 项和第 1001 项;三、解答题：本大题满分 74 分.57,且系数最大的一项的值为-，2( )A.或一 B6312 .在(1 +x)5+(1 +x)6+(1 +x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列an=3n 5的A.第 2

11、项B.第 11 项C.第 20 项D.第 24 项15 .若(x3x2)n的展开式中只有第 6 项的系数最大，则展开式中的常数项其中正确命题的序号是.（把你认为正确的命题序号都填上）L117.（ 12 分）若（6x6）n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.Vx（1）求n的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？1n18. （12 分）已知（丄2x）的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项式4系数最大的项的系数.19. （12 分）是否存在等差数列an，使a1C0na2cna3c2anQ；n 2n对任意n N*都成立？若存在，求出数列an的通项公式；若不存在，请说明理由20.（ 12 分）某地现有耕地 100000 亩，规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%，人均粮食占 有量比现在提高 10%。如果人口年增加率为 1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到 1 亩） ？21.(12 分)设 f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、nN)，若其展开式中，关于x 的一次项系数为11,试问：m n 取何值时，f(x)的展开式中含 x2项的系数取最小值，并求出这个最小 值22. (14 分