2026中考数学高频考点一轮复习：无理数与实数（含解析）

中考数学一轮复习无理数与实数一．选择题（共10小题）1．（2025春•西乡塘区）下列计算或说法正确的是（）A．0没有平方根 B．3的相反数是3 C．2的立方根是8 D．42．（2025春•天津）估计15+2A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间3．（2025春•天山区）在﹣6，4，2，3.14，3-27，π5这A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．（2025春•洛阳）亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩≈666.67平方米．根据下列表格中的数据，面积为1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（）米．x25.7925.8025.8125.8225.83x2665.1241665.6400666.1561666.6724667.1889A．25.79∼25.80 B．25.80～25.81 C．25.81∼25.82 D．25.82～25.835．（2025春•肇庆）下列计算正确的是（）A．16=±4 B．0.04C．4=-2 D．1696．（2025春•青秀区）如图，若数轴上点P表示的数为无理数，则该无理数可能是（）A．5 B．4 C．3 D．27．（2025•长沙一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＜﹣2 B．|b|＞1 C．ab＞0 D．a+b＜08．（2025春•嘉定区）下列方程，一定有实数根的是（）A．x2+a＝0 B．x3+a＝0 C．x2-a=0 D9．（2025春•封开县）与无理数37最接近的整数是（）A．4 B．5 C．6 D．710．（2025春•黄埔区）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（）A．1 B．2 C．2 D．±二．填空题（共5小题）11．（2025春•渝中区）若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若3+m是“完美实数”，则m＝；若a+b与a﹣b都是“完美实数”，则|ab|的平方根为12．（2025春•包河区）我们已经学习了利用“夹逼法”估算n的值，现在用an表示距离n（n为正整数）最近的正整数．例如：a1＝2表示距离1最近的正整数，∴a1＝1；a2表示距离2最近的正整数，∴a2＝1；a3表示距离3最近的正整数，∴a3＝2，⋯利用这些发现得到以下结论：①若an＝3时，n的值有个；②当1a1+1a2+⋯+113．（2025春•武城县）64的立方根为，121的平方根为，1-3的绝对值为14．（2025春•荔湾区）已知23+2的小数部分是a，23-2的整数部分是b，求(23-a)b+115．（2025•正阳县三模）若3a(a≠0)的值是有理数，则a的最小偶数值是三．解答题（共5小题）16．（2025春•丹阳市）【问题提出】2是无理数，而无理数是无限不循环小数，如何表示2的小数部分呢？【问题解决】因为1＜2＜4，即所以2的整数部分是1，所以用2-1来表示2【类比应用】（1）7的整数部分是，小数部分是；（2）如果21的小数部分为a，12的整数部分为b，则|a﹣b|+21=【拓展应用】（3）已知4+5=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求17．（2025春•郑州）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫作虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫作复数，a叫这个复数的实部，b做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i，（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；③若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭：如1+2i的共轭复数为1﹣2i．（1）填空：（1+2i）（1﹣2i）＝；（2）若a﹣bi是（2+i）2的共轭复数，求ab的值；（3）已知（2a+i）（2b+i）＝1﹣4i，求a2+b2的值．18．（2025春•扬州）我们用[a]表示不大于a的最大整数，a﹣[a]的值称为数a的小数部分，如[2.13]＝2，2.13的小数部分为2.13﹣[2.13]＝0.13．（1）[3]＝，[7]＝，π的小数部分＝；（2）设5的小数部分为a，求a+[13（3）已知10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣19．（2025春•南沙区）已知点A，B是数轴上两点，AB＝2，点B在点A右侧，点A表示的数为a，点B表示的数为38（1）求a的值；（2）化简：|a+1（3）C，D是数轴上两点，所表示的数分别为c和d，CD＝2AB，且满足|3c+9|与d+b-7互为相反数，其中b为实数，求3c+4b+d的平方根．20．（2024秋•长兴县）如图，已知点A，B是数轴上两点，AB＝2，点B在点A的右侧，点A表示的数为-2，设点B表示的数为m（1）实数m的值是；（2）求|m﹣2|﹣|1﹣m|的值；（3）在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与d-4互为相反数，求2c+5d的平方根．

中考数学一轮复习无理数与实数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2025春•西乡塘区）下列计算或说法正确的是（）A．0没有平方根 B．3的相反数是3 C．2的立方根是8 D．4【考点】实数的性质；平方根；算术平方根；立方根．【专题】实数；符号意识．【答案】D【分析】A．根据平方根的定义求出0的平方根，再判断即可；B．根据互为相反数的定义求出3的相反数，再判断即可；C．根据立方根的定义求出2的立方根，然后判断即可．D．根据算术平方根的定义进行化简，然后判断即可．【解答】解：A．∵0的平方根是0，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意；B．∵3的相反数是-3C．∵2的立方根是32D．∵4=2故选：D．【点评】本题主要考查了实数的有关概念，解题关键是熟练掌握平方根与立方根的定义和互为相反数的定义．2．（2025春•天津）估计15+2A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【考点】估算无理数的大小．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】先利用“夹逼法”估算15的范围，进而得出15+2【解答】解：∵9＜∴3＜∴5＜∴15+2的值在5和6故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握“夹逼法”估算无理数的大小是解题的关键．3．（2025春•天山区）在﹣6，4，2，3.14，3-27，π5这A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【考点】无理数．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：无理数为：2，π5共2故选：C．【点评】此题主要考查了无理数，熟练掌握该知识点是关键．4．（2025春•洛阳）亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩≈666.67平方米．根据下列表格中的数据，面积为1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（）米．x25.7925.8025.8125.8225.83x2665.1241665.6400666.1561666.6724667.1889A．25.79∼25.80 B．25.80～25.81 C．25.81∼25.82 D．25.82～25.83【考点】估算无理数的大小．【专题】实数；数感．【答案】C【分析】通过比较表格中不同边长对应的面积与1亩的面积（≈666.67平方米），确定边长的范围即可．【解答】解：由表格中不同边长对应的面积与1亩的面积可知：当x＝25.81时，x2＝666.1561，当x＝25.82时，x2＝666.6724，故边长应在25.81至25.82之间，故选：C．【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握该知识点是关键．5．（2025春•肇庆）下列计算正确的是（）A．16=±4 B．0.04C．4=-2 D．169【考点】算术平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】B【分析】根据算术平方根的含义逐一分析即可．【解答】解：16=4，故A0.04=0.2，故B4=2，故C16981=13故选：B．【点评】本题考查的是求解一个数的算术平方根，掌握求解算术平方根的方法是解本题的关键．6．（2025春•青秀区）如图，若数轴上点P表示的数为无理数，则该无理数可能是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】实数与数轴；无理数．【专题】实数；运算能力．【答案】A【分析】根据点P表示的数为无理数，即可排除选项B，再根据5、3和2的估计值，即可判断出点P的无理数的可能表示数．【解答】解：根据点P表示的数为无理和数据5、3和2的估计值进行判断进入下：A.2＜5＜B．4=2，故选项BC．1＜3＜D．1＜2＜故选：A．【点评】本题考查的是实数与数轴，正确记忆相关知识点是解题关键．7．（2025•长沙一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＜﹣2 B．|b|＞1 C．ab＞0 D．a+b＜0【考点】实数与数轴；绝对值．【专题】数形结合；符号意识．【答案】D【分析】先观察数轴得到：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，b＞a，再根据有理数的加减乘除法则对各个选项的结论进行判断即可．【解答】解：观察数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，b＞a，∴a＞﹣2，|b|＜1，ab＜0，a+b＜0，∴A，B，C选项的结论错误，D选项的结论正确，故选：D．【点评】本题主要考查了实数与数轴，能解题关键是熟练掌握有理数的加减乘除法则．8．（2025春•嘉定区）下列方程，一定有实数根的是（）A．x2+a＝0 B．x3+a＝0 C．x2-a=0 D【考点】立方根；分式方程的解；平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】B【分析】根据偶次方的非负性和算术平方根的非负性可判断当a＞0时A、C中的方程无解，B中的方程有解，D中方程分子不为0，则方程无解．【解答】解：解一元二次方程，解无理方程，解分式方程，求平方根的方法逐项分析判断如下：A、∵x2+a＝0，∴x2＝﹣a，∵x2≥0，∴当a＞0时，原方程无实数根，故A不符合题意；B、∵x3+a＝0，∴x3＝﹣a，∴x=3∴原方程一定有实数根，故B符合题意；C、∵x2∴x2∵x2∴当a＜0时，原方程无实数根，故C不符合题意；D、方程1x2-a=0中，分子不为故选：B．【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解无理方程，解分式方程，求平方根的方法解方程，熟练掌握以上知识点是关键．9．（2025春•封开县）与无理数37最接近的整数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】估算无理数的大小．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】利用夹逼法进行比较解答即可．【解答】解：∵36＜37＜42.25，∴6＜37＜∴与无理数37最接近的整数是6，故选：C．【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握该知识点是关键．10．（2025春•黄埔区）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（）A．1 B．2 C．2 D．±【考点】算术平方根；平方根．【专题】整式；运算能力．【答案】C【分析】根据平方根，算术平方根的定义进行计算．【解答】解：根据题意可知，当输入x的值为16时，y=16=∵4＞2，∴把4再次输入数值转换器，y=4=∵2＝2，∴把2再次输入数值转换器，y=2故选：C．【点评】本题考查了平方根，算术平方根，掌握平方根，算术平方根的定义是关键．二．填空题（共5小题）11．（2025春•渝中区）若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若3+m是“完美实数”，则m＝-3或1-3；若a+b与a﹣b都是“完美实数”，则|ab|的平方根为0或±1【考点】立方根；平方根；算术平方根．【专题】新定义；分类讨论；实数；运算能力．【答案】-3或1-3；0或±【分析】（1）根据题意可得3+m＝0或1，解得m（2）根据题意可得a+b=0a-b=0或a+b=0a-b=1或a+b=1a-b=0或a+b=1a-b=1，解得a，b的值，再将其代入|ab|中计算【解答】解：（1）∵3+m∴3+m＝0或1解得：m=-3或1-故答案为：-3或1-（2）∵a+b与a﹣b都是“最美实数”，∴a+b=0a-b=0或a+b=0a-b=1或a+b=1a-b=0解得：a=0b=0或a=12b=-1∴|ab|＝0或14∴|ab|的平方根为0或±12故答案为：0或±12【点评】本题考查平方根、算术平方根及立方根，充分理解题意并进行正确的分类讨论是解题的关键．12．（2025春•包河区）我们已经学习了利用“夹逼法”估算n的值，现在用an表示距离n（n为正整数）最近的正整数．例如：a1＝2表示距离1最近的正整数，∴a1＝1；a2表示距离2最近的正整数，∴a2＝1；a3表示距离3最近的正整数，∴a3＝2，⋯利用这些发现得到以下结论：①若an＝3时，n的值有6个；②当1a1+1a2+⋯+1【考点】估算无理数的大小；规律型：数字的变化类；分式的加减法．【专题】实数；运算能力．【答案】6；110．【分析】①当an＝3时，n＝7，8，9，10，11，12，可知n的值有6个；②由a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝2，a5＝2，a6＝2，a7＝3，a8＝3，a9＝3，a10＝3，a11＝3，a12＝3⋯⋯；可得2个1，4个2，6个3，8个4……，再代入计算即可．【解答】解：①当an＝3时，n为7，8，9，10，11，12一共有6个；②由a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝2，a5＝2，a6＝2，a7＝3，a8＝3，a9＝3，a10＝3，a11＝3，a12＝3⋯⋯；可得2个1，4个2，6个3，8个4……，∴n=2+4+6+⋯20=2+20故答案为：①6；②110．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给的定义，通过估算无理数，找到数字的变化规律是解题的关键．13．（2025春•武城县）64的立方根为2，121的平方根为±11，1-3的绝对值为3-1【考点】实数的性质；平方根；算术平方根；立方根．【专题】实数；运算能力．【答案】2；±11；3-1【分析】直接利用立方根以及平方根、绝对值的性质分别分析得出答案．【解答】解：∵64=8，23＝8∴64的立方根为2；∵121=11∴121的平方根为±11；∵|1-3∴1-3的绝对值为3故答案为：2；±11；3-1【点评】此题主要考查了实数的性质，平方根，算术平方根，立方根，掌握其概念是解决此题的关键．14．（2025春•荔湾区）已知23+2的小数部分是a，23-2的整数部分是b，求(23-a)b+1【考点】估算无理数的大小；算术平方根．【答案】8．【分析】先利用“夹逼法”估算出23的范围，进而得出23+2和23-2的范围，即可得出a，b的值，把a，b的值代入【解答】解：∵16＜∴4＜∴6＜23+2∴23+2的整数部分为6，小数部分为23+2-6=23-4，∴a=23-4，b＝∴(＝43＝64，∴64的算术平方根为64=8故答案为：8．【点评】本题考查了估算无理数的大小，算术平方根，掌握“夹逼法”估算无理数的大小，算术平方根定义是解题的关键．15．（2025•正阳县三模）若3a(a≠0)的值是有理数，则a的最小偶数值是12【考点】算术平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】12．【分析】根据有理数的概念和算术平方根的求法进行判断即可．【解答】解：由条件可知a＝12，此时3×12=故答案为：12．【点评】本题考查有理数的概念、求一个数的算术平方根，熟练掌握以上知识点是关键．三．解答题（共5小题）16．（2025春•丹阳市）【问题提出】2是无理数，而无理数是无限不循环小数，如何表示2的小数部分呢？【问题解决】因为1＜2＜4，即所以2的整数部分是1，所以用2-1来表示2【类比应用】（1）7的整数部分是2，小数部分是7-2（2）如果21的小数部分为a，12的整数部分为b，则|a﹣b|+21=7【拓展应用】（3）已知4+5=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求【考点】估算无理数的大小．【专题】阅读型；运算能力．【答案】（1）2，7-2；（2）7；（3）5+4【分析】（1）找到最接近7的平方数，确定7的范围即可知道整数部分和小数部分；（2）分别确定21的小数部分和12的整数部分，然后代入式子即可；（3）先确定5的范围，再同时加4即可得出4+5【解答】解：（1）∵4＜7＜9，即∴7的整数部分是2，小数部分是7-2故答案为：2，7-2（2）∵16＜21＜25∴21的整数部分是4，小数部分是21-4∵9＜12＜16∴12的整数部分是3，小数部分是12-3∴a=21-4，b＝∴|a﹣b|+21=|21-4-3|+21故答案为：7；（3）∵2＜5＜∴6＜4+5∴4+5的整数分是6，小数部分4+5-6∵4+5=x+y，其中x是整数且0＜y＜∴x+yy+2【点评】本题考查了无理数的整数部分和小数部分的理解与应用，以及代数式的化简分母有理化的运用．17．（2025春•郑州）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫作虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫作复数，a叫这个复数的实部，b做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i，（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；③若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭：如1+2i的共轭复数为1﹣2i．（1）填空：（1+2i）（1﹣2i）＝5；（2）若a﹣bi是（2+i）2的共轭复数，求ab的值；（3）已知（2a+i）（2b+i）＝1﹣4i，求a2+b2的值．【考点】实数的运算；相反数．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）5；（2）12；（3）3．【分析】（1）利用平方差公式去括号，再根据定义计算求解即可；（2）根据完全平方公式求出（2+i）2的结果，再根据共轭复数的定义确定a、b的值即可得到答案；（3）根据多项式乘以多项式的计算法则求出等式左边的结果，进而得到ab=12，a+b=-2，再根据a2+b2＝（a+b）2【解答】解：（1）（1+2i）（1﹣2i）＝1﹣4i2＝1﹣4×（﹣1）＝1+4＝5；故答案为：5；（2）（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i+（﹣1）＝3+4i，∵a﹣bi是（2+i）2的共轭复数，∴a＝3，b＝4，∴ab＝3×4＝12；（3）4ab+2ai+2bi+i2＝1﹣4i，∴4ab+（2a+2b）i+（﹣1）＝1﹣4i，∴（4ab﹣1）+（2a+2b）i＝1﹣4i，∴4ab﹣1＝1，2a+2b＝﹣4，∴ab=1∴a2【点评】本题主要考查了新定义，完全平方公式的变形求值，正确理解题意是解题的关键．18．（2025春•扬州）我们用[a]表示不大于a的最大整数，a﹣[a]的值称为数a的小数部分，如[2.13]＝2，2.13的小数部分为2.13﹣[2.13]＝0.13．（1）[3]＝1，[7]＝2，π的小数部分＝π﹣3；（2）设5的小数部分为a，求a+[13（3）已知10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣【考点】估算无理数的大小；相反数．【专题】实数；数感．【答案】（1）1，2，π﹣3；（2）1；（3）3-12【分析】（1）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点即可求得[3]和[7]；已知[π（2）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点可求得5的整数部分和小数部分，进而可求得a，遵循同样步骤可求得[13]，将a和（3）利用有理数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，不等式的性质等知识点可求得10+3的取值范围，进而根据已知条件可求得x和y，于是可求得x﹣y，并最终求得x﹣y【解答】解：（1）∵1＜3＜4，∴1＜∴[3∵4＜7＜9，∴2＜∴[7∵[π]＝3，∴π的小数部分为π﹣[π]＝π﹣3，故答案为：1，2，π﹣3；（2）∵4＜5＜9，∴2＜∴[5∴5的小数部分为5-[∴a=5∵9＜13＜16，∴3＜∴[13∴a+[13（3）∵1＜3＜4，∴1＜∴11＜∵10+3=x+y，x是整数，且0＜y＜∴x＝11，y=10+3∴x-y=11-(3∴x﹣y的相反数为3-12【点评】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质，求相反数等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键．19．（2025春•南沙区）已知点A，B是数轴上两点，AB＝2，点B在点A右侧，点A表示的数为a，点B表示的数为38（1）求a的值；（2）化简：|a+1（3）C，D是数轴上两点，所表示的数分别为c和d，CD＝2AB，且满足|3c+9|与d+b-7互为相反数，其中b为实数，求3c+4b+d的平方根．【考点】实数与数轴；非负数的性质：绝对值；平方根；非负数的性质：算术平方根；立方根．【专题】代数综合题；分类讨论．【答案】（1）a=2-（2）|a+12|-|-1+a|=-（3）3c+4b+d的平方根是±4或±210【分析】（1）38=2，故B表示的数是2，因点B在点A右侧，则AB=2-a=2，故（2）由a=2-2可知（3）由题意得，CD＝4，|3c+9|+d+b-7=0，可求出c＝﹣3，b+