立体几何——二面角求法

1、二面角求法1 .定义法DB1图1AOA1CBD1C1O1 即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.例1 . 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求 二面角A-BD-C1的正切值为 .解析：易知COC1是二面角C-BD-C1的平面角，且tanCOC1=。PABCDFGPABCDFE例2.在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点.求：二面角P-AD-B的余弦值.解：由（1）知为二面角的平面角，在中，；在中，；在中，.A图3PBl2 三垂线法此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角，过面内一点P作

2、PA于A，作ABl于B，连接PB，由三垂线定理得PBl，则PBA为二面角的平面角，故称此法为三垂线法.例3.如图4，平面平面，=l，A，B，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，图4B1AA1BlEF求：二面角A1ABB1的正弦值.分析与略解：作A1EAB1于AB1于E，则可证A1E平面AB1B.过E作EFAB交AB于F，连接A1F，则得A1FAB，A1FE就是所求二面角的平面角.依次可求得AB1=B1B=，A1B=，A1E=，A1F=， 则在RtA1EF中，sinA1FE=.例4.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面A

3、BCD,点E在线段PC上,PC平面BDE. 若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值. 解:由(1)得BD平面PAC,BDAC. 又四边形ABCD为矩形,四边形ABCD是正方形. 设AC交BD于O点,PC平面BDE,BEO即为二面角B-PC-A的平面角. PA=1,AD=2,AC=2,BO=OC=,PC=3,又OE=在直角三角形BEO中,tanBEO=3,二面角B-PC-A的正切值为3.例5. 如图, 四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为矩形, PA底面ABCD, PA=AB=, 点E是棱PB的中点. (1) 若AD=, 求二面角A-EC-D的平面角的余弦值. (1) 过点D作DF

4、CE, 交CE于F, 过点F作FGCE, 交AC于G, 则DFG为所求的二面角的平面角. 由() 知BC平面PAB, 又ADBC, 得AD平面PAB, 故ADAE, 从而DE=. 在RtCBE中, CE=. 由CD=, 所以CDE为等边三角形, 故F为CE的中点, 且DF=CD·sin=. 因为AE平面PBC, 故AECE, 又FGCE, 知FG=AE, 从而FG=, 且G点为AC的中点. 连结DG, 则在RtADG中, DG=AC=. 所以cosDFG=. 3、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题

5、时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。分别求出和的法向量，则二面角的大小为或 例1. 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,点E在线段PC上,PC平面BDE. 若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值. 由(1)可知BD面PAC,BDAC,矩形ABCD为正方形,建立如图所示的坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,1),C(2,2,0),B(2,0,0). =(0,0,1),=(2,2,0). 设平面PAC的法向量为n1=(x,y,z),则令x=1,y=-1,z=0. 即

6、n1=(1,-1,0). 同理求得面PBC的一个法向量n2=(1,0,2). cos<n1,n2>=. 设二面角B-PC-A的大小为,则cos =,sin =,tan =3. 例2. (2014广东,18,13分)如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,DPC=30,AFPC于点F,FECD,交PD于点E.(1)求二面角D-AF-E的余弦值.解法一:设AB=1,则RtPDC中,CD=1,DPC=30°,PC=2,PD=,由(1)知CFDF,DF=,CF=,又FECD,=,DE=,同理EF=CD=,解法二：如图所示,以D为原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,1),E,F,P(,0,0),C(0,1,0).设m=(x,y,z)是平面AEF的法向量,则又 令x=4,得z=,故m=(4,0,),由(1)知平面ADF的一个法向量为=(-,1,0),设二面角D-AF-E的平面角为,可知为锐角,cos =|cos<m,>|=,故二面角D-AF-E的余弦值为.例3.(2010天津, 19, 12分) 如图, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F分别是棱BC, CC1上的点, CF=AB=2CE, ABADAA1=124. (1) 求二面角A1-ED-F的正弦值(1) 设平面EFD的法向量u=(x, y, z) ,